第二章 有理数的运算【章末复习】 课件（共52张PPT）

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章末复习
第二章 有理数的运算
【2024新教材】人教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
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第二章 有理数的运算 章末复习
一、知识梳理
（一）有理数的加法
运算法则：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如，\(3 + 5 = 8\)，\(( - 3)+( - 5)= - 8\) 。
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。比如，\(3+( - 5)= - 2\) ，\(5+( - 5)=0\) 。
一个数同 0 相加，仍得这个数，如\(0 + 7 = 7\) 。
运算律：
加法交换律：\(a + b = b + a\) 。例如，\(2 + 3 = 3 + 2\) 。
加法结合律：\((a + b)+c = a+(b + c)\) 。像\((1 + 2)+3 = 1+(2 + 3)\) ，通过加法结合律可以使计算更简便，在多个有理数相加时，可以把互为相反数的数结合在一起，或把同号的数结合在一起先进行计算 。
（二）有理数的减法
运算法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为\(a - b = a+( - b)\) 。例如，\(5 - 3 = 5+( - 3)=2\) ，\(5-( - 3)=5 + 3 = 8\) 。
有理数加减法混合运算：统一成加法运算后，运用加法交换律和结合律进行简便计算。如计算\(3 - 5 + 7 - 2\) ，可转化为\(3+( - 5)+7+( - 2)=(3 + 7)+[( - 5)+( - 2)] = 10+( - 7)=3\) 。
（三）有理数的乘法
运算法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如，\(3 5 = 15\) ，\(( - 3) ( - 5)=15\) ，\(3 ( - 5)= - 15\) 。
任何数与 0 相乘，都得 0，如\(0 6 = 0\) 。
运算律：
乘法交换律：\(ab = ba\) 。例如，\(2 3 = 3 2\) 。
乘法结合律：\((ab)c = a(bc)\) 。如\((2 3) 4 = 2 (3 4)\) ，在多个有理数相乘时，运用乘法结合律可将便于计算的数结合在一起先算 。
乘法分配律：\(a(b + c)=ab + ac\) 。比如\(2 (3 + 4)=2 3 + 2 4\) ，利用乘法分配律可以简化一些乘法与加法混合的运算 。
（四）有理数的除法
运算法则：
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。用字母表示为\(a ·b = a \frac{1}{b}(b 0)\) 。例如，\(6 ·3 = 6 \frac{1}{3}=2\) ，\(6 ·( - 3)=6 ( - \frac{1}{3})=-2\) 。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。如\(0 ·5 = 0\) ，\(( - 6) ·( - 2)=3\) ，\(6 ·( - 2)= - 3\) 。
有理数乘除法混合运算：先将除法转化为乘法，再按照乘法法则进行计算 。
（五）有理数的乘方
乘方的意义：求\(n\)个相同因数\(a\)的积的运算，叫做乘方，记作\(a^n\) ，其中\(a\)是底数，\(n\)是指数，\(a^n\)的结果叫做幂。例如，\(2^3\)表示 3 个 2 相乘，\(2^3 = 2 2 2 = 8\) ；\(( - 2)^3=( - 2) ( - 2) ( - 2)= - 8\) 。
乘方运算的符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0 。
（六）有理数的混合运算
运算顺序：
先乘方，再乘除，最后加减。例如计算\(2 + 3 2^2\) ，先算\(2^2 = 4\) ，再算\(3 4 = 12\) ，最后算\(2 + 12 = 14\) 。
同级运算，从左到右进行。如计算\(12 ·3 2\) ，先算\(12 ·3 = 4\) ，再算\(4 2 = 8\) 。
如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 。比如计算\([(2 + 3) 2 - 1] ·3\) ，先算小括号里的\(2 + 3 = 5\) ，再算中括号里的\(5 2 - 1 = 10 - 1 = 9\) ，最后算\(9 ·3 = 3\) 。
运算技巧：在进行有理数混合运算时，要观察式子的特点，合理运用运算律进行简便运算 。
（七）近似数与有效数字
准确数与近似数：
准确数是指可以精确表示的数，它与实际完全符合。例如，教室里有 30 张桌子，30 就是准确数 。
近似数是指与准确数相近的一个数，通常是由于测量、计算等原因无法得到精确值，或者不需要精确值时使用。比如，测量一个人的身高约为 1.75 米，1.75 就是近似数 。
近似数的精确度：
四舍五入法：这是最常用的表示近似数精确度的方法。例如，将 3.14159 精确到百分位（即保留两位小数），看千分位上的数字 1，因为 1 小于 5，所以舍去千分位及后面的数字，得到 3.14 。
有效数字法：从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末位数字止，所有的数字，包括 0，都是这个数的有效数字。例如，0.025 有两个有效数字 2 和 5；1.030 有四个有效数字 1、0、3、0 。
二、重点题型讲解
（一）有理数的加减运算
例 1：计算\(( - 3)+5+( - 8)+7\) 。
分析：运用加法交换律和结合律，将同号的数分别结合在一起进行计算。
解答：\(
\begin{align*}
&( - 3)+5+( - 8)+7\\
=&[( - 3)+( - 8)]+(5 + 7)\\
=& - 11 + 12\\
=&1
\end{align*}
\)
例 2：计算\(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots + 99 - 100\) 。
分析：可以将相邻的两个数看作一组，每组的计算结果都是\(-1\) ，一共有 50 组。
解答：\(
\begin{align*}
&1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots + 99 - 100\\
=&(1 - 2)+(3 - 4)+(5 - 6)+\cdots+(99 - 100)\\
=&( - 1)+( - 1)+( - 1)+\cdots+( - 1)\\
=& - 1 50\\
=& - 50
\end{align*}
\)
（二）有理数的乘除运算
例 3：计算\(( - \frac{3}{4}) ( - \frac{4}{3}) ·( - 2)\) 。
分析：先计算乘法，再计算除法，注意运算符号的确定。
解答：\(
\begin{align*}
&( - \frac{3}{4}) ( - \frac{4}{3}) ·( - 2)\\
=&1 ·( - 2)\\
=& - \frac{1}{2}
\end{align*}
\)
例 4：计算\(( - 24) ·( - \frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{1}{3})\) 。
分析：先计算括号内的式子，再进行除法运算，括号内通分计算。
解答：\(
\begin{align*}
&( - 24) ·( - \frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{1}{3})\\
=&( - 24) ·( - \frac{6}{12}+\frac{9}{12}-\frac{4}{12})\\
=&( - 24) ·( - \frac{1}{12})\\
=&( - 24) ( - 12)\\
=&288
\end{align*}
\)
（三）有理数的乘方运算
例 5：计算\(( - 2)^4\) 。
分析：根据乘方的意义，\(( - 2)^4\)表示 4 个\(-2\)相乘。
解答：\(( - 2)^4=( - 2) ( - 2) ( - 2) ( - 2)=16\) 。
例 6：计算\(-2^4\) 。
分析：这里的负号在乘方运算之前，先算\(2^4\) ，再加上负号。
解答：\(-2^4 = - (2 2 2 2)= - 16\) 。
（四）有理数的混合运算
例 7：计算\( - 3^2 ( - \frac{1}{3})^2 - ( - 2)^3 ·( - \frac{1}{2})^2\) 。
分析：按照先乘方，再乘除，最后加减的顺序进行计算。
解答：\(
\begin{align*}
& - 3^2 ( - \frac{1}{3})^2 - ( - 2)^3 ·( - \frac{1}{2})^2\\
=& - 9 \frac{1}{9}-( - 8) ·\frac{1}{4}\\
=& - 1 - ( - 8) 4\\
=& - 1 + 32\\
=&31
\end{align*}
\)
（五）近似数与有效数字
例 8：用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似数
0.34482（精确到百分位）
分析：精确到百分位，即保留两位小数，看千分位上的数字 4，4 小于 5，舍去千分位及后面的数字。
解答：0.34482≈0.34
1.5972（精确到 0.01）
分析：精确到 0.01 也就是精确到百分位，看千分位上的数字 7，7 大于 5，向百分位进 1，9 加上 1 满十再向十分位进 1。
解答：1.5972≈1.60
47155（精确到千位）
分析：先将原数写成科学记数法的形式\(4.7155 10^4\) ，精确到千位，就看百位上的数字 1，1 小于 5，舍去百位及后面的数字，所以\(4.7155 10^4 4.7 10^4\) 。
解答：47155≈4.7×10^4
例 9：说出下列近似数的有效数字
0.03080
分析：从左边第一个非 0 数字 3 起，到末位数字 0 止，所有数字 3、0、8、0 都是有效数字。
解答：有效数字为 3、0、8、0 。
2.4 万
分析：先将 2.4 万还原为 24000，从左边第一个非 0 数字 2 起，到末位数字 4 止，有效数字是 2、4 。
解答：有效数字为 2、4 。
三、易错点剖析
（一）符号问题
在有理数的加减法运算中，容易忽略符号的变化。例如，计算\(3 - 5\) ，错误地写成\(3 - 5 = 2\) ，忽略了减去一个数等于加上它的相反数，正确结果应该是\(3+( - 5)= - 2\) 。
在有理数的乘除法运算中，也容易出现符号错误。比如，计算\(( - 3) ( - 4) ·( - 2)\) ，有些同学会先算\(3 4 = 12\) ，再算\(12 ·( - 2)= - 6\) ，忽略了负负得正，正确的计算应该是\(( - 3) ( - 4)=12\) ，\(12 ·( - 2)= - 6\) 。
在乘方运算中，底数为负数时，要注意指数的奇偶性对结果符号的影响。如\(( - 2)^3\)和\(-2^3\) ，\(( - 2)^3=( - 2) ( - 2) ( - 2)= - 8\) ，而\(-2^3 = - (2 2 2)= - 8\) ，虽然结果相同，但意义不同 。
（二）运算顺序问题
在有理数的混合运算中，一定要严格按照先乘方，再乘除，最后加减的顺序进行计算。如果有括号，先算括号内的。例如，计算\(2 + 3 2^2\) ，有些同学会先算\(2 + 3 = 5\) ，再算\(5 2^2 = 5 4 = 20\) ，这是错误的，应该先算\(2^2 = 4\) ，再算\(3 4 = 12\) ，最后算\(2 + 12 = 14\) 。
对于同级运算，要从左到右依次进行。如计算\(12 ·3 2\) ，不能先算\(3 2 = 6\) ，再算\(12 ·6 = 2\) ，而应该先算\(12 ·3 = 4\) ，再算\(4 2 = 8\) 。
（三）近似数与有效数字问题
在确定近似数的有效数字时，容易忽略从左边第一个非 0 数字起这一条件。例如，对于近似数 0.0250，有些同学会认为有效数字是 2、5，而忽略了后面的 0，正确的有效数字是 2、5、0 。
在将一个数用四舍五入法取近似数时，要注意看清精确到的数位。如将 3.14159 精确到千分位，应该是 3.142，而不是 3.141 。
四、课堂总结
回顾运算规则：全面回顾有理数的加、减、乘、除、乘方运算的法则和运算律，强调运算顺序以及在运算过程中符号的确定方法。
** 总结解题
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
本章知识结构图
知识梳理
有理数的运算
加法
乘法
减法
乘方
除法
交换律、结合律
交换律、结合律、分配律
知识梳理
有理数加法法则：
同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和．
绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差．
互为相反数的两个数相加得0．
一个数与0相加，仍得这个数.
有理数减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数．
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
任何数与0相乘，都得0.
知识梳理
有理数除法法则：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
知识梳理
1.计算.
(1)150+250 =_____; (2)－15+(－23) =_____; (3)－5－65=_____;
(4)－26－(－15) =______; (5)(－6)×(－16) =______;
(6)(－ )×27=_______;(7)8÷(－16) =_______;
(8)(－25)÷(－) =_______; (9)(－)÷(－) =_______.
400
－38
－70
－11
96
－9
－
随堂练习
2.五袋白糖以每袋50干克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称量记录如下：
+4.5，－4，+2.3，－3.5，+2.5
(1)这五袋白糖共超过标准多少干克？
(2)这五袋白糖的总质量是多少千克？
解：(1)+4.5－4+2.3－3.5+2.5=1.8(千克).
(2)50×5+1.8=251.8(千克).
随堂练习
数轴上表示两点间的距离
数轴上两点A，B的距离| AB | 与这两点所对应的数a，b的关系为：| AB | ＝ | a－b |.
知识梳理
随堂练习
3. 分别求出数轴上两点间的距离：
（1）表示 2的点与表示－7的点；
（2）表示－3的点与表示－1的点.
解：（1）2－(－7)=2+7=9；
（2）－1－(－3)=－1+3=2.
有理数加减乘除混合运算顺序：
1.先算乘除，再算加减；
2.同级运算从左往右依次计算；
3.如有括号，先算括号内的；
4.能用运算律的，应利用运算律.
知识梳理
4.计算：
(1)(－0.02)×(－20)×(－5)×4.5;
解：(1)(－0.02)×(－20)×(－5)×4.5
=－0.02×20×5×4.5
=－9;
随堂练习
4.计算：
(2) (－6.5) ×(－2)÷(－) ÷(－5);
解：(2)(－6.5)×(－2)÷(－)÷(－5)
=6.5×2×3×
=7.8;
随堂练习
4.计算：
(3) 0+(－ )－2－(－1.5); (4)(－66)×4－(－2.5)÷(－0.1).
解：(3) 0+(－ )－2－(－1.5)
=0－ －2+1.5
=(0+1.5)+(－0.2－2)
=1.5－2.2
=－0.7;
(4)(－66)×4－(－2.5)÷(－0.1)
=－264－25
=－289.
随堂练习
乘方
一般地，n个相同的乘数a相乘，记作 an，读作“a的n次方”.求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂.
根据有理数的乘法法则可以得出：
1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
2.正数的任何次幂都是正数；
3.0的任何正整数次幂都是0.
知识梳理
5.计算：
(1) (－3)3=_____; (2) (－2)4 =_____;
(3) (－1.7)2=_____; (4) (－)3 =_____;
(5) －(－2)2 =_____; (6) (－2)2(－3)2=_____.
－27
16
2.89
－
－4
36
随堂练习
知识梳理
有理数的混合运算顺序：
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
6.计算：
(1)(－2)2×5－(－2)3÷4; (2)－(3－5)+32×(1－3).
解：(1)原式=4×5－(－8)÷4
=20+2
=22;
解：(2)原式=－(－2)+9×(－2)
=2－18
=－16.
随堂练习
7.计算：
(1) －22×(－ )+8(－2)2; (2) (－3)2 2×(－) 2+4－22×(－);
随堂练习
解：(1)原式=2+8÷4
=4.
解：(2)原式=9×+4+
= +4+
= .
随堂练习
7.计算：
(3) {1+[()3] ×(－2)4 } ( );
解：(3)原式=[1+() ×16] ( )
= (1+1) ()
=
=
= .
知识梳理
科学记数法.
把一个大于10的数表示成 a×10n 的形式(其中a 大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记法是科学记数法.
用科学记数法表示一个n位整数(n ≥2)，其中10的指数是
n－1.
随堂练习
8.一只苍蝇的腹内细菌多达2 800万个，用科学记数法表示为____________个.
9. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系.其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%.将数据13.6亿用科学记数法表示为1.36×10n”的形式，则n的值是_____(备注：1亿=100 000 000).
9
2.8×107
随堂练习
10. 用科学记数法表示下列各数：
(1) 100 000 000;
(2) 4 500 000;
(3) 692 400 000 000.
1×108 .
4.5×106.
6.924×1011 .
近似数：是指与准确数相近的一个数.
精确度：近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示.
知识梳理
11.用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)0.004 57（精确到0.000 1)；
(2)566.123 5(精确到个位)；
(3)3.896 3(精确到0.01)：
(4)0.057 1(精确到千分位)
随堂练习
(1)0.004 57≈0.004 6.
(2)566.123 5≈566.
(4)0.057 1≈0.057.
(3)3.896 3≈3.90.
随堂练习
12. 近似数1.20是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ）
A.1.15C.1.195分析：近似数1.20精确到百分位，它是将数a的千分位上的数字四舍五入得到的.
对于数a ，若千分位上的数字大于或等于5，则百分位上的数字应是“9”，十分位上的数字应是“1”；
若千分位上的数字小于5，则百分位上的数字应是“0”，十分位上的数字应是“2”.
故1.195≤a<1.205.
D
一、核心考点巩固
考点1 有理数的运算
1.如图，比数轴上点 表示的数大1的数是( )
B
A. B.0 C.1 D.2
2.［2025宁波期中］要使算式的运算结果最小，则“ ”内应填入
的运算符号是( )
C
A. B.- C.× D.
3.［2025上海期中］一个数的相反数的倒数是 ，那么这个数是( )
B
A. B. C. D.
4.［2025泰安期末］下列计算正确的是( )
C
A. B.
C. D.
5. 可化为( )
D
A. B.
C. D.
6.甲、乙、丙、丁4位同学，学了有理数的乘方之后，发表了以下见解，
观点正确的有( )
甲： 是2个5相加；
乙：与 是不同的结果；
丙：中底数是 ，指数是4；
丁：是 个4相乘.
B
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
7.［2025成都期末］有理数， 在数轴上对应点的位置如图所示，则下
列结论正确的是( )
A
A. B. C. D.
8.（16分）计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式
.
（4） .
解：原式 .
9.（8分） 对于有理数， ，定义一种新运算“@”，规定
.
（1）计算@ 的值；
解：因为 ，
所以@ .
（2）计算 的值.
解：因为 ，
所以 .
考点2 有理数的运算的应用
10.［2025长沙调研］火星赤道夏季白天最高温度可达 ，晚上最低
温度可达 ，则火星赤道夏季昼夜温差最大为( )
C
A. B. C. D.
11.手机移动收付款给生活带来便捷.如图是小华某天手机移动收付款账
单的明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小华这天使用
手机移动收付款的最终结果是( )
C
A.收入19元 B.支出8元 C.收入6元 D.支出5元
12.将0，， ，1，2这五个数分别填在如图所示的五个
小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，
则填入中间位置的小正方形内的数不可以是( )
A
A.1 B. C.2 D.0
13.（8分）某摩托车厂家计划本周每天生产250辆摩托车，由于工厂实
行轮休，每天上班人数不一定相等，故实际每天生产的摩托车数量也不
一样.实际每天生产的摩托车数量与计划相比情况如下表（超产为正，
减产为负，单位：辆）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减
（1）星期六生产了多少辆摩托车？
解： （辆）.
答:星期六生产了241辆摩托车.
（2）本周实际总产量与计划相比是增加了还是减少了？增加或减少了
多少？产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？
解： （辆），所以本周实际总产
量与计划相比减少了，减少了21辆.
产量最多的一天为星期五，产量最少的一天为星期日，
产量最多的一天比产量最少的一天多生产了 （辆）.
14.（12分）某粮食仓库一周7天内进出粮食的吨数如下（“ ”表示进库，
“-”表示出库）：，，，，，， .
（1）经过这7天，仓库里的粮食是增多了还是减少了？增多或减少了多
少吨？
解：因为 .
所以经过这7天，仓库里的粮食减少了，减少了9吨.
（2）经过这7天，仓库管理员结算发现仓库里还存有100吨粮食，那么7
天前，仓库里存有粮食多少吨？
解：因为 .
所以7天前，仓库里存有粮食109吨.
（3）如果进仓库的粮食装卸费是每吨2元，出仓库的粮食装卸费是每吨
3元，求这7天要付多少元装卸费.
解：由题意得，进仓库的装卸费为
（元），
出仓库的装卸费为
（元），
（元），
所以这7天要付407元装卸费.
考点3 科学记数法
15. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、
精准的信息检索和智能对话服务.其活跃用户数在上线21天后达到了
3 370万.将3 370万用科学记数法表示为( )
C
A. B. C. D.
16. 下面是琳琳作业中的一道题目：
“ ”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”
的个数为( )
B
A.5 B.4 C.3 D.2
考点4 近似数
17.下列说法中正确的有( )
①近似数2.75精确到0.01；
②由四舍五入得到的近似数 精确到百分位；
③近似数6.9和6.90表示的意义是一样的；
④将30 491按四舍五入精确到千位得到的近似数是3.1万.
D
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、思想方法演练
思想1 分类讨论思想
18.若,则 的值不可能是 ( )
D
A.2 B.0 C. D.1
19.已知，，若，则 _________.
10或
思想2 数形结合思想
20.（12分）【问题探索】将一根木棒放在数轴（单位长度为 ）上，
如图，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点 重合.
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点 时，它的
右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它
的右端移动到点 时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根
木棒的长为___ .
8
（2）图中点所表示的数是____，点 所表示的数是____.
14
22
【实际应用】由 的启发，请借助“数轴”这个工具解决下面问题：
（3）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你
还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦!”请问妙妙现在
多少岁了？
解：当奶奶像妙妙这么大时，妙妙为“ 岁”，
所以奶奶与妙妙的年龄差为 （岁），
所以妙妙现在的年龄为 （岁）.
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