5.3.2用去括号法、去分母法解一元一次方程一元一次方程 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
5.3.2用去括号法、去分母法解一元一次方程
第五章 一元一次方程
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一部分：用去括号法解一元一次方程
一、适用场景
当一元一次方程中含有括号时，需要先通过去括号将方程化简，再进行移项、合并同类项等操作。例如方程\(2(x - 3) + 5 = 3x - 1\)，括号的存在会阻碍直接移项，因此需先去括号。
二、去括号的依据
去括号的依据是乘法分配律：\(a(b + c) = ab + ac\)。在去括号时，要将括号外的系数与括号内的每一项分别相乘，确保不遗漏任何一项。
三、去括号的步骤及注意事项
运用乘法分配律去括号：将括号外的数或字母与括号内的每一项相乘。
实例：对于\(3(2x - 5)\)，去括号后为\(3 2x + 3 (-5) = 6x - 15\)。
处理括号前的符号：
若括号前是 “+” 号，去括号后括号内各项符号不变。例如\(+(x + 2y) = x + 2y\)。
若括号前是 “-” 号，去括号后括号内各项符号都要改变。例如\(-(3a - b) = -3a + b\)。
合并同类项（若有）：去括号后，若方程同侧有同类项，可先合并，使方程更简洁。
四、例题解析
例题 1：解方程\(4(x - 1) + 2 = 3(x + 2)\)。
解：步骤 1：去括号，根据乘法分配律得\(4x - 4 + 2 = 3x + 6\)。
步骤 2：合并左侧常数项，得\(4x - 2 = 3x + 6\)。
步骤 3：移项，将\(3x\)移到左侧（变号为\(-3x\)），将\(-2\)移到右侧（变号为\(+2\)），得\(4x - 3x = 6 + 2\)。
步骤 4：合并同类项，得\(x = 8\)。
例题 2：解方程\(5 - 2(3x - 1) = 4(1 - x)\)。
解：步骤 1：去括号，注意括号前是 “-2” 和 “4”，得\(5 - 6x + 2 = 4 - 4x\)。
步骤 2：合并左侧常数项，得\(7 - 6x = 4 - 4x\)。
步骤 3：移项，将\(-4x\)移到左侧（变号为\(+4x\)），将 7 移到右侧（变号为\(-7\)），得\(-6x + 4x = 4 - 7\)。
步骤 4：合并同类项，得\(-2x = -3\)。
步骤 5：系数化为 1，两边同时除以\(-2\)，得\(x = \frac{3}{2}\)。
第二部分：用去分母法解一元一次方程
一、适用场景
当一元一次方程中含有分母时（如\(\frac{x - 1}{2} = \frac{2x + 3}{3}\)），为了简化计算，需要先去掉分母，将方程转化为不含分母的形式。
二、去分母的依据
去分母的依据是等式的性质 2：等式两边同时乘同一个不为 0 的数，所得结果仍是等式。这里的 “同一个数” 通常是方程中所有分母的最小公倍数。
三、去分母的步骤及注意事项
确定最小公倍数：找出方程中所有分母的最小公倍数，作为去分母时的乘数。
实例：方程\(\frac{x}{2} + \frac{x - 1}{3} = 1\)中，分母是 2 和 3，最小公倍数是 6。
方程两边同乘最小公倍数：确保方程中的每一项（包括不含分母的项）都乘这个最小公倍数，避免漏乘。
实例：上述方程两边同乘 6，得\(6 \frac{x}{2} + 6 \frac{x - 1}{3} = 6 1\)，即\(3x + 2(x - 1) = 6\)。
去括号（若有）：去分母后若出现括号，按去括号法则去掉括号。
后续步骤：移项、合并同类项、系数化为 1，与常规解方程步骤相同。
四、注意事项
去分母时，不含分母的项也要乘最小公倍数，否则会破坏等式平衡。
若分子是多项式，去分母后需给分子加上括号，避免符号错误。例如\(\frac{x - 1}{2}\)乘 2 后应变为\((x - 1)\)，而不是\(x - 1\)（当分母前有负号时尤为重要）。
五、例题解析
例题 3：解方程\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 1}{2} = 1\)。
解：步骤 1：确定分母 3 和 2 的最小公倍数是 6，方程两边同乘 6，得\(6 \frac{2x - 1}{3} - 6 \frac{x + 1}{2} = 6 1\)。
步骤 2：化简得\(2(2x - 1) - 3(x + 1) = 6\)。
步骤 3：去括号，得\(4x - 2 - 3x - 3 = 6\)。
步骤 4：合并同类项，得\(x - 5 = 6\)。
步骤 5：移项，得\(x = 6 + 5 = 11\)。
例题 4：解方程\(\frac{3x + 1}{4} - 1 = \frac{x - 1}{2}\)。
解：步骤 1：分母 4 和 2 的最小公倍数是 4，两边同乘 4，得\(3x + 1 - 4 = 2(x - 1)\)（注意 “-1” 乘 4 得 - 4）。
步骤 2：去括号，得\(3x + 1 - 4 = 2x - 2\)。
步骤 3：合并左侧常数项，得\(3x - 3 = 2x - 2\)。
步骤 4：移项，得\(3x - 2x = -2 + 3\)。
步骤 5：合并同类项，得\(x = 1\)。
第三部分：综合练习
用去括号法解下列方程：
（1）\(3(2x + 5) = 2(4x + 3) - 3\)
（2）\(7 - (x - 2) = 3(2x + 1)\)
用去分母法解下列方程：
（1）\(\frac{x + 1}{5} = \frac{3x - 1}{3} - 2\)
（2）\(\frac{2x - 1}{6} - \frac{3x + 1}{4} = \frac{x}{2}\)
第四部分：易错点总结
去括号时的错误：
漏乘括号内的项，如\(2(x + 3)\)去括号后误写为\(2x + 3\)（正确应为\(2x + 6\)）。
括号前是负号时，部分项未变号，如\(-(2x - 1)\)去括号后误写为\(-2x - 1\)（正确应为\(-2x + 1\)）。
去分母时的错误：
漏乘不含分母的项，如\(\frac{x}{2} + 1 = 3\)去分母时误写为\(x + 1 = 6\)（正确应为\(x + 2 = 6\)）。
分子是多项式时未加括号，如\(\frac{x - 1}{2} 2\)误写为\(x - 1\)（当分母前有负号时，如\(-\frac{x - 1}{2} 2\)，易误写为\(-x - 1\)，正确应为\(-(x - 1) = -x + 1\)）。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
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变式训练
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中考考法
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小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1.能利用去括号、去分母解一元一次方程，并理解每一步变形的依据,提高运算能力,体会化归思想.
2.归纳解一元一次方程的一般步骤,并能灵活运用到解方程中.
问题1 某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2 000度，全年用电15万度，这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？
【分析】若设上半年每月平均用电x度，则下半年每月平均用电 度，上半年共用电 度，下半年共用电 度
因为全年共用了15万度电，所以,可列方程 .
（x-2 000）
6（x-2 000）
6x
6x+ 6（x-2 000）=150 000
你会解这个方程吗？
方程的左边有带括号的式子，可以尝试去括号！赶快动手试一试吧！
课堂导入
去括号
6x + 6 ( x－2 000 ) = 150 000
6x+6x－12 000=150 000
6x+6x=150 000+12 000
12x=162 000
x=13 500
移项
合并同类项
系数化为1
方程中有带括号的式子时，去括号是常用的化简步骤.
新知探究
知识点1 通过去括号解一元一次方程
例1 解方程： 6(2x -5) +20= 4（1-2x）.
解：
去括号，得 12x-30+20=4-8x.
移项，得
12x+8x=4+30-20.
合并同类项，得
20x=14.
两边同时除以20，得
x= .
新知探究
知识点1 通过去括号解一元一次方程
去括号必须注意的事项：
1.如果括号外的因数是负数时，去括号后，原括号内各项的符号要改变；
2.乘数与括号内多项式相乘时，乘数应乘括号内的每一项，不要漏乘．
新知探究
知识点1 通过去括号解一元一次方程
如何求毕达哥拉斯的学生有多少名？
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，有一次有位数学家问他：“尊敬的毕达哥拉斯先生，请告诉我，有多少名学生在你的学习里听你讲课？”毕达哥拉斯回答说：“我的学生，现在有 在学习数学， 在学习音乐， 沉默无言，此外，还有三名妇女.
课堂导入
你有不同的解法吗？
解：设毕达哥拉斯的学生有x名.根据题意，可列方程
这个方程怎么解？
移项，得
合并同类项，得
两边同时除以 ，得
新知探究
知识点2 通过去分母解一元一次方程
提 示：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.
这个方程中各分母的最小公倍数是28，方程两边乘28.
新知探究
知识点2 通过去分母解一元一次方程
解：去分母得
移项，得
合并同类项，得
两边同时除以-3，得
把分数化成整数计算更简单！
两种解法有什么不同？你认为哪种解法比较好？
新知探究
知识点2 通过去分母解一元一次方程
利用去分母解一元一次方程：
1.解系数是分数的方程时，将方程的左、右两边同时乘各分母的最小公倍数可化去分母，将系数化为整数.
2.去分母的依据是等式的基本性质2.
新知探究
知识点2 通过去分母解一元一次方程
例2 解方程：
解：去分母，得
去括号，得
移项，合并同类项，得
两边同时除以4，得
小心漏乘，记得添括号！
新知探究
知识点2 通过去分母解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤是：
未知数的系数化为1
去分母、去括号、
移项、合并同类项
一元一次方程
ax=b
(a，b是常数，a≠0)
两边都除以a，得
新知探究
知识点2 通过去分母解一元一次方程
1.解方程2-3(2x-3)=0时，下列去括号正确的是( )
A.2-6x+9=0 B.2-6x-3=0
C.2-6x-9=0 D.2-6x+3=0
A
随堂练习
2.解方程 时，为了去分母，应将方程两边同乘以( )
A.30 B.15
C.10 D.6
A
随堂练习
3.若x=2是方程(2k-7)x=k+7的解，则k的值是( )
A.1 B.-1 C.7 D.-7
C
4.若关于x的一元一次方程 的解是x=-1，则k的值是( )
A. B.1 C. D.0
B
随堂练习
5.若式子 与 的值相等，x= .
6.如果规定符号“*”的运算规则为a*b= (其中a，b为有理数)，那么方程3*x= 的解是x=________.
5
随堂练习
7.下面方程的求解是否正确？如不正确，请改正.
解方程 2(2x+3)=2+x.
解 去括号，得 4x+3=2+x.
移项，得 4x +x = 2-3.
化简，得 5x = -1.
方程两边都除以5 ，得
x = -
应改为4 x +6 =2+x
应改为4 x– x = 2-6
应改为3x =-4
应改为 x =
方程两边都除以3，得
随堂练习
8.下列方程的解法对不对？如果不对，你能找出错在哪里吗？
解方程：
解：去分母，得 4x－1－3x + 6 = 1.
移项，合并同类项，得 x=4.
方程右边的“1”去分母时漏乘最小公倍数6
去括号符号错误
约去分母3后，(2x－1)×2在去括号时出错
随堂练习
知识点1 去括号法
1. 下列四种变形中，属于去括号的是(　C　)
A. 5 x ＋4＝0，则5 x ＝－4
C. 3 x －(2－4 x )＝5，则3 x －2＋4 x ＝5
D. 5 x ＝2＋1，则5 x ＝3
C
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2. [2024·贵阳十七中月考]解方程－2(2 x ＋1)＝ x 时，去括号
正确的是(　D　)
A. －4 x ＋1＝－ x B. －4 x ＋2＝－ x
C. －4 x －1＝ x D. －4 x －2＝ x
D
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知识点2 用去括号法解一元一次方程
3. 方程2( x －3)＝6的解是 .
【点拨】
2( x －3)＝6，去括号，得2 x －6＝6，解得 x ＝6.
x ＝6　
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4. [2024·西工大附中月考]若2( a ＋3)的值与4互为相反数，则
a 的值为 .
【点拨】
由题意得2( a ＋3)＋4＝0，2 a ＋6＋4＝0，2 a ＝－
10， a ＝－5.
－5　
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5. 解方程：
10 x －4(3－ x )－5(2＋7 x )＝15 x －9( x －2).
【解】去括号，得10 x －12＋4 x －10－35 x ＝15 x －9 x ＋
18.合并同类项，得－21 x －22＝6 x ＋18.
移项，得－21 x －6 x ＝22＋18.
合并同类项，得－27 x ＝40.
系数化为1，得 x ＝－ .
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知识点3 去分母法
6. 解方程 －1＝ ，为了去分母应给方程两边同时乘
的最合适的数是(　C　)
A. 6 B. 9 C. 12 D. 24
C
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7. [2024·重庆一中月考]解一元一次方程 ( x ＋1)＝1－ x
时，去分母正确的是(　D　)
A. 3( x ＋1)＝1－2 x B. 2( x ＋1)＝1－3 x
C. 2( x ＋1)＝6－3 x D. 3( x ＋1)＝6－2 x
D
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知识点4 用去分母法解一元一次方程
8. [2024·合肥四十五中月考]根据下列解方程 ＝
的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号
内填写变形依据.
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解：原方程可变形为 ＝ .(　分数的基本性质　)
去分母，得3(3 x ＋5)＝2(2 x －1).(　等式的性质2　)
去括号，得9 x ＋15＝4 x －2.(　去括号法则(或分配律)　)
(　移项　)，得9 x －4 x ＝－15－2.(　等式的性质1　)
(　合并同类项　)，得5 x ＝－17.
(　系数化为1　)，得 x ＝－ .(　等式的性质2　)
分数的基本性质
等式的性质2
去括号法则(或分配律)
移项
等式的性质1
合并同类项
系数化为1
等式的性质2
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9. [新考法·2024·衢州·过程辨析法]小红在解方程 ＝ ＋
1时，第一步出现了错误：
解：2×7 x ＝(4 x －1)＋1，
…
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(1)请在方框内用横线标出小红的错误处；
【解】如图.
解：2×7 x ＝(4 x －1)＋ 　1　，
…
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(2)写出正确的解答过程.
【解】去分母，得2×7 x ＝(4 x －1)＋6，去括号，
得14 x ＝4 x －1＋6，移项，得14 x －4 x ＝－1＋6，合
并同类项，得10 x ＝5，系数化为1，得 x ＝ .
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课堂小结
解一元一次方程
利用去括号与去分母解一元一次方程
解一元一次方程的步骤
利用去括号解方程
利用去分母解方程
去分母
去括号
移项
合并同类项
未知数系数化为1
谢谢观看！