5.3 实际问题与一元一次方程-第1课时 配套问题、调配问题与工程问题 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
5.3 实际问题与一元一次方程-
第1课时 配套问题、调配问题与工程问题
第五章 一元一次方程
【2024新教材】人教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：第 1 课时 配套问题、调配问题与工程问题
副标题：一元一次方程的实际应用之旅
背景图：设计包含工厂零件、人员调配场景、工程施工工具等元素的图案，体现三类实际问题的特点，营造探索数学应用的氛围
幻灯片 2：目录
复习回顾
配套问题讲解
调配问题讲解
工程问题讲解
课堂练习与互动
课堂小结
课后作业布置
幻灯片 3：复习回顾
回顾方程解法：展示方程\(\frac{2x - 1}{3} + 1 = \frac{x + 2}{2}\)，邀请学生快速说出求解步骤，回顾去分母（两边同乘分母最小公倍数）、去括号、移项、合并同类项、系数化为\(1\)的过程，强化一元一次方程的解法 。
提问引入新课：“我们已经学会解一元一次方程，那在实际生活中，如何用它解决配套生产、人员调配、工程施工等问题呢？今天我们就来探索配套问题、调配问题与工程问题。”
幻灯片 4：配套问题讲解 - 情境引入
问题展示：“某车间有\(22\)名工人，每人每天可以生产\(1200\)个螺钉或\(2000\)个螺母。\(1\)个螺钉需要配\(2\)个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？”
引导分析：设应安排\(x\)名工人生产螺钉，则\((22 - x)\)名工人生产螺母。每天生产螺钉\(1200x\)个，螺母\(2000(22 - x)\)个。根据 “\(1\)个螺钉需要配\(2\)个螺母，即螺母数量是螺钉数量的\(2\)倍” 这一等量关系，列出方程\(2 1200x = 2000(22 - x)\) 。
幻灯片 5：配套问题讲解 - 解题过程
解方程：\(
\begin{align*}
2 1200x &= 2000(22 - x)\\
2400x &= 44000 - 2000x\\
2400x + 2000x &= 44000\\
4400x &= 44000\\
x &= 10
\end{align*}
\)
得出答案：生产螺钉的工人为\(10\)名，生产螺母的工人为\(22 - 10 = 12\)名。
方法总结：配套问题的关键是找出配套物品之间的数量关系，以此作为等量关系列出方程 。
幻灯片 6：配套问题 - 巩固练习
题目展示：“一套仪器由一个\(A\)部件和三个\(B\)部件构成。用\(1\)立方米钢材可做\(40\)个\(A\)部件或\(240\)个\(B\)部件。现要用\(6\)立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做\(A\)部件，多少钢材做\(B\)部件，才能恰好配成这种仪器？”
互动环节：让学生独立思考，尝试找出等量关系并列出方程，教师巡视指导，选取学生分享解题思路 。
幻灯片 7：调配问题讲解 - 情境引入
问题展示：“甲、乙两仓库分别存粮\(200\)吨、\(150\)吨，若从甲仓库调运\(x\)吨到乙仓库，则两个仓库的存粮吨数相等，求\(x\)的值。”
引导分析：甲仓库调运\(x\)吨后，存粮变为\((200 - x)\)吨；乙仓库调入\(x\)吨后，存粮变为\((150 + x)\)吨。根据 “调运后两个仓库的存粮吨数相等” 这一等量关系，列出方程\(200 - x = 150 + x\) 。
幻灯片 8：调配问题讲解 - 解题过程
解方程：\(
\begin{align*}
200 - x &= 150 + x\\
-x - x &= 150 - 200\\
-2x &= -50\\
x &= 25
\end{align*}
\)
方法总结：调配问题要分析调配前后数量的变化情况，根据变化后的等量关系列出方程 。
幻灯片 9：调配问题 - 巩固练习
题目展示：“某班级开展活动，若将全班同学分成\(4\)个小组，则余\(3\)人；若分成\(5\)个小组，则缺\(2\)人。求该班级的学生人数。”
互动环节：引导学生设未知数，找出人数在不同分组情况下的等量关系，列出方程并求解，邀请学生上台板演 。
幻灯片 10：工程问题讲解 - 情境引入
问题展示：“一项工程，甲单独做需要\(10\)天完成，乙单独做需要\(15\)天完成。两人合作，需要几天完成这项工程？”
引导分析：把这项工程的工作量看作单位 “\(1\)”。根据工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间，可得甲的工作效率为\(\frac{1}{10}\)，乙的工作效率为\(\frac{1}{15}\)。设两人合作\(x\)天完成，根据 “甲的工作量 + 乙的工作量 = 总工作量”，列出方程\((\frac{1}{10} + \frac{1}{15})x = 1\) 。
幻灯片 11：工程问题讲解 - 解题过程
解方程：\(
\begin{align*}
(\frac{1}{10} + \frac{1}{15})x &= 1\\
(\frac{3}{30} + \frac{2}{30})x &= 1\\
\frac{5}{30}x &= 1\\
x &= 1 \frac{30}{5}\\
x &= 6
\end{align*}
\)
方法总结：工程问题通常把工作量看作单位 “\(1\)”，根据工作效率、工作时间和工作量之间的关系找出等量关系列方程 。
幻灯片 12：工程问题 - 巩固练习
题目展示：“一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管。单独开甲管\(6\)小时可注满水池，单独开乙管\(8\)小时可注满水池，单独开丙管\(9\)小时可将满池水排空。若先将甲、乙管同时开放\(2\)小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？”
互动环节：让学生思考分析，找出工作量之间的关系，列出方程求解，教师集中讲解疑难问题 。
幻灯片 13：课堂练习与互动
题目展示：
某车间生产某种螺栓和螺母，一个螺栓的两头各套上一个螺母配成一套。已知每天生产螺母\(1200\)个，生产螺栓\(700\)个，问应使生产螺栓和螺母的工人如何分配，才能使每天生产的产品刚好配套？
甲队有\(32\)人，乙队有\(28\)人，现从乙队抽调\(x\)人到甲队，使甲队人数是乙队人数的\(2\)倍，求\(x\)的值。
一项工作，甲单独做\(12\)天完成，乙单独做\(8\)天完成。两人合作\(4\)天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？
课堂互动：学生独立完成练习，教师巡视批改，针对共性问题集中讲解，对个别学生进行辅导 。
幻灯片 14：课堂小结
知识回顾：总结配套问题、调配问题、工程问题的解题思路，回顾如何根据不同问题找出等量关系并列出方程 。
方法总结：强调解决实际问题的关键是分析问题中的数量关系，将实际问题转化为数学模型，用一元一次方程求解 。
重点强调：鼓励学生在生活中发现数学问题，运用所学知识解决问题，提高数学应用能力 。
幻灯片 15：课后作业布置
基础作业：
制作一张桌子要用一个桌面和\(4\)条桌腿，\(1\)立方米木材可制作\(20\)个桌面，或者制作\(400\)条桌腿。现有\(12\)立方米木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
某班学生去图书馆借书，若借\(40\)本，平均分发给每个学生还差\(2\)本；若借\(65\)本，平均分发给每个学生后还剩\(2\)本；若借\(83\)本，平均分发给每个学生则还差\(1\)本，这个班最多有多少名学生？
一件工作，甲单独做\(20\)小时完成，乙单独做\(12\)小时完成。现在先由甲单独做\(4\)小时，剩下的部分由甲、乙合做，还需要几小时完成？
拓展作业：观察生活中与配套、调配、工程相关的实际问题，选择一个进行详细分析，尝试用多种方法解决，并比较不同方法的优缺点 。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.会运用一元一次方程解决物品配套问题和工程问题.
2.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本思路和步骤.
学习目标
前面我们在学习一元一次方程的解法时，附带研究了如何列一元一次方程解决实际问题，初步了解方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具，本节我们重点研究如何用一元一次方程解决实际问题，从几个典型的实际问题入手，教会同学们列方程解决实际问题的具体方法.
课堂导入
知识点1 配套问题
新知探究
例1 某车间有22名工人,每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
螺母数量是螺栓数量的2倍
螺母数量=螺栓数量2
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺栓 x 1 200
螺母 2 000
1 200 x
2 000(22-x)
22-x
=2×1 200 x
2 000(22-x)
知识点1 配套问题
新知探究
例1 某车间有22名工人,每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
解：设应安排x名工人生产螺栓，(22-x)名工人生产螺母.
根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程
2 000(22-x)=21 200x.
解方程，得
x=10.
进而
22-x=12.
答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母.
知识点1 配套问题
新知探究
如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？
例1 某车间有22名工人,每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺栓 1 200
螺母 x 2 000
1 200(22-x)
2 000x
22-x
2 000x=2×1 200(22-x)
螺母数量=螺栓数量2
这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据.
知识点1 配套问题
新知探究
跟踪训练 一台仪器由1个A部件和3个B部件构成. 用1 m3钢材可以做40个A部件或240个B部件.现要用6 m3钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？
解：设应用 x m3钢材做A部件，(6-x) m3 钢材做B部件.
依题意,得 3×40 x＝240 (6－x) .
解方程，得 x＝4.
所以6-4=2(m3)，40×4=160(台).
答：应用4 m3钢材做A部件，2 m3 钢材做B部件，配成这种仪器160台.
知识点1 配套问题
新知探究
配套问题中的基本数量关系：
若m个A和n个B配成一套，则，
可得相等关系：m×B的数量=n×A的数量.
知识点2 工程问题
新知探究
例2 整理一批图书，由1人整理需要40 h完成.现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？
分析：如果把总工作量设为1，则人均效率（一个人1 h完成的工作量）为.
列表分析：
人均效率 人数 时间 工作量
前一部 分工作 4
后一部 分工作 8
x+2
x
1
知识点2 工程问题
新知探究
例2 整理一批图书，由1人整理需要40 h完成.现计划由一部分人先整理4 h，然后增加2人与他们一起整理8 h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？
解：设先安排x人整理4 h.
根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程
1
解方程，得
x=2.
答：应先安排2人进行整理.
这类问题中常常把总工作量看作1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题.
知识点2 工程问题
新知探究
跟踪训练 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？
解：设要x天可以铺好这条管线.
根据题意，得 +=1.
解得x=8.
答：要8天可以铺好这条管线.
知识点2 工程问题
新知探究
工程问题中的基本数量关系：
工作量=工作效率×工作时间（或人均效率×时间×人数）；
合作的效率=各部分单独做的效率和；
总工作量=各部分工作量之和.
知识点2 工程问题
新知探究
归纳
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
实际问题
实际问题
的答案
一元一次方程
一元一次方程的解（x=m）
设未知数
列方程
解方程
检 验
知识点2 工程问题
新知探究
这一过程一般包括以下几个步骤.
1.审：审题，找相等关系；
2.设：设未知数；
3.列：列方程；
4.解：解方程；
5.检：检验所得结果；
6.答：确定答案.
正确分析问题中的相等关系是列方程的基础.
归纳
知识点1 配套问题
1.［教材 例1变式］某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓套两个
螺母的产品，每人每天生产螺栓22个或螺母16个.则安排多少名工人生
产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母配套？
解：设安排 名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为_________名，每天
生产螺栓_____个，螺母___________个，则可列方程为______________
_______，解得 ___.
8
2. 汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑
为魁”之称.某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组
成.用瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯，现要用 瓷泥制作茶具，设用
瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套.根据题意，下面所列
方程正确的是( )
D
A. B.
C. D.
3.（8分）［2025天津月考］某车间有38名工人，每人每天可以生产
1 200个甲型零件或2 000个乙型零件.2个甲型零件要配3个乙型零件，
为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲型零件和乙型
零件的工人各多少名？
解：设安排名工人生产甲型零件，则安排 名工人生产乙型零件，
由题意得，解得 ，所以
.
答：应安排生产甲型零件的工人20名，生产乙型零件的工人18名.
知识点2 调配问题
4.（8分）［教材练习T 变式］［2025北京期末］在一次劳动课上，
有24名同学在甲处劳动，有18名同学在乙处劳动，现在从乙处调一部分
人去支援甲处，使得在甲处的人数比在乙处人数的2倍多3人，应从乙处
调往甲处多少人？
解：设应从乙处调往甲处人，根据题意得 ，解
得 .
答：应从乙处调往甲处5人.
知识点3 工程问题
5.一段损坏的道路单独由甲工程队维修需要 ，单独由乙工程队维修需
要 .若这两个工程队从道路两端同时施工，需要多少小时可以维修完？
设需要 可以维修完，则可列方程为____________.
6.一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成.现由甲先做2天，
乙再加入合做，则完成这项工程共需___天.
5
7.（8分）［2024陕西中考］星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次
家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需 ；
若爸爸单独完成，需 .当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加
篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务.小峰和爸爸这次一共
打扫了 ，求这次小峰打扫了多长时间.
解：设这次小峰打扫了，则爸爸打扫了 ，
由题意，得 ，
解得 .
答：这次小峰打扫了 .
8.一个条件缺失的问题情境：一项工程，甲队单独做需要12天完成， ，
还需要几天完成任务？根据标准答案，老师在黑板上画出线段示意图
（如图），设两队一起做还需 天完成任务，并列方程为
.根据上面信息，下面结论不正确的是( )
D
A.乙队单独做需要8天完成
B.处代表的代数式为
C. 处代表的实际意义：甲先做2天的工作量
D.甲先做2天，然后两队一起做5天完成了整个工程
9.（8分）［教材 例2变式］整理一批图书，若由一个人单独做需要
80小时完成，假设每个人的工作效率相同.若限定32小时完成，由一个
人先做8小时，则需要再增加多少人帮忙，才能在规定的时间内完成？
解：设需要再增加 人帮忙，
根据题意，得 ，
解得 .
答：需要再增加2人帮忙，才能在规定的时间内完成.
10.（8分）某加工厂利用如图①所示的长方形和正方形铁片（长方形的
宽与正方形的边长相等）焊接成如图②所示的型铁盒与 型铁盒，两
种铁盒均无盖.
（1）现要制作个型铁盒和个 型铁盒，共需要__________张长方形
铁片，_________张正方形铁片.
（2）现有正方形铁片50张，长方形铁片100张，若这些铁片恰好用完，
则可制作型、 型两种铁盒各多少个？
解：设可制作型铁盒 个，
则可制作型铁盒 个.
由题意，得 ，
解得 ，
所以 .
答：可制作型铁盒10个， 型铁盒20个.
11.（8分）某工厂一车间有50名工人，某月接到加工两种轿车零件的任
务.每名工人每天能加工甲种零件30个或加工乙种零件20个.
（1）若一辆轿车只需要甲种零件1个和乙种零件1个，为使每天加工的
零件能配套生产轿车，问应安排多少名工人加工甲种零件？
解：设应安排名工人加工甲种零件，则有 名工人加工乙种零
件，由题意，得 ，
解得 .
答：应安排20名工人加工甲种零件.
（2）若一辆轿车需要甲种零件7个和乙种零件2个，加工一个甲种零件
的加工费为10元，加工一个乙种零件的加工费为12元，若50名工人正好
使得每天加工的零件能配套生产轿车，求一天这50名工人所得的加工费
一共是多少元.
解：设有名工人加工甲种零件，则有 名工人加工乙种零件，
由题意，得 ，
解得，所以 .
（元）.
答：一天这50名工人所得的加工费一共是14 100元.
课堂小结
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
实际问题
实际问题
的答案
一元一次方程
一元一次方程的解（x=m）
设未知数
列方程
解方程
检 验
谢谢观看！