5.4.3盈亏问题及形积变化问题 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
5.4.3盈亏问题及形积变化问题
第五章 一元一次方程
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
5.4.3 盈亏问题及形积变化问题
—— 用一元一次方程解决实际问题拓展
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
在实际生活中，我们还会遇到许多其他类型的问题，比如商家销售商品时出现的盈利或亏损情况，以及物体在形状或体积发生变化时相关数量的计算。这些问题虽然情境不同，但都蕴含着特定的数量关系，同样可以用一元一次方程来解决。本节课我们就来学习盈亏问题和形积变化问题的解法，进一步提升运用方程解决实际问题的能力。
第三页：盈亏问题
一、基本概念
盈亏问题主要研究在销售商品过程中，成本、售价、利润、利润率之间的关系，以及盈利、亏损情况的判断。
成本（进价）：指商家购进商品时的价格。
售价：指商家卖出商品时的价格。
利润：售价减去成本（若利润为正，则盈利；若利润为负，则亏损）。
利润率：利润与成本的比值（通常用百分数表示）。
二、基本数量关系
利润 = 售价 - 成本
利润率 = \(\frac{ }{ } 100\%\)
售价 = 成本 + 利润 = 成本 ×(1 + 利润率)
成本 = 售价 - 利润 = \(\frac{ ·}{1 + }\)（当盈利时）
成本 = \(\frac{ ·}{1 - }\)（当亏损时）
三、例题解析（盈亏问题）
例题 1：某商厘米）。
长方体体积 = \(12 3 x = 36x\)（立方厘米）。
列方程：\(36x = 216\)。
解方程：\(x = 216 ·36 = 6\)。
检验：\(12 3 6 = 216\)（立方厘米），与正方体体积相等，符合题意。
答：长方体铁块的高为 6 厘米。
例题 5：一个底面半径为 5 厘米、高为 10 厘米的圆柱体钢坯，要熔铸成一个底面半径为 2 厘米的圆柱体零件，求零件的高。
解：设零件的高为\(x\)厘米。
等量关系：圆柱体钢坯的体积 = 圆柱体零件的体积。
钢坯体积 = \(\pi 5^2 10 = 250\pi\)（立方厘米）。
零件体积 = \(\pi 2^2 x = 4\pi x\)（立方厘米）。
列方程：\(4\pi x = 250\pi\)（两边同时除以\(\pi\)），得\(4x = 250\)。
解方程：\(x = 250 ·4 = 62.5\)。
检验：\(\pi 2^2 62.5 = 4\pi 62.5 = 250\pi\)（立方厘米），与钢坯体积相等，符合题意。
答：零件的高为 62.5 厘米。
例题 6：一个长方形的长是 10 厘米，宽是 8 厘米，若将其长增加\(x\)厘米，宽减少\(x\)厘米，使其变成一个正方形，求\(x\)的值及正方形的边长。
解：因为变化后是正方形，所以边长相等，即长增加\(x\)厘米后等于宽减少\(x\)厘米后。
列方程：\(10 + x = 8 - x\)。
解方程：\(x + x = 8 - 10\)；\(2x = -2\)；\(x = -1\)（不符合实际，说明长应减少，宽应增加）。
重新分析：应是长减少\(x\)厘米，宽增加\(x\)厘米后变为正方形，列方程\(10 - x = 8 + x\)。
解方程：\(-x - x = 8 - 10\)；\(-2x = -2\)；\(x = 1\)。
正方形边长 = \(10 - 1 = 9\)（厘米）或\(8 + 1 = 9\)（厘米）。
检验：符合正方形边长相等的条件，符合题意。
答：\(x\)的值为 1，正方形的边长为 9 厘米。
第五页：易错点分析
盈亏问题：
混淆利润和利润率的计算：误将利润率当作利润，或计算利润率时用售价作分母（正确应为成本）。
解决两件商品盈亏问题时，错误地认为盈利和亏损百分比相同就不盈不亏，忽略了成本不同的影响。
形积变化问题：
体积（或面积）公式记忆错误：如将圆柱体体积公式记为\(\pi r h^2\)，导致计算错误。
忽略单位统一：如长度单位有的用厘米，有的用米，未统一单位就进行计算。
对 “锻造”“熔铸” 等概念理解不清，错误认为形状变化时体积也变化，而实际上体积不变。
例题 7：指出下列解题过程中的错误，并改正。
问题：一件商品进价为 100 元，按售价卖出后盈利 20%，求售价。
错误解法：
设售价为\(x\)元。
列方程：\(x - 100 = 20\%\)，解得\(x = 100.2\)。
答：售价为 100.2 元。
错误分析：混淆了利润和利润率，利润率是利润与成本的比值，不是利润本身。
正确解法：
设售价为\(x\)元。
利润为\((x - 100)\)元，利润率为 20%，则\(\frac{x - 100}{100} 100\% = 20\%\)。
列方程：\(x - 100 = 100 20\%\)，即\(x - 100 = 20\)，解得\(x = 120\)。
答：售价为 120 元。
第六页：课堂练习
填空题：
一件商品进价为 200 元，售价为 250 元，利润是______元，利润率是______。
一个正方体的棱长为 5 厘米，将其锻造成一个长方体，长方体的长为 10 厘米，宽为 5 厘米，则高为______厘米。
一件商品按进价的 150% 出售，即售价是进价的______倍，若进价为 100 元，售价为______元。
选择题：
某商品先按进价提高 50% 后标价，再打八折销售，售价为 240 元，则进价为（ ）
A. 160 元 B. 180 元 C. 200 元 D. 220 元
把一个长、宽、高分别为 8 厘米、6 厘米、4 厘米的长方体铁块熔铸成一个正方体，正方体的棱长为（ ）
A. 4 厘米 B. 6 厘米 C. 8 厘米 D. 10 厘米
解答题：
（1）某商店卖出两件商品，第一件盈利 50%，第二件亏损 20%，两件商品的售价均为 60 元，求商店卖出这两件商品的总利润。
（2）一个底面直径为 10 厘米、高为 15 厘米的圆柱体水桶，装满水后倒入一个长为 20 厘米、宽为 10 厘米的长方体水箱中，水深多少厘米？（\(\pi\)取 3.14）
（3）一块长方形铁皮，长为 40 厘米，宽为 30 厘米，从四个角各剪去一个边长为\(x\)厘米的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，盒子的底面积是原来铁皮面积的一半，求\(x\)的值。
第七页：课堂小结
盈亏问题：
核心是掌握利润、售价、成本、利润率之间的关系，利润 = 售价 - 成本，利润率 = \(\frac{ }{ } 100\%\)。
解题时需明确等量关系，根据具体问题设未知数并列出方程。
形积变化问题：
关键是抓住形状变化前后体积（或面积）不变的等量关系。
要熟记常见图形的体积（或面积）公式，注意单位统一。
解决这两类问题的步骤与其他实际问题相同：审题→设未知数→找等量关系→列方程→解方程→检验作答。
第八页：作业布置
教材第 XX 页习题 5.4 第 9、10、11 题。
填空题：
某商品亏损率为 10%，已知售价为 180 元，则进价为______元。
一个圆柱体的体积为\(100\pi\)立方厘米，若底面半径不变，高扩大到原来的 2 倍，则体积变为______立方厘米。
解答题：
（1）某商店将进价为 10 元的商品按每件 12 元出售，每天可销售 100 件，若每件提价 1 元，销量就减少 10 件，要使每天的利润为 300 元，每件应提价多少元？
（2）将一个长为 10 米、宽为 8 米、高为 6 米的长方体水池中的水全部注入一个底面半径为 4 米的圆柱体水池中，圆柱体水池的水深多少米？（结果保留一位小数，\(\pi\)取 3.14）
（3）一块正方形铁皮，边长为 20 厘米，从四个角各剪去一个相同的小正方形，然后折成一个高为 5 厘米的无盖长方体盒子，求盒子的容积。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1.在解决百分率、销售与储蓄问题的过程中，获得进一步的体验、感受、经验，提高用方程解决实际问题的能力.
2.在解决百分率、销售与储蓄问题的过程中，体会隐含的等量关系：“原有数量+增长数量=现有数量”.
观察下列各图，小组讨论图中这些数据对我们生活的影响.
5折酬宾
课堂导入
某企业2022年的生产总值为95 930万元，比2021年增长了7.3％．那么2021年该企业的生产总值为多少万元？(精确到1万元)
思考：
（1）本题具体的等量关系是什么？
2021年生产总值+2022年比2021年增长的产值=2022年的生产总值.
（2）抽象的等量关系是什么？
原有数量＋增长数量=现有数量
一起探究
新知探究
知识点1 增长率问题
2021年的生产总值 2021年～2022年间增长的产值 2022年的生产总值
x
(3)设该企业2021年的生产总值为x万元，填表：
7.3%x
95 930
(4)列出的方程是
x+7.3%x=95 930.
(5)请解这个方程
x≈89 404元.
增长率问题中常见的等量关系：
原量×（1+增长率）=增长后的量
原量×（1-减少率）=减少后的量
新知探究
知识点1 增长率问题
高利息

“存款利率问题”
例1 某期3年期国债，年利率为2.8%；这期国债发行时，3年期定期存款的年利率为3.0%.小红的爸爸有一笔钱，如果用来存3年期定期存款比买这期国债到期后可多得利息48元，那么这笔钱为多少元？
【分析】利息＝本金×年利率×年数；
解：设这笔钱是x元.依题意，得
x×3.0%×3-x×2.8%×3=48.
解得 x=8 000.
答：这笔钱是8 000元.
储蓄问题中常见的等量关系：
本金×利率×时间=利息
本金+利息=本息和
新知探究
知识点1 增长率问题
例2 玻璃厂熔炼玻璃液，由石英砂和长石粉混合而成.要求原料中含二氧化硅70%.根据化验，石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%.试问在3.2吨原料中，石英砂和长石粉各多少吨？
解：设需石英砂x吨，则长石粉为(3.2-x)吨.
依题意，得
x×99%+（3.2-x）×67%=3.2×70%.
解得x=0.3，
所以3.2-x=3.2-0.3=2.9（吨）.
答：需石英砂0.3吨，长石粉为2.9吨.
浓度问题中常见的等量关系：
浓度=溶质质量÷溶液质量×100%
新知探究
知识点1 增长率问题
跳楼价

“销售中的利润问题”
问题1 根据所学知识，完成下列内容：
（1）商品原价200元，九折出售，售价是 元；
（2）商品进价是150元，售价是180元，则利润是 元.
利润率是 ；　
（3）某商品原来每件零售价是a元， 现在每件降价10%，降价后每件零售价是 元；
（4）某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为 元；
（5）某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定售价是
　元.　　　　　　　　
180
30
20％
0.9a
1.25a
17
新知探究
知识点2 销售问题
销售问题中常见的等量关系：
1.售价、进价、利润的关系：
利润= 实际售价—进价（或成本）
2.进价、利润、利润率的关系：
利润率=利润÷进价×100%
3.标价、折扣数、售价关系 ：
售价= 标价×（折扣数÷10）
4.售价、进价、利润率的关系：
售价= 进价×（1+利润率）
新知探究
知识点2 销售问题
问题2 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损？或是不盈不亏
1.你估计盈亏情况是怎样的？
A. 盈利
B. 亏损
C. 不盈不亏
新知探究
知识点2 销售问题
2.销售的盈亏决定于什么？
120 ＞ 总成本
120 ＜ 总成本
120 ＝ 总成本
盈 利
亏 损
不盈不亏
销售的盈亏取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系.
新知探究
知识点2 销售问题
3.两件衣服的成本各是多少元？
盈利的一件
解：设盈利25%的衣服进价是 x 元，
依题意,得x＋0.25 x＝60.
解得 x＝48.
亏损的一件
设亏损 25%的衣服进价是 y元，
依题意,得y－0.25y＝60.
解得 y＝80.
两件衣服总成本：48＋80＝128 元；
因为120－128＝－8元；
所以卖这两件衣服共亏损了8元.
这个结论与你的猜想一致吗？
新知探究
知识点2 销售问题
1.一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上月多卖10%.设上个月卖出x双，则可列出方程为（ ）
A.10%x=330 B.(1-10%)x=33
C.(1-10%)2x=330 D.(1+10%)x=330
D
随堂练习
A
2.张先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是2.75%.到期后全部取出，得到本息(本金+利息)共21 650元.设张先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（ ）
A.x+3×2.75%x=21 650
B.x+2.75%x=21 650
C.3×2.75%x=21 650
D.3(x+2.75%x)=21 650
随堂练习
A
3.互联网“微商”经营已成为大众创业新途径.某微信平台上一件商品进价为200元，按标价的五折销售，仍可获利10% .设这件商品的标价为x元，根据题意列出方程为（ ）
A.0.5x-200=10%×200
B.0.5x-200=10%×0.5x
C.200=（1-10%）×0.5x
D.0.5x=（1-10%）×200
随堂练习
4.某件商品现在的售价为34元，比原价降低了15%，则原来的售价是( )
A.51元 B.28.9元 C.35元 D.40元
D
随堂练习
2. [2024·邯郸第十三中学模拟]某农场要对一块麦田施底肥，
现有化肥若干千克.如果每公顷施肥400 kg，那么余下化
肥800 kg；如果每公顷施肥500 kg，那么缺少化肥300 kg.
若设现有化肥 x kg，则可列方程为(　A　)
A
1
2
3
4
3. [2024·邯郸冀南新区期末]我国古代《孙子算经》卷中记载
“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车
空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若
3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个
人要步行，求人数和车数.甲、乙两人所列方程如下，下
列判断正确的是(　C　)
甲：设车数为 x 辆，可列方程为3( x －2)＝2 x ＋9
C
1
2
3
4
乙：设人数为 y 人，可列方程为 ＋2＝
A. 甲对乙错 B. 甲错乙对
C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错
1
2
3
4
4. [2024·石家庄期末]某办公楼刚建好，有一些相同的房间需
要铺地板，老板计划雇佣若干名工人，并对工人进行分
组，若每组3人，则多出2人；若每组4人，则还缺3人，已
知两种分法的组数相同.
(1)问老板雇佣了多少名工人？
1
2
3
4
【解】设老板雇佣了 x 名工人，
依题意得 ＝ ，
解得 x ＝17.
答：老板雇佣了17名工人.
1
2
3
4
(2)在实际工作中，工人按工作能力分为一级和二级，一
天3名一级工人去铺设4个房间，结果其中有5 m2地板未
来得及铺设；同样时间内4名二级工人铺设了5个房间
之外，还多铺设了另外的6 m2地板.已知每名一级工人
比二级工人一天多铺设4 m2地板，求每个房间需要铺设
的地板面积.
1
2
3
4
【解】设每个房间需要铺设的地板面积为 y m2，
依题意得 － ＝4，
解得 y ＝86.
答：每个房间需要铺设的地板面积为86 m2.
1
2
3
4
课堂小结
列一元一次方程解决百分率、销售问题
百分率问题
销售问题
储蓄问题
增长率问题
利润=售价-进价
售价=标价×（折扣÷10）
浓度问题
利润率=利润÷进价
谢谢观看！