第三章 代数式【章末复习】 课件（共37张PPT）

章末复习
第三章 代数式
【2024新教材】人教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第三章 代数式 章末复习
一、知识梳理
（一）代数式的概念
定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也叫做代数式，如\(5\)，\(x\)，\(a + b\)，\(3x^2\)，\(\frac{m}{n}\)等 。强调代数式中不含有等号、不等号等关系符号，像\(a - 5 = 3\)（等式）、\(x > 2\)（不等式）都不属于代数式。
书写规范：
数字与字母相乘时，数字写在字母前面，乘号可省略或写成 “\(\cdot\)”，带分数要化为假分数，如\(4a\)，\(\frac{5}{2}x\) 。
字母与字母相乘，乘号通常省略，按字母表顺序书写，如\(ab\) 。
除法运算写成分数形式，如\(m\div n\)写成\(\frac{m}{n}\) 。
代数式是和或差的形式且后面带单位时，需用括号括起来，如\((a + b)\)米 。
（二）列代数式
一般步骤：
分析数量关系，明确题目中各数量间的运算、大小等关系 。
设未知数，选取合适字母表示关键数量，其他数量用含此字母的代数式表示 。
根据数量关系和设出的未知数，运用运算符号列出代数式 。
常见数量关系表示：
和差关系：如 “\(a\)与\(b\)的和的\(3\)倍” 表示为\(3(a + b)\)，“\(m\)比\(n\)的平方小\(5\)” 表示为\(n^2 - m = 5\)（可变形为\(m = n^2 - 5\)） 。
倍数关系：“\(x\)的\(\frac{1}{2}\)与\(y\)的\(3\)倍的差” 表示为\(\frac{1}{2}x - 3y\)，“\(a\)是\(b\)的\(k\)倍多\(c\)” 表示为\(a = kb + c\) 。
实际问题关系：结合生活场景，如购买商品、行程问题等，根据相关公式和数量关系列代数式 。
复杂数量关系分析方法：
分段分析，将复杂关系分成简单部分分别分析再综合 。
列表分析，通过列表呈现多个数量及其变化，便于理清关系 。
（三）代数式的值
概念：用数值代替代数式里的字母，按代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。代数式的值由字母取值决定，字母取值要使代数式有意义 。
求值方法：
直接代入求值：明确字母取值，代入代数式，按运算顺序计算。代入时注意数字与字母对应，字母值为负数、分数时合理添加括号 。
利用公式列代数式求值：确定问题涉及的公式，将已知量用字母表示并代入公式列代数式，给定字母具体数值时进行计算。要准确理解公式中字母含义，注意运算顺序和符号 。
（四）反比例关系（选学内容）
概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也变化，若对应两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系，用字母表示为\(xy = k\)（\(k\)为常数，\(k???0\)） 。
判断方法：分析两种量是否相关联，再看对应乘积是否一定 。
性质：一个量增大，另一个量减小；反之亦然。反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k???0\)）图像是双曲线 。
二、典型例题讲解
（一）代数式的书写与判断
例 1：下列式子中，哪些是代数式？
①\(3x - 1\) ②\(2 + 3 = 5\) ③\(a\) ④\(x \geq 0\) ⑤\(\frac{1}{x + y}\)
分析：根据代数式定义，式子中不能有等号、不等号等关系符号。①③⑤是用运算符号把数和字母连接而成，或单独的数、字母，属于代数式；②是等式，④是不等式，不属于代数式 。
解答：①③⑤是代数式，②④不是代数式 。
例 2：将下列数量关系用代数式正确表示：
\(a\)与\(b\)的\(2\)倍的差的平方
分析：先表示出\(b\)的\(2\)倍为\(2b\)，再求\(a\)与\(2b\)的差为\(a - 2b\)，最后对差求平方 。
解答：\((a - 2b)^2\) 。
比\(m\)的立方少\(\frac{1}{3}\)的数
分析：\(m\)的立方是\(m^3\)，比它少\(\frac{1}{3}\)，用\(m^3\)减去\(\frac{1}{3}\) 。
解答：\(m^3 - \frac{1}{3}\) 。
（二）列代数式
例 3：用代数式表示：
某商店购进一批商品，每件进价为\(a\)元，售价提高\(40\%\)后标价，再打\(8\)折销售，此时售价是多少元？
分析：售价提高\(40\%\)后的标价为\(a(1 + 40\%)\)元，在此基础上打\(8\)折，即标价乘以\(0.8\) 。
解答：此时售价为\(a(1 + 40\%)??0.8 = 1.12a\)元 。
一个梯形的上底为\(a\)，下底为\(b\)，高为\(h\)，若上底增加\(2\)，下底减少\(2\)，高不变，梯形面积会发生变化吗？用代数式表示变化前后的梯形面积。
分析：根据梯形面积公式\(S = \frac{(?????? + ??????)??é??}{2}\)，变化前面积为\(\frac{(a + b)h}{2}\)；变化后上底为\(a + 2\)，下底为\(b - 2\)，面积为\(\frac{(a + 2 + b - 2)h}{2}=\frac{(a + b)h}{2}\) 。
解答：变化前梯形面积\(S_1 = \frac{(a + b)h}{2}\)，变化后梯形面积\(S_2 = \frac{(a + b)h}{2}\)，面积不变 。
（三）代数式的值
例 4：当\(x = -2\)，\(y = \frac{1}{3}\)时，求代数式\(\frac{3x - 2y}{xy}\)的值。
分析：将\(x = -2\)，\(y = \frac{1}{3}\)代入代数式，先分别计算分子\(3x - 2y = 3??(-2) - 2??\frac{1}{3}=-6 - \frac{2}{3}=-\frac{20}{3}\)，分母\(xy = (-2)??\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}\)，再进行除法运算 。
解答：当\(x = -2\)，\(y = \frac{1}{3}\)时，\(
\begin{align*}
\frac{3x - 2y}{xy}&=\frac{-\frac{20}{3}}{-\frac{2}{3}}\\
&=-\frac{20}{3}??(-\frac{3}{2})\\
&= 10
\end{align*}
\)
例 5：已知圆的半径\(r = 5\)厘米，根据圆的面积公式\(S = \pi r^2\)，求圆的面积（\(\pi\)取\(3.14\)）。
分析：将\(r = 5\)，\(\pi = 3.14\)代入圆的面积公式\(S = \pi r^2\)进行计算 。
解答：当\(r = 5\)，\(\pi = 3.14\)时，\(S = 3.14??5^2 = 3.14??25 = 78.5\)平方厘米 。
三、易错点剖析
（一）代数式书写易错点
数字与字母相乘时，数字未写在字母前面，或带分数未化为假分数 。如误将\(3??a\)写成\(a3\)，\(2\frac{1}{2}x\)未写成\(\frac{5}{2}x\) 。
除法运算未写成分数形式，如把\(m\div n\)写成\(m?·n\) 。
和差形式带单位时，未加括号，如\(a + b\)米应写成\((a + b)\)米 。
（二）列代数式易错点
分析数量关系错误，导致代数式列写错误。例如，“\(a\)与\(b\)的和的平方” 误写成\(a + b^2\)，正确的是\((a + b)^2\) 。
设未知数不明确，或未根据设出的未知数正确表示其他数量 。
（三）求代数式的值易错点
代入数值时，数字与字母对应错误 。
字母值为负数、分数时，未合理添加括号，导致运算顺序错误 。如计算\(x^2 - 2y\)，当\(x = -2\)，\(y = \frac{1}{2}\)时，误算为\(-2^2 - 2??\frac{1}{2}\)，正确的是\((-2)^2 - 2??\frac{1}{2}\) 。
利用公式求值时，对公式中字母含义理解错误，或运算顺序错误 。
四、课堂总结
知识回顾：全面回顾代数式的概念、列代数式的方法、代数式求值的方式以及反比例关系的相关知识，梳理各知识点之间的联系 。
方法归纳：总结代数式书写规范、列代数式的步骤和技巧、求代数式的值的注意事项，以及判断反比例关系的方法，帮助学生形成系统的知识体系 。
学习建议：鼓励学生在日常学习中多观察生活中的数量关系，加强列代数式和求代数式的值的练习，注意避免易错点，提高运用代数式解决实际问题的能力 。
五、作业布置
基础作业
判断下列式子是否为代数式：
\(5 - 3x\)
\(a = 2\)
\(\frac{1}{x}\)
\(x > 1\)
用代数式表示：
\(a\)的\(3\)倍与\(b\)的和的一半
比\(m\)的平方小\(3\)的数
某商品原价为\(p\)元，先降价\(10\%\)，再提价\(10\%\)，此时的价格
当\(m = -1\)，\(n = 2\)时，求代数式\(m^2 + 2mn - n^2\)的值。
拓展作业
某工厂生产某种产品，每件产品的成本为\(50\)元，出厂价为\(80\)元。若该厂每月生产\(x\)件产品，用代数式表示每月的利润（利润 = 出厂价 × 数量 - 成本 × 数量）；当\(x = 1000\)时，求每月的利润 。
观察下列等式：\(1 = 1^2\)，\(1 + 3 = 2^2\)，\(1 + 3 + 5 = 3^2\)，\(1 + 3 + 5 + 7 = 4^2\)，…… ，用含\(n\)（\(n\)为正整数）的代数式表示这一规律，并求\(1 + 3 + 5 + \cdots + 2023\)的值 。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识梳理
代数式
代数式的定义
列代数式
代数式的值
本章知识结构图
知识梳理
代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式.
单独的一个数或字母也是代数式，例如，2，t都是代数式.
知识梳理
{00A15C55-8517-42AA-B614-E9B94910E393}类型
书写规定
示例
数与字母相乘或字母与字母相乘.
通常将乘号写作“·”或省略不写.相同字母写成幂的形式.
如2×m写成2·m或2m.
如m×n写成m·n或mn.
m·m写成m2.
数字因数是1或-1.
“1”常省略不写.
如1×a写成a，-1×a写成-a.
带分数与字母相乘.
将带分数化成假分数.
如1 14t 应写成54t.
除法运算.
用分数线.
如2÷x（x≠0）应写成2????.
代数式是和或差的形式且后面有单位.
把式子用括号括起来.
如（a - b）千克.
{00A15C55-8517-42AA-B614-E9B94910E393}类型
书写规定
示例
数与字母相乘或字母与字母相乘.
通常将乘号写作“·”或省略不写.相同字母写成幂的形式.
如2×m写成2·m或2m.
如m×n写成m·n或mn.
m·m写成m2.
数字因数是1或-1.
“1”常省略不写.
如1×a写成a，-1×a写成-a.
带分数与字母相乘.
将带分数化成假分数.
除法运算.
用分数线.
代数式是和或差的形式且后面有单位.
把式子用括号括起来.
如（a - b）千克.
代数式的书写要求：
知识梳理
列代数式
在解决一些数学问题与实际问题时，需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代数式.
列代数式的步骤：
(1)分析条件，找出数量关系.
(2)用含有数、字母和运算符号的式子表示出来.
知识梳理
反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.
反比例关系的表示方法：如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积(k是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用xy=k或y=????????来表示，其中k叫作比例系数.
两个量的变化规律：一个量随着另一个量的增大而减小.
?
知识梳理
代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值.当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同.
求代数式的值的步骤：
1.代 .
2.算.
3.验.
随堂练习
1.用代数式表示：
(1)比a的3倍小4的数.
(2)a的一半与b的和的平方.
(3)我国自主研发的一种近防炮，每分钟可发射10 000发炮弹.近防炮 t min能发射多少发炮弹？
(4)购买n件单价为c元的商品要花多少元？若支付1000元还有剩余，应找回多少元？
cn元.
3a-4.
(12a+b)2.
?
10 000t 发.
(1000-cn)元.
随堂练习
解：(1)最高气温是（t+15）℃.
（2）第一次降价后的售价是0.8b元.
第二次降价后的售价是（0.8b-10）元.
2.用代数式表示：
（1）某地冬季一天的温差是15℃，这天的最低气温是t℃，最高气温是多少？
（2）某种商品原价为每件b元，第一次降价打8折，第二次降价每件又降10元，第一次降价后的售价是多少元?第二次降价后的售价是多少元
随堂练习
3.说出下列各组代数式的意义有什么不同?
(1)3x-4与3(x-4);
(2)a2-b2与(a-b)2 .
解：(1)3x-4的意义是x的3倍与4的差，3(x-4)的意义是x与4的差的3倍.
(2) a2-b2的意义是a的平方与b的平方的差，或者a与b的平方的差， (a-b)2的意义是a与b的差的平方.
随堂练习
4.(1)若一个长方形的长为p，宽为q，则2(p+q)表示什么？
(2)举两个例子说明代数式3a+2b表示的实际问题中的数量关系.
解：(1) 2(p+q)表示长方形的周长，
(2)例：①笔的单价是a元，笔记本的单价是b元，买3支笔，2个笔记本的花费是(3a+2b)元.
②苹果的单价是3 元/kg,香蕉的单价是2 元/kg,买a kg苹果，b kg香蕉共花费(3a+2b)元.
③甲、乙两个工程队共修一条路，甲工程队每天修a km,乙工程队每天修b km,甲工程队工作3天，乙工程队工作 2天共修了(3a+2b) km.
随堂练习
5.用一根绳子围成一个长方形，相邻两边的长分别为x m和y m.
(1)当绳子的长为12 m时，用式子表示y与x的关系；
(2)当长方形的面积为12 m2时，用式子表示y与x的关系；
解：(1)2(x+y)=12.
(2) xy=12.
随堂练习
5.用一根绳子围成一个长方形，相邻两边的长分别为x m和y m.
(3)当长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系吗？当长方形的面积一定时呢？为什么？
解：(3)当周长一定时，x与y的和一定，x与y不成反比例关系.
当面积一定时，x与y的积一定，x与y成反比例关系.
随堂练习
6.若2b-a=5，求代数式5(a﹣2b)2﹣3(a﹣2b)﹣60的值.
解：因为2b﹣a=5，所以a﹣2b=﹣5，
所以原式=5×(﹣5)2﹣3×(﹣5)﹣60
=125+15﹣60
=80.
随堂练习
7.根据下列a,b的值，分别求代数式a2-b2与(a-b)2的值：
(1)a=-1,b=-3；(2)a=2,b=-12.
?
解：(1)当a=-1,b=-3时，
a2-b2=(-1) 2 -(-3) 2 =1-9=-8.
(a-b)2 =[-1- (-3)] 2 =4.
(2)当a=2,b=-12时，a2-b2=22 -(-12) 2 = 154;
(a-b)2 =[2- (-12)] 2 = 254.
?
随堂练习
8.用含字母的式子填空：
(1)长方形的宽为4，长比宽多a，则长方形的长为______，面积为_________；
(2)一件衬衣的进价为a 元，售价为2a 元，则每件衬衣的利润为_______元；
(3)一个数的倒数为a，则这个数是_____.
4＋a
4(4＋a)
(2a-a)
1a
?
随堂练习
9.如图，正方形ABCD的边长为a.
(1)根据图中数据，用含a,b的代数式表示阴影部分的面积S;
(2)当a=6,b=2时，求阴影部分的面积.
解：(1)S= 12?a2- 12×4b= 12?a2-2b.
(2)当a=6,b=2时， S= 12×62- 2×2
=18-4
=14.
?
4
b
a
A
B
C
D
随堂练习
10.如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第n个图形需要多少枚棋子？
第1个
第2个
第3个
解：第1个图形共有4枚棋子；
第2个图形共有8枚棋子；
第3个图形共有12枚棋子；
......
第n个图形共有4n枚棋子.
一、核心考点巩固
考点1 代数式的书写规范及意义
1.下列各代数式符合书写规范的是( )
B
A.????×???????? B.???????????????????? C.????÷???? D.????????????????????
?
2.下列不能表示“???????? ”的意义的是( )
?
D
A.3的????倍 B.????的3倍 C.3个????相加 D.3个???? 相乘
?
3.下列代数式的意义表述错误的是( )
B
A.????????+????????表示????????与????????的和 B.????????+????????表示????与???? 和的平方
C.?????????????????表示9减去????的????????所得的差 D.????????????????表示????????除以???????? 所得的商
?
考点2 列代数式
4. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为
“书香满校园”的读书活动.现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，
其中甲种读本的单价为10元，乙种读本的单价为8元，设购买甲种读本????
本，则购买乙种读本的费用为( )
?
C
A.????????元 B.?????????????????????????元 C.?????????????????????元 D.????????????????????? 元
?
5.驴肉火烧为河北省著名小吃，驴肉醇香，火烧酥脆.某店销售两种口味
的火烧，驴肉火烧12元一个，焖子火烧5元一个.为增加销量，该店推出
优惠活动，买一个驴肉火烧赠送一个焖子火烧.若嘉琪需购买???? 个驴肉火
烧和????个焖子火烧?????
C
A.????????+????????????元 B.????????+????????????元 C.????????+????????????+????元 D.????????+????????????+???? 元
?
6.［2025杭州期末］一件衣服的进价为????元，商家按进价提高????????% 标价，
则这件衣服的标价是______元.
?
????.????????
?
考点3 反比例关系
7.［2025福州期中］下列说法错误的是( )
A
A.正方形的面积与边长成反比例
B.如果????????=????，那么????和???? 成反比例
C.路程一定，时间与速度成反比例
D.分数值一定，分子和分母成正比例
?
8.当三角形的面积为?????????????????时，它的底边长????????????与底边上的高???????????? 之
间的关系式为_______，底边长????????????与底边上的高???????????? 之间为____比
例关系（填“正”或“反”）.
?
????=????????????
?
反
9.（8分）［2025渭南期中］某运输队要为灾区运送一批救灾物资.如果
要一次把所有的物资全部送到，每辆车的载质量与所需车的数量见下表：
载质量/吨
2.5
4
5
10
数量/辆
40
25
20
10
（1）这批救灾物资共有_____吨；
100
（2）每辆车的载质量与所需车的数量成反比例关系吗？为什么？
解：成反比例关系.因为每辆车的载质量与所需车的数量的乘积等于100，
为定值.
考点4 求代数式的值
10.若????=????，????=????????，则代数式?????????????????+???? 的值为( )
?
D
A.????? B.1 C.7 D.13
?
11.［2025安庆期中］已知有理数????，????满足(?????????)????+????+????=???? ，则
????????= ___.
?
9
12.（8分）已知????与????????的积为1，????和????的和为?????，???? 的绝对值为4.
?
（1）求????，????，???? 的值；
?
解：依题意，得????????????=????，????+????=?????，????=???? ，
所以????=????，????=?????，????=????或?????
?
（2）求?????????+????????????? 的值.
?
解：当????=????，????=?????，????=???? 时，
?????????+?????????????=?????????+????×??????????=??????????????????=????????? ；
当????=????，????=?????，????=????? 时，
?????????+?????????????=?????????+????×?????+????=?????????????+????=????? .
?
13.（8分）［2025广州期末］如图，某长方形广场的四角
都有一块半径相同的????????圆形的草地，已知圆形的半径为???? 米，
长方形的长为????米，宽为???? 米.
?
（1）请列式表示广场空地的面积；
解：由图可得，广场空地的面积为????????????????????? 平方米.
?
（2）若长方形的长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米，计算广
场空地的面积（计算结果保留???? ）.
?
解：当长方形的长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米时，
广场空地的面积为????????????×?????????????????×????????????=?????????????????????????????????????? 平方米.
?
14.（8分）某公司用????，????两种型号的车运输某种砂石料，其中???? 型车一
车能运输15吨这种砂石料，????型车一车能运输12吨这种砂石料.其中???? 型
车运输了????车，????型车运输了???? 车.
?
（1）若共运输了????吨这种砂石料，用含????，????的代数式表示???? ；
?
解：????=????????????+???????????? .
?
（2）若这种砂石料每吨80元，当????=????????，????=???????? 时，此公司购买砂石
料应该付款多少元？
?
解：当????=????????，????=????????时，????????????+????????????=????????×????????+????????×????????=????????????
（吨），
????????????×????????=????????????????????? （元）.
答：此公司购买砂石料应该付款26 400元.
?
二、思想方法演练
思想1 数形结合思想
15.为开展劳动教育，某校想把一块周长为????????????? 的长方
形荒地按如图所示等距外扩????????? ，改造成一个长方形劳
动基地，并且用栅栏围起来，则需要栅栏( )
?
B
A.????????+???????????? B.????????+???????????? C.????????????? D.?????????????
?
思想2 从特殊到一般的思想
16.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中图①中
一共有6个小圆圈，图②中一共有9个小圆圈，图③中一共有12个小圆
圈，? ，按此规律排列下去，则图 中小圆圈的个数为( )
?
C
A.????????????? B.????????+???? C.????????+???? D.?????????????
?
谢谢观看！