5.4.4用一元一次方程解百分率问题 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
5.4.4用一元一次方程解百分率问题
第五章 一元一次方程
【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第一页：标题页
5.4.4 用一元一次方程解百分率问题
—— 百分数应用中的等量关系
（右下角添加授课教师姓名及日期）
第二页：引入
在生产生活中，我们经常会遇到与百分率相关的问题，比如经济增长的百分比、产品合格率的计算、税率的应用等。这些问题的核心是围绕 “百分率” 展开的数量关系，而一元一次方程是解决这类问题的有效工具。本节课我们将学习如何分析百分率问题中的等量关系，通过列方程求解实际问题，提升对百分数应用的理解和解题能力。
第三页：百分率问题的基本概念
百分率的定义：百分率是表示一个数是另一个数的百分之几的比率，通常用 “%” 表示。例如，增长率、合格率、出勤率、税率等都属于百分率。
基本公式：若基数为\(a\)，百分率为\(r\)（通常用百分数表示，计算时需化为小数），则：
增长（或减少）的量 = \(a r\)
增长（或减少）后的量 = \(a (1 + r)\)（增长时）或\(a (1 - r)\)（减少时）
第四页：常见类型及等量关系
一、增长率问题
特点：研究某量在原有基础上增长的百分比，如产量增长、人口增长等。
等量关系：
增长后的量 = 原量 ×(1 + 增长率)
连续增长时：最终量 = 原量 ×\((1 + é )^n\)（\(n\)为增长次数，一次增长时\(n=1\)）
二、降低率问题
特点：研究某量在原有基础上减少的百分比，如成本降低、浓度稀释等。
等量关系：
降低后的量 = )（元），符合题意。
答：该商品的降价率为 20%。
例题 5：某商店 2024 年的营业额为 80 万元，按照营业额的 5% 缴纳营业税，该商店应缴纳营业税多少万元？
解：根据税率公式，应纳税额 = 营业额 × 税率。
即\(80 5\% = 4\)（万元）。
答：该商店应缴纳营业税 4 万元。
例题 6：小明将 5000 元存入银行，定期一年，年利率为 2.25%，到期后他能获得本息和多少元？（不计利息税）
解：利息 = 本金 × 利率 × 时间 = \(5000 2.25\% 1 = 112.5\)（元）。
本息和 = 本金 + 利息 = \(5000 + 112.5 = 5112.5\)（元）。
答：到期后他能获得本息和 5112.5 元。
第七页：例题解析（合格率等问题）
例题 7：某车间生产了 1000 个零件，经检验合格率为 98%，求合格零件的数量。
解：合格零件数 = 总数 × 合格率 = \(1000 98\% = 980\)（个）。
答：合格零件的数量为 980 个。
例题 8：某学校七年级共有学生 300 人，某天的出勤率为 99%，求当天缺勤的人数。
解：出勤人数 = 总人数 × 出勤率 = \(300 99\% = 297\)（人）。
缺勤人数 = 总人数 - 出勤人数 = \(300 - 297 = 3\)（人）。
答：当天缺勤的人数为 3 人。
第八页：易错点分析
增长率与降低率混淆：误将 “增长” 用 “1 - 率” 计算，或 “降低” 用 “1 + 率” 计算。例如，求增长后的量时写成\(a (1 - r)\)。
百分率未化为小数计算：列方程时直接使用百分数，导致结果错误。例如，将\(20\%\)当作 20 代入方程，而应化为 0.2。
连续增长（降低）次数错误：两次增长时误按一次增长计算，忽略\((1 + r)^2\)中的平方。
税率与利率的基数混淆：计算利息时忘记乘时间，或计算应纳税额时用错计税基数。
合格率问题中总数与合格数颠倒：误将 “合格数 = 合格率 ÷ 总数”，正确应为 “合格数 = 总数 × 合格率”。
例题 9：指出下列解题过程中的错误，并改正。
问题：某商品原价 100 元，连续两次降价，每次降价率为 10%，求两次降价后的售价。
错误解法：
两次降价后的售价 = \(100 (1 - 10\% 2) = 100 0.8 = 80\)（元）。
错误分析：连续降价需用\((1 - é · )^2\)计算，而非直接减去两次降价的和。
正确解法：
两次降价后的售价 = \(100 (1 - 10\%)^2 = 100 0.81 = 81\)（元）。
答：两次降价后的售价为 81 元。
第九页：课堂练习
填空题：
某厂 2023 年的产量为 500 吨，2024 年的产量比 2023 年增长了 20%，2024 年的产量为______吨。
一种商品原价为 300 元，降价 15% 后的售价为______元。
小明存入银行 1000 元，年利率为 3%，存期 2 年，到期后利息为______元，本息和为______元。
某班有 50 名学生，某天的出勤率为 96%，当天出勤______人，缺勤______人。
选择题：
某商品经过一次涨价 20% 后，售价为 120 元，原价为（ ）
A. 100 元 B. 105 元 C. 110 元 D. 115 元
某工厂生产了 2000 个零件，合格率为 99.5%，不合格的零件有（ ）
A. 5 个 B. 10 个 C. 15 个 D. 20 个
解答题：
（1）某城市 2022 年的 GDP 为 1000 亿元，2023 年增长了 8%，2024 年在 2023 年的基础上又增长了 9%，求 2024 年的 GDP。
（2）某商品原价为 250 元，经过两次降价后售价为 160 元，求平均每次的降价率。
（3）某企业 2024 年的营业额为 500 万元，按营业额的 3% 缴纳营业税，同时按营业税的 7% 缴纳城市维护建设税，该企业 2024 年应缴纳城市维护建设税多少万元？
第十页：课堂小结
百分率问题的核心是围绕 “基数 ×(1 ± 率)” 的数量关系，需根据具体问题判断是增长还是降低。
常见类型包括增长率、降低率、税率、利率、合格率等，需熟记各自的等量关系。
解题步骤：审题确定基数和百分率→设未知数→根据等量关系列方程→解方程→检验并作答。
注意事项：百分率需化为小数计算，连续增长（降低）需用乘方形式，避免混淆增长率与降低率。
第十一页：作业布置
教材第 XX 页习题 5.4 第 12、13、14 题。
填空题：
某县 2023 年的粮食产量为 40 万吨，2024 年因灾减产 5%，2024 年的粮食产量为______万吨。
某品牌电脑原价 5000 元，先降价 10%，再提价 10% 后的售价为______元。
解答题：
（1）某商店将进价为 100 元的商品按利润率 20% 定价，然后打九折出售，实际售价是多少元？利润是多少元？
（2）某村 2020 年的人均收入为 8000 元，2022 年的人均收入为 9680 元，求这两年人均收入的平均增长率。
（3）某工厂计划在三年内将产量从每年 2000 台提高到 2662 台，求平均每年的增长率。
（4）一批产品的合格率为 95%，已知合格产品有 1900 个，求这批产品的总数。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1.通过对追及和等积变形问题的解决过程，进一步体会“同一个量的不同表示”这个基本的等量关系.
2.在解决追及和等积变形问题的过程中引导学生多角度地分析和解决问题，发展思维能力 .
想一想：
阿基米德为了帮助国王辨别皇冠的真假，需要测量皇冠的体积，确定皇冠的密度，聪明的阿基米德用非常巧妙的方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
h
r
=
课堂导入
小明早晨要在7：20以前赶到距家1 000米的学校上学．一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．
问爸爸追上小明用了多长时间？
新知探究
知识点1 追及问题
分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等.
解：设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的数量关系可用线段图表示.
据题意，得 80×5＋80x=180x.
答：爸爸追上小明用了4分钟．
解得 x=4.
80×5
80x
180x
新知探究
知识点1 追及问题
追及问题解题思路：
追及问题中的等量关系：
速度差×追及时间=追及路程
其中追及时间指快者和慢者共同行驶的时间，追及路程指慢者先行驶的路程.
新知探究
知识点1 追及问题
例1 某学校七年级学生进行了一次徒步行走活动.带队教师和学生们以4 km/h的速度从学校出发，20 min后，小王骑自行车前去追赶.如果小王以12 km/h的速度行驶，那么小王要用多久才能追上队伍？此时，队伍已走了多远？
分析：小王追上队伍，就是小王和队伍走过的路程相等.
即小王骑车行驶的路程=队伍行走的路程.
列方程时，量的单位要统一, 20min= h.
新知探究
知识点1 追及问题
解：设小王要用x h才能追上队伍，这时队伍行走的时间为（ ）h.依题意，得
解得
答：小王要 h才能追上队伍.此时，队伍已行走了2 km.
新知探究
知识点1 追及问题
例2 甲、乙两地相距100 km，一列慢车与一列快车同时从甲、乙两地出发，慢车每小时行驶65 km，快车每小时行驶85 km，快车行驶几小时后追上慢车？
分析：快车与慢车同时出发，即它们行驶的时间相等.
快车追上慢车，比慢车多行驶的距离即为甲、乙两地的距离.
即：快车行驶路程=慢车行驶路程+100km.
解：设快车出发x h能追上慢车. 依题意，得
解得 x=5.
答：快车出发5h能追上慢车.
新知探究
知识点1 追及问题
归纳总结
追及问题：
1.同地不同时：(1)
(2) (a为慢者先走的时间）
2.同时不同地：(1)
(2)
新知探究
知识点1 追及问题
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少名学生，共有多少本图书？
【分析】如果设这个班有x名学生，则图书的本数可以表示为___________本
或___________本.
根据图书的本数可以列方程解决.
解：设这个班有x名学生，根据题意列方程，得
解得x=45.
所以3x+20=3×45+20=155.
答：这个班有45名学生，共有155本图书.
新知探究
知识点2 盈亏问题
例3 某农场要对一块麦田施底肥，现有化肥若干千克．如果每公顷施肥400 kg，那么余下化肥800 kg；如果每公顷施肥500 kg，那么缺少化肥300 kg；这块麦田是多少公顷？现有化肥多少千克？
【分析】设这块麦田有x公顷，根据题意可得化肥的总数可表示为400x+800，或500x﹣300，根据化肥的总数不变可得方程．
解：设这块麦田有x公顷，根据题意, 得
400x+800＝500x﹣300，
解得 x＝11．
现有化肥数：400x+800＝5 200．
答：这块麦田是11公顷，现有化肥5 200千克．
新知探究
知识点2 盈亏问题
常见图形周长及面积公式
名称 图形 正方形
三角形
梯形
圆
平行四边形
r
a
b
h
c
d
a
h
b
c
a
a
h
b
用字母表示公式
周长（C）
面积（S）
新知探究
知识点3 等积变形问题
常见图形的体积公式
名称 图形 用字母表示公式
体积（V）
正方体
长方体
圆柱体
圆锥体
a
a
b
c
r
h
r
h
新知探究
知识点3 等积变形问题
问题 用一根长为100米的铁丝围成一个长比宽长10米的长方形，问这个长方形的长和宽各是多少米？
在这个过程中什么没有发生变化？
长方形的周长=原铁丝的长度
新知探究
知识点3 等积变形问题
解：设长方形的宽为x米，则长为(x+10)米.
依题意，得
2（x+x+10）=100.
解得 x=20.
所以长为x+10=20+10=30（米）.
答：长方形的长为30米，宽为20米.
新知探究
知识点3 等积变形问题
例4 如图，用直径为200毫米的圆钢，锻造一个长、宽、高分别为300毫米、300毫米和90毫米的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少？（计算时，π取3.14）
200
x
90
300
300
新知探究
知识点3 等积变形问题
解：设应截取圆钢x毫米.依题意，得
【分析】本题中涉及的等量关系为
圆钢体积=长方体毛胚的体积
答：应截取258毫米长的圆柱体钢.
解得
等积变形就是无论物体怎么变化都存在一个等量关系，即物体变化前后面积或体积不变
新知探究
知识点3 等积变形问题
1.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( 　　)
A.6 cm　　　B.7 cm　　　C.8 cm　　　D. 9 cm
B
随堂练习
2.一个宽为3cm的长方形与一个边长为6cm的正方形面积相等，则这个长方形的周长为（ ）
A.12 cm B.18 cm C.24 cm D.30 cm
D
3.甲、乙两人练习赛跑，从同一地点出发，甲每秒跑7米，乙先跑1秒，结果甲用10秒追上乙，在这个过程中下列说法正确的是(　　)
A．乙跑了1秒 B．乙跑了11秒
C．甲跑了11秒 D．甲比乙跑的路程少
B
随堂练习
知识点1 销售问题
1. 由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的
七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈
利20元，则该商品的原售价为(　D　)
A. 230元 B. 250元
C. 270元 D. 300元
1
2
3
4
5
6
【点拨】
设该商品的原售价为 x 元，则可列方程为0.75 x ＋25
＝0.9 x －20，解得 x ＝300.故选D.
D
【答案】
1
2
3
4
5
6
2. 已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了160元，其中
一件盈利60％，另一件亏损20％，在这次买卖中这家商店
(　B　)
A. 不盈不亏 B. 盈利20元
C. 盈利10元 D. 亏损20元
B
1
2
3
4
5
6
知识点2 股票与储蓄问题
3. 某股民将甲、乙两种股票卖出，甲种股票卖得1 500元，
盈利20％；乙种股票卖得1 500元，但亏损20％，该股民
在这次交易中(　B　)
A. 盈利125元 B. 亏损125元
C. 不亏不盈 D. 亏损625元
1
2
3
4
5
6
设甲种股票、乙种股票买进价分别是 a 元， b 元.根
据题意得 a (1＋20％)＝1 500，
所以 a ＝1 250.
b (1－20％)＝1 500，所以 b ＝1 875.
1 500×2－(1 250＋1 875)＝－125(元).
故该股民在这次交易中亏损125元.
【点拨】
B
【答案】
1
2
3
4
5
6
4. 某储户去年8月份存入定期为1年的人民币5 000元(去年1年
定期存款利率为1.75％).设到期后银行应向该储户支付现
金 x 元，则所列方程正确的是(　A　)
A. x －5 000＝5 000×1.75％
B. x ＋5 000＝5 000×1.75％
C. x ＋5 000＝5 000×(1＋1.75％)
D. x ＋5 000×1.75％＝5 000
1
2
3
4
5
6
【点拨】
到期后银行应向该储户支付的现金＝本金＋利息，可
列方程为 x ＝5 000(1＋1.75％)，即 x －5 000＝5 000×1.75％.故选A.
A
【答案】
1
2
3
4
5
6
利用方程解销售中的价格问题
5. 同样一件衣服A商店的进价比B商店的进价低10％，若
A，B商店销售该衣服的利润率分别为20％和17％，该衣
服在A商店的售价比在B商店的售价低5.4元，则B商店该
衣服的进价为(　B　)
A. 56元 B. 60元
C. 72元 D. 80元
1
2
3
4
5
6
设B商店该衣服的进价是 x 元，则A商店该衣服的进
价是(1－10％) x 元.依题意，得(1＋17％) x －(1－10％) x
×(1＋20％)＝5.4，解得 x ＝60，所以B商店该衣服的进
价是60元.故选B.
【点拨】
B
【答案】
1
2
3
4
5
6
利用方程解储蓄中的本金问题
6. [情境题·生活应用]为了准备小颖六年后上大学的学费15
000元，她的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储
蓄方式：
方式一：先存三年期的，三年后将本息和自动转存三
年期；
方式二：直接存六年期的.
1
2
3
4
5
6
期数 教育储蓄年利率/％
一年 1.75
三年 2.35
六年 2.60
你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？
1
2
3
4
5
6
解得 x ≈13 089.35.
方式二： y (1＋6×2.60％)＝15 000，
解得 y ≈12 975.78.
因为 x ＞ y ，所以方式二开始存入的本金比较少.
【解】设两种储蓄方式开始存入的本金分别为 x 元、 y 元.
方式一： x (1＋3×2.35％)(1＋3×2.35％)＝15 000，
1
2
3
4
5
6
课堂小结
列方程解决盈亏、追击及等积变形问题
追及问题
等积变形问题
同地不同时
同时不同地
等长变形
等积变形
盈亏问题
根据总数不变列方程
谢谢观看！