5.3 实际问题与一元一次方程-第4课时 分段计费问题与方案决策问题 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
5.3 实际问题与一元一次方程-第4课时
分段计费问题与方案决策问题
第五章 一元一次方程
【2024新教材】人教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：第 4 课时 分段计费问题与方案决策问题
副标题：用方程权衡生活中的选择与成本
背景图：选用水电费账单、出租车计价器、不同购物优惠方案对比图等元素，营造生活场景氛围，激发学生学习兴趣
幻灯片 2：目录
复习回顾
分段计费问题讲解
方案决策问题讲解
课堂练习与互动
课堂小结
课后作业布置
幻灯片 3：复习回顾
回顾积分问题：简要回顾上节课积分问题的常见类型（体育赛事积分、竞赛活动积分等）、积分规则以及根据等量关系列方程求解的方法，提问学生解决积分问题的关键步骤，强化根据实际情况建立方程模型的思维 。
回顾方程知识：快速复习一元一次方程的解法，展示方程\(3(x - 2) + 4x = 15\)，邀请学生简述求解过程（去括号、移项、合并同类项、系数化为 1），为解决新问题做好知识铺垫 。
提问引入新课：“在生活中，我们会遇到很多不同的收费方式，比如水电费按用量分段收费，购物时有多种优惠方案可供选择。这些问题该如何用数学知识解决呢？这节课我们就来学习分段计费问题与方案决策问题。”
幻灯片 4：分段计费问题讲解 - 情境引入
问题展示：“某地居民生活用电基本价格为每度\(0.50\)元，若每月用电量超过\(a\)度，超出部分按基本电价的\(80\%\)收费。某户九月份用电\(100\)度，共交电费\(46\)元，求\(a\)的值。”
引导分析：设每月用电量超过\(a\)度时开始加价收费。不超过\(a\)度的部分电费为\(0.5a\)元，超过\(a\)度部分的用电量为\((100 - a)\)度，这部分电费为\(0.5 80\% (100 - a)\)元。根据 “总电费 = 不超过部分电费 + 超过部分电费” 这一等量关系，列出方程\(0.5a + 0.5 80\% (100 - a) = 46\) 。
幻灯片 5：分段计费问题讲解 - 解题过程
解方程：\(
\begin{align*}
0.5a + 0.5 0.8 (100 - a) &= 46\\
0.5a + 0.4 (100 - a) &= 46\\
0.5a + 40 - 0.4a &= 46\\
0.5a - 0.4a &= 46 - 40\\
0.1a &= 6\\
a &= 60
\end{align*}
\)
方法总结：分段计费问题的关键是明确各段的计费标准，找出总费用与各段费用之间的关系，以此作为等量关系列出方程 。
幻灯片 6：分段计费问题 - 巩固练习
题目展示：“某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过\(60\)立方米，按每立方米\(0.8\)元收费；如果超过\(60\)立方米，超过部分按每立方米\(1.2\)元收费。已知某用户\(10\)月份的煤气费平均每立方米\(0.88\)元，求该用户\(10\)月份应交的煤气费是多少元？”
互动环节：让学生独立思考，尝试找出等量关系并列出方程，教师巡视指导，选取学生分享解题思路 。
幻灯片 7：方案决策问题讲解 - 情境引入
问题展示：“某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的\(80\%\)出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，还可按如下方案获得相应金额的奖券：
| 消费金额\(a\)（元）|\(200\leq a < 400\)|\(400\leq a < 500\)|\(500\leq a < 700\)|\(700\leq a < 900\)|...|
|----|----|----|----|----|----|
| 获奖券金额（元）|30|60|100|130|...|
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，购买标价为\(400\)元的商品，则消费金额为\(400 80\% = 320\)元，获得的优惠额为\(400 (1 - 80\%) + 30 = 110\)元。购买一件标价为\(1000\)元的商品，顾客得到的优惠额是多少？对于标价在\(500\)元与\(800\)元之间（含\(500\)元和\(800\)元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到\(\frac{1}{3}\)的优惠率？”
引导分析：先计算购买标价\(1000\)元商品的消费金额、优惠额。对于求优惠率为\(\frac{1}{3}\)时商品标价，设商品标价为\(x\)元，分\(500\leq x < 700\)和\(700\leq x < 800\)两种情况，根据 “优惠率 = 优惠额 ÷ 标价” 列出方程 。
幻灯片 8：方案决策问题讲解 - 解题过程
计算标价\(1000\)元商品优惠额：消费金额为\(1000 80\% = 800\)元，奖券金额\(130\)元，优惠额为\(1000 (1 - 80\%) + 130 = 330\)元 。
求解优惠率为\(\frac{1}{3}\)时商品标价：
当\(500\leq x < 700\)时，列出方程\([x(1 - 80\%) + 100] ·x = \frac{1}{3}\)，\(
\begin{align*}
(0.2x + 100) ·x &= \frac{1}{3}\\
0.2x + 100 &= \frac{1}{3}x\\
\frac{1}{3}x - 0.2x &= 100\\
\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x &= 100\\
\frac{5 - 3}{15}x &= 100\\
\frac{2}{15}x &= 100\\
x &= 750
\end{align*}
\)
当\(700\leq x < 800\)时，列出方程\([x(1 - 80\%) + 130] ·x = \frac{1}{3}\)，\(
\begin{align*}
(0.2x + 130) ·x &= \frac{1}{3}\\
0.2x + 130 &= \frac{1}{3}x\\
\frac{1}{3}x - 0.2x &= 130\\
\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x &= 130\\
\frac{2}{15}x &= 130\\
x &= 975 è
\end{align*}
\)
方法总结：方案决策问题要分析不同方案的计算方式，根据题目要求（如优惠率、成本比较等）找出等量关系，必要时需分类讨论 。
幻灯片 9：方案决策问题 - 巩固练习
题目展示：“某通讯公司推出了甲、乙两种收费标准供手机用户选择：
甲种收费标准：每月收取月租费\(10\)元，另外每通话\(1\)分钟加收\(0.2\)元；
乙种收费标准：不收取月租费，每通话\(1\)分钟收费\(0.3\)元。
（1）若某用户每月通话时间为\(x\)分钟，请分别表示出两种收费标准下该用户每月应缴的费用；
（2）若某用户估计每月通话时间为\(100\)分钟，应选择哪种收费标准比较合算？”
互动环节：引导学生分析题目，设未知数，列出不同方案的费用表达式，再进行比较，邀请学生上台板演 。
幻灯片 10：课堂练习与互动
题目展示：
为鼓励居民节约用水，某城市对居民生活用水实行 “阶梯水价”，计费方法如下表：
| 每户每月用水量\(m\)（立方米）| 水价（元 / 立方米）|
|----|----|
|\(18\)立方米及以下 | 2.5|
|\(18\)立方米以上但不超过\(25\)立方米的部分 | 3.3|
|\(25\)立方米以上的部分 | 6|
若某户居民本月交水费\(84.2\)元，求该户居民本月的用水量。
某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用\(45\)座客车若干辆，但有\(15\)人没有座位；若租用同样数量的\(60\)座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满。已知\(45\)座客车租金为每辆\(220\)元，\(60\)座客车租金为每辆\(300\)元，问：
（1）这批游客的人数是多少？原计划租用\(45\)座客车多少辆？
（2）若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？
互动环节：学生独立完成练习，教师巡视指导，选取学生上台展示解题过程，组织其他学生进行讨论和评价，教师针对学生出现的问题进行集中讲解 。
幻灯片 11：课堂小结
知识回顾：总结分段计费问题和方案决策问题的特点及解题方法，回顾如何根据不同情况找出等量关系并列出方程 。
方法总结：强调解决分段计费问题要明确各段计费标准，方案决策问题要分析不同方案的差异，必要时分类讨论，建立合适的方程模型求解 。
重点强调：提醒学生在解决实际问题时，要仔细审题，准确理解题意，注意单位统一和取值范围 。
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：
某市为更有效地利用水资源，制定了居民用水收费标准：如果一户每月用水量不超过\(15\)立方米，每立方米按\(1.8\)元收费；如果超过\(15\)立方米，超过部分按每立方米\(2.3\)元收费，其余仍按每立方米\(1.8\)元计算。另外，每立方米加收污水处理费\(1\)元。若某户一月份共支付水费\(58.5\)元，求该户一月份用水量。
某牛奶加工厂现有鲜奶\(9\)吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润\(500\)元；制成酸奶销售，每吨可获取利润\(1200\)元；制成奶片销售，每吨可获取利润\(2000\)元。该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工\(3\)吨；制成奶片，每天可加工\(1\)吨。受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受气温条件限制，这批牛奶必须在\(4\)天内全部销售或加工完毕。为此，该厂设计了两种可行方案：
方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜奶；
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好\(4\)天完成。
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
拓展作业：观察生活中更多的分段计费和方案决策场景，如快递收费、旅游出行方案等，选取一个实际问题进行详细分析，建立数学模型并求解，形成一篇小报告 。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 会从空调的综合费用比较计费方式中寻找数量关系，列出方程.
2. 体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用，能够根据已知条件选择分类关键点分析问题，选择最优方案.
学习目标
课堂导入
同学们，你们去过电器商场吗？
在冰箱、洗衣机、空调等家用电器上，我们常会看到右图这样的小标识，你知道这是什么意思吗？
课堂导入
中国能效标识又称能源效率标识，是附在耗能产品或其最小包装物上，表示产品能源效率等级等性能指标的一种信息标签.
等级越低，表示能耗越低，越节电.
我发现能耗低的电器比能耗高的电器价格贵，但能耗低的电器比较省电，电费低，我该怎么选择呢？
知识点 方案选择问题
新知探究
耗能高
中国能效标识
耗能低
12345
探究
不同能效空调的综合费用比较
购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.
某人打算从两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是0.5元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
两款空调的部分基本信息
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
知识点 方案选择问题
新知探究
综合费用=空调的售价+电费.
选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用的时间有关.
问题1 如果购买两款空调，综合费用有哪些部分组成？
两款空调的部分基本信息
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
知识点 方案选择问题
新知探究
问题2 如果空调的使用年数用字母t表示，请用代数式分别表示出两款空调的综合费用.
两款空调的部分基本信息
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
1级能效空调的综合费用是________________________，
化简后_________________.
3级能效空调的综合费用是________________________，
化简后_________________.
3 000+0.5×640t
3 000+320t
2 600+400t
2 600+0.5×800t
知识点 方案选择问题
新知探究
两款空调的部分基本信息
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1级 3000 640
1.5 3级 2600 800
问题3 t 取什么值时，两款空调的综合费用相等
3 000+320t=2 600+400t.
t=5.
所以当t=5时，两款空调的综合费用相等.
知识点 方案选择问题
新知探究
问题4 t 取什么值时，1级能效空调的综合费用较低 t 取什么值时，3级能效空调的综合费用较低
表示1级能效空调的综合费用：
3 000+320t.
表示3级能效空调的综合费用：
2 600+400t.
(3 000+320t)+(80t-400)
变形
3 000+320t+80(t-5).
讨论80(t-5)的
正负即可.
当t<5时，80(t-5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；
当t>5时，80(t-5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低.
知识点 方案选择问题
新知探究
为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2 600+400t变形为1级能效空调的综合费用3 000+320t与另外一个式子的和，即
(3 000+320t)+(80t-400)，
也就是
3 000+320t +80(t-5).
知识点 方案选择问题
新知探究
由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长（超过5年）时综合费用反而低.根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起），因此购买、使用1级能效空调更划算.
通常，1级能效空调既节能又省钱！
审题
更优惠
费用相同
列方程
用未知数表示费用
设未知数
选择最优方案问题的一般步骤：
知识点 方案选择问题
新知探究
知识点1 分段计费问题
1. 石家庄出租车收费标准如下：起步价8元（即行驶路程不超过
，付车费8元），每增加 ，加收1.6元.小轩从家到河北博物院
的路程为 ，乘出租车需付车费27.2元，则可列方程为( )
C
A. B.
C. D.
2.［2025重庆綦江区期末］某航空公司规定：乘坐飞机普通舱的旅客每
人最多只能免费托运的行李，超过部分每千克按机票价格的
购买行李票，一位旅客托运了 的行李，这样，机票和行李票共付
了1 339元，则该旅客的机票价格是( )
B
A.1 020元 B.1 030元 C.1 040元 D.1 050元
3.（8分）［2025烟台期末］“水是生命之源”，某自来水公司为鼓励用
户节约用水，按以下规定收取水费：
月用水量/吨 单价/（元/吨）
不超过20吨的部分 2
超过20吨的部分 2.5
另：每吨水加收0.3元的城市污水处理费 （1）若某用户11月份共用水25吨，则他应缴水费____元.
60
（2）若某用户12月份应缴水费为74元，则该用户12月份用水多少吨？
解：因为（元） 元，
所以该用户12月份用水量超过20吨，
设该用户12月份用水 吨，
由题意，得，解得 .
答：该用户12月份用水30吨.
知识点2 方案决策问题
4.某服装商店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，凭卡可在这
家商店按八折购物，下列情况买卡购物合算的是( )
C
A.购物900元 B.购物500元 C.购物1 200元 D.购物1 000元
5.元旦期间，某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物超过100元但
不超过300元，在原价基础上一律打九折；（2）一次性购物超过300元，
在原价基础上一律打八折，王老师购物后付款252元，则他所购物品的
原价是______________.
280元或315元
6.（8分）［2025洛阳期末］“天下无双圣境，世界第一仙山”的老君山，
是河南洛阳 级著名旅游景区.原门票价格为130元/张，某旅行社推出
一种团队票（人数 ），团队票可选择两种购票优惠方案：
方案一：全体人员打八折.
方案二：有5人可以免票，剩下的人员打九折.
设某团队有 人.
（1）该团队选择方案一的费用为______元，选择方案二的费用为
____________元.（用含 的代数式表示）
（2）若该团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，则该团队共多
少人？
解：由题意得 ，
解得 .
答：该团队共45人.
7.［2025唐山丰南区期末］甲、乙两店以同样价格出售一种商品，并推
出不同的优惠方案，在甲店累计购物超过100元后，超出100元的部分打
九折；在乙店累计购物超过50元后，超出50元的部分打九五折，则顾客
到两店购物花费一样时( )
D
A.累计购物不超过50元
B.累计购物超过50元不超过100元
C.累计购物超过100元
D.累计购物不超过50元或刚好为150元
8.（12分）［2025郑州期末］某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体
收费标准如下表：
档次 月用电量 电价/（元/千瓦时）
第1档 不超过240千瓦时的部分
第2档 超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分 0.65
第3档 超过400千瓦时的部分
已知10月份该市居民老李家用电200千瓦时，交电费120元；9月份老李
家交电费157元.
（1）表中 的值为____；
0.6
（2）老李家9月份的用电量为___________；
260千瓦时
（3）若8月份老李家用电的平均电价为0.7元/千瓦时，求老李家8月份的
用电量.
解：因为 ，
所以老李家8月份的用电量超过400千瓦时.
设老李家8月份的用电量为 千瓦时.
由题意，得，解得 .
答：老李家8月份的用电量为560千瓦时.
9.（12分）［2025杭州上城区期末］红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓
球拍和乒乓球，已知该品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定
价15元.元旦期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种
优惠方案，即
方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的 付款.
该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球盒（， 为整数）.
（1）当 时，若该球馆按方案一购买，需付款_______元；若该球
馆按方案二购买，需付款_______元.
1 800
1 890
（2）当 为何值时，分别按两种方案购买所需费用一样？
解：由题意得 ，
解得，所以当 时，分别按两种方案购买所需费用一样.
（3）若 ，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写
出购买方案，并计算出此方案所需费用；如果不能，请说明理由.
解：先按方案一购买10副乒乓球拍可得20盒乒乓球，再按方案二购买20
盒乒乓球，需付款 （元）.
课堂小结
选择最优方案问题的一般步骤：
审题
更优惠
费用相同
列方程
用未知数表示费用
设未知数
谢谢观看！