8.2.1（2）一元线性回归模型的应用 教学课件（29张PPT）- 人教A版2019高中数学选择性必修第三册

8.2一元线性回归模型的应用
8.2.1（2）一元线性回归模型及其应用
人教A版高中数学选择性必修三
第一课时
一元线性回归模型
第二课时
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
第三课时
模型应用
模型假设
模型解释
单元知识结构
残差分析
决定系数????????
?
第一课时
一元线性回归模型
第二课时
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
第三课时
模型应用
模型假设
模型解释
单元知识结构
残差分析
决定系数????????
?
第一课时
一元线性回归模型
第二课时
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
第三课时
模型应用
模型假设
模型解释
残差分析
单元知识结构
决定系数????????
?
第一课时
一元线性回归模型
第二课时
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
第三课时
模型应用
模型假设
模型解释
残差分析
单元知识结构
决定系数????????
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
模型应用
单元知识结构
一、复习回顾
1. 经验回归方程：
我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法.
2. 最小二乘估计：
经验回归方程中的参数 计算公式为：
3.残差分析
残差是随机误差的估计值，通过对残差的分析可判断回归模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面的工作称为残差分析.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
模型应用
单元知识结构
在采伐设计、资源评估、森林规划调查等林业作业中，如何测算出一片森林的蓄积量？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
模型应用
单元知识结构
胸径
树高
例1 经验表明，一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大，树就越高，由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高. 在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据(如下表)，试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程.
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
胸径/cm
18.1
20.1
22.2
24.4
26.0
28.3
29.6
32.4
33.7
35.7
38.3
40.2
树高/m
18.8
19.2
21.0
21.0
22.1
22.1
22.4
22.6
23.0
24.3
23.9
24.7
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
模型应用
单元知识结构
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
模型应用
单元知识结构
总结：求一元线性回归方程的步骤
（1）描出散点图，通过散点图观察成对样本数据是否线性相关。
（2）计算样本相关系数r，判断两个变量之间的线性相关关系。(可省)
（3）建立一元线性回归模型，并用最小二乘法估计参数????和????，得到经验回归方程。
?
（4）对回归方程作残差分析：残差表、残差图、残差平方和对模型刻画数据的效果进行分析。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
模型应用
单元知识结构
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}学习目标达成（自我评价量表）
目标达成
学习目标
A.很清楚
（能讲解）
B.清楚
（能理解）
C.不太清楚（不明白）
1.以成对样本数据描出散点图，通过散点图观察成对样本数据是否线性相关。
2.计算样本相关系数r，判断两个变量之间的线性相关关系
3.两个变量线性相关时，建立一元线性回归模型，
4.根据最小二乘法，估计经验回归方程的参数????和????，得到经验回归方程。
5.对回归方程作残差分析：残差表、残差图对模型刻画数据的效果进行分析
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}学习目标达成（自我评价量表）
目标达成
学习目标
A.很清楚
（能讲解）
B.清楚
（能理解）
C.不太清楚（不明白）
1.以成对样本数据描出散点图，通过散点图观察成对样本数据是否线性相关。
2.计算样本相关系数r，判断两个变量之间的线性相关关系
3.两个变量线性相关时，建立一元线性回归模型，
5.对回归方程作残差分析：残差表、残差图对模型刻画数据的效果进行分析
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
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模型应用
单元知识结构
例2 人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”. 下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据. 试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程.
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
年份
1896
1912
1921
1930
1936
1956
1960
1968
记录/s
11.80
10.60
10.40
10.30
10.20
10.10
10.00
9.95
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
模型应用
单元知识结构
二、模型应用
将经验回归直线叠加到散点图，得到下图：
用Y表示男子短跑100m的世界纪录, t表示纪录产生的年份, 利用一元线性回归模型
来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系. 根据最小二乘法, 由表中的数据得到经验回归方程为
①
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
模型应用
单元知识结构
问题1 从图中可以看到,经验回归方程较好地刻画了散点的变化趋势,请再仔细观察图形,你能看出其中存在的问题吗?
这是否说明用一元线性回归模型解决这个问题是错误的？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
模型应用
单元知识结构
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
模型应用
单元知识结构
——统计学家 乔治·博克斯
问题2 你能对模型进行修改,以使其更好地反映散点的分布特征吗？
仔细观察, 散点更趋向于怎样的变化趋势？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
模型应用
单元知识结构
三、小组合作 修改模型
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
模型应用
单元知识结构
（1）我们学过的哪些函数具有以上的变化趋势？尝试用我们学过的知识构建回归模型，并利用GGB软件得出回归方程.
（2）进行残差分析（可利用残差表、残差图、残差平方和等）.
（3）展示交流，小组互评.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}?
知识与技能
思维与表达
交流与反思
C
能够选择合适的数学模型并求解模型
能够经历数学建模的过程，运用数学语言表述数学建模过程
能够借助已有数学建模的结果说明问题
B
能够选择合适的数学模型并求解模型；能够根据问题的实际意义检验结果，完善模型
能够经历数学建模的过程，运用数学语言表述数学建模过程，并能用建立的数学模型解决实际问题
能够借助已有数学建模的结果说明问题；能够用模型的思想说明问题
A
能够选择合适的数学模型并求解模型；能够根据问题的实际意义检验结果，完善模型；能够运用数学建模的一般方法和相关知识，创造性地建立数学模型，解决问题
能够经历数学建模的过程，运用数学语言表述数学建模过程，并能用建立的数学模型解决实际问题；能够理解数学建模的意义和作用；运用数学语言，清晰、准确地表达数学建模的过程和结果
能够借助已有数学建模的结果说明问题；能够用模型的思想说明问题；能够通过数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象
为了利用一元线性回归模型估计参数c1和c2，我们引进一个中间变量x，
令x=ln(t-1895)，, 则Y=c2 x+c1
通过x=ln(t-1895) ,将年份变量数据进行变换,得到新的成对数据,如下表.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
模型应用
单元知识结构
追问 如何利用一元线性回归模型估计参数c1和c2？
非线性回归方程为：
y=f(t)=c1+c2ln(t-1895) （其中c1、c2为未知参数，且c2<0）.
根据最小二乘法，并利用表中数据可得新的经验回归方程为
将经验回归直线叠加到散点图，如图所示：
将x=ln(t-1895)代入 得到由创纪录年份预报世界纪录的经验非线性回归方程：
②
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
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模型应用
单元知识结构
问题3 对于通过创纪录时间预报世界纪录的问题，我们建立了两个回归模型，得到了两个回归方程，你能判断哪个回归方程拟合的精度更好吗？
②
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
模型应用
单元知识结构
①
(1) 直接观察法.
（2) 残差分析: 残差平方和越小, 模型拟合效果越好.
模型诊断：
四、模型诊断
（3）用决定系数R2来比较这两个模型的拟合效果
通过前面的讨论我们知道，当残差的平方和越小，经验回归模型的拟合效果就越好，故我们可以用决定系数R2来验证模型的拟合效果.
决定系数R2的计算公式为
残差平方和
偏差平方和
R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.
显然0≤R2≤1，R2越接近1，则线性回归刻画的效果越好.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
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问题3 对于通过创纪录时间预报世界纪录的问题，我们建立了两个回归模型，得到了两个回归方程，你能判断哪个回归方程拟合的精度更好吗？
②
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
模型应用
单元知识结构
①
(1) 直接观察法.
（2) 残差分析: 残差平方和越小, 模型拟合效果越好.
（3）用决定系数R2：
0≤R2≤1，R2越接近1，则线性回归刻画的效果越好.
(4) 用新的观测数据来检验模型的拟合效果.
模型诊断方法：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元线性回归模型
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总结：非线性回归问题的解决步骤
画散点图
函数模型
变换求解
变换还原
根据原始数据(x,y)画散点图.
根据散点图,发现非线性相关特征，选择恰当的函数模型.
进行恰当的变换，转化成线性函数，求经验回归方程.
通过相应的变换,即可得非线性经验回归方程.
模型分析
分析模型的回归效果.
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问题4 在上述问题情境中，男子短跑100m世界纪录和纪录创建年份之间呈现出对数关系，能借助于样本相关系数刻画这种关系的强弱吗?
不能直接刻画，因样本相关系数用于衡量线性相关程度，需要先进行对数变换，将对数关系转换成线性关系之后，再采用样本相关系数去衡量.
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模型诊断与修正
模型应用
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（1）根据生长在南方多雨地区的树高与胸径的数据建立的回归方程，可以用来描述北方干旱地区的树高与胸径之间的关系吗?
（2）根据20世纪80年代父亲身高和儿子身高的数据建立的回归方程，可以用来描述现在的父亲身高与儿子身高的关系吗?
（3）1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据建立的回归方程，用来预测2030年的男子短跑100m世界纪录合理吗?
（4）根据经验回归方程得到的预报值是相应变量的精确值吗?
问题5
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参数的最小二乘估计
模型诊断与修正
模型应用
单元知识结构
在使用经验回归方程进行预测时,需注意以下问题:
1.回归方程只适用于所研究的样本的总体；
2.我们所建立的回归方程一般都有时效性；
3.解释变量的取值不能离样本数据的范围太远；
4.不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值. 事实上, 它是响应变量的可能取值的平均值.
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五、课堂小结
1、本节课用了哪些模型建立回归方程？
2、对模型进行诊断的方法有哪些？
3、如何对模型进行修正？
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六、课后作业
A层：完成教材 第121页 习题8.2 第4题
B层：
生活中有许多变量之间的关系是值得我们去研究的．例如，数学成绩、物理成绩和化学成绩两两之间是相关的吗？哪两个学科成绩之间相关性更大，你能解释其中的原因吗？语文成绩对数学成绩有影响吗？
请用你们班的某次考试成绩，研究它们之间的关系如果它们之间有关系，请建立统计模型进行分析．