第四章 整式的加减【章末复习】 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
章末复习
第四章 整式的加减
【2024新教材】人教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第四章 整式的加减 章末复习
一、知识梳理
（一）整式的相关概念
单项式
定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或者一个字母也叫做单项式。例如\(5\)，\(a\)，\(3xy\)，\(-\frac{2}{3}x^2y\)等 。
系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。如\(3xy\)的系数是\(3\)，\(-\frac{2}{3}x^2y\)的系数是\(-\frac{2}{3}\)，注意系数包括前面的符号 。
次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。对于\(3xy\)，\(x\)的次数是\(1\)，\(y\)的次数是\(1\)，所以次数为\(1 + 1 = 2\)；单独的一个非零数的次数是\(0\) 。
多项式
定义：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。例如多项式\(2x^2 - 3x + 1\)，它的项是\(2x^2\)，\(-3x\)，\(1\)，\(1\)是常数项 。
次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。在\(2x^2 - 3x + 1\)中，\(2x^2\)的次数最高为\(2\)，所以该多项式是二次三项式 。
整式：单项式与多项式统称为整式，整式的分母中不含有字母 。
（二）整式的加减运算
同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。如\(5x^2y\)与\(-2x^2y\)，\(3\)与\(7\) 。
判断要点：判断同类项需同时满足 “字母相同” 和 “相同字母指数相同”，与系数和字母顺序无关 。
合并同类项
定义：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。例如\(3x^2 + 5x^2 = (3 + 5)x^2 = 8x^2\) 。
去括号法则
当括号前是 “\(+\)” 号时，把括号和它前面的 “\(+\)” 号去掉后，原括号里各项的符号都不改变，如\(+(a - b + c)=a - b + c\) 。
当括号前是 “\(-\)” 号时，把括号和它前面的 “\(-\)” 号去掉后，原括号里各项的符号都要改变，如\(-(a + b - c)= -a - b + c\) 。
整式加减的法则与步骤
法则：整式的加减运算，先去括号，再合并同类项。
步骤：①若有括号，先按去括号法则去括号；②找出式子中的同类项；③根据合并同类项法则合并同类项；④检查结果是否为最简形式 。
二、典型例题讲解
（一）整式概念的理解与应用
例 1：下列式子中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？\(3x - 1\)，\(\frac{2}{x}\)，\(-5\)，\(a^2 - 2ab + b^2\)，\(0\)，\(\frac{1}{3}xy^2\)
分析：根据单项式、多项式、整式的定义进行判断。\(\frac{2}{x}\)分母含有字母，不属于整式；\(3x - 1\)，\(a^2 - 2ab + b^2\)是几个单项式的和，是多项式；\(-5\)，\(0\)，\(\frac{1}{3}xy^2\)是数与字母的积或单独的数、字母，是单项式；单项式和多项式都属于整式 。
解答：单项式：\(-5\)，\(0\)，\(\frac{1}{3}xy^2\)；多项式：\(3x - 1\)，\(a^2 - 2ab + b^2\)；整式：\(3x - 1\)，\(-5\)，\(a^2 - 2ab + b^2\)，\(0\)，\(\frac{1}{3}xy^2\) 。
例 2：指出单项式\(-\frac{4}{3}x^2y^3\)的系数和次数。
分析：根据单项式系数和次数的定义，数字因数\(-\frac{4}{3}\)是系数，\(x\)的次数\(2\)加上\(y\)的次数\(3\)，和为\(5\)，即次数为\(5\) 。
解答：系数是\(-\frac{4}{3}\)，次数是\(5\) 。
（二）同类项与合并同类项
例 3：判断下列各组中的两项是否为同类项
\(3x^2y\)与\(-2yx^2\)
分析：都含有字母\(x\)和\(y\)，且\(x\)的次数都是\(2\)，\(y\)的次数都是\(1\)，字母顺序不影响同类项判断，所以是同类项 。
解答：是同类项。
\(4ab\)与\(4abc\)
分析：所含字母不同，\(4abc\)多了字母\(c\)，不满足同类项定义 。
解答：不是同类项。
例 4：合并同类项\(3a^2b - 2ab^2 + 4a^2b + 3ab^2\)
分析：先找出同类项，\(3a^2b\)与\(4a^2b\)是同类项，\(-2ab^2\)与\(3ab^2\)是同类项，再根据合并同类项法则进行合并 。
解答：\(
\begin{align*}
&3a^2b - 2ab^2 + 4a^2b + 3ab^2\\
=&(3a^2b + 4a^2b)+(-2ab^2 + 3ab^2)\\
=&7a^2b + ab^2
\end{align*}
\)
（三）去括号与整式加减
例 5：先去括号，再合并同类项\((2x^2 - 3x + 1) - (x^2 + 2x - 5)\)
分析：先根据去括号法则去掉括号，括号前是 “\(-\)” 号，括号内各项符号改变；再找出同类项进行合并 。
解答：\(
\begin{align*}
&(2x^2 - 3x + 1) - (x^2 + 2x - 5)\\
=&2x^2 - 3x + 1 - x^2 - 2x + 5\\
=&(2x^2 - x^2)+(-3x - 2x)+(1 + 5)\\
=&x^2 - 5x + 6
\end{align*}
\)
例 6：已知\(A = 3x^2 - 2x + 1\)，\(B = x^2 + 3x - 2\)，求\(2A - 3B\)。
分析：先将\(A\)、\(B\)代入\(2A - 3B\)，再去括号，最后合并同类项 。
解答：\(
\begin{align*}
2A - 3B&=2(3x^2 - 2x + 1) - 3(x^2 + 3x - 2)\\
&=6x^2 - 4x + 2 - 3x^2 - 9x + 6\\
&=(6x^2 - 3x^2)+(-4x - 9x)+(2 + 6)\\
&=3x^2 - 13x + 8
\end{align*}
\)
三、易错点剖析
（一）整式概念易错点
误认为分母含有字母的式子是整式，如\(\frac{1}{x}\)不是整式 。
混淆单项式次数与多项式次数，例如认为多项式\(2x^3 - 3x^2 + 1\)的次数是\(3 + 2 = 5\)，错误，应为最高次项\(2x^3\)的次数\(3\) 。
（二）同类项与合并同类项易错点
判断同类项时，忽略 “相同字母指数相同” 条件，如把\(3x^2y\)与\(3xy^2\)误判为同类项 。
合并同类项时，系数计算错误或遗漏同类项，如\(4x^2 + 3x^2 = 7x^4\)（错误，指数应不变） 。
（三）去括号与整式加减易错点
去括号时，不注意括号前符号，导致括号内项的符号改变错误，如\(-(2x - 3y)= -2x - 3y\)（错误，\(-3y\)符号未变） 。
整式加减运算时，没有按照先去括号，再合并同类项的顺序进行，或在合并同类项时出现计算失误 。
四、课堂总结
知识回顾：全面回顾整式的相关概念、同类项与合并同类项、去括号法则以及整式加减运算的知识，梳理知识脉络，明确各知识点之间的联系 。
方法归纳：总结判断整式、同类项的方法，合并同类项、去括号以及整式加减运算的步骤和技巧，帮助学生形成系统的解题思路 。
强调注意事项：再次强调易错点，提醒学生在解题过程中仔细审题，认真计算，避免因粗心导致错误 。
五、作业布置
基础作业
下列式子中，单项式有______；多项式有______；整式有______。\(-2\)，\(a\)，\(\frac{1}{x}\)，\(3x - 1\)，\(a^2 + 2ab + b^2\)，\(\frac{2}{3}xy\)
指出单项式\(-\frac{3}{2}xy^2\)的系数和次数，多项式\(3x^2 - 2x + 1\)的项和次数。
合并同类项：\(5x^2 - 3x + 2x^2 + 4x\)，\(3a^2b - 2ab^2 + ab^2 - 2a^2b\) 。
先去括号，再合并同类项：\((3x^2 - 2x + 1) + (2x^2 + 3x - 5)\)，\((4a^2 - 3a + 2) - (2a^2 + 5a - 1)\) 。
拓展作业
已知\(A = 2x^2 - 3xy + y^2\)，\(B = -x^2 + xy - 5y^2\)，求\(3A - 2B\) 。
若多项式\(2x^2 + ax - y + 6\)与\(2bx^2 - 3x + 5y - 1\)的差与字母\(x\)的取值无关，求\(a\)、\(b\)的值 。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识梳理
列式表示数量关系
本章知识结构图
单项式
多项式
整式
整式加减运算
合并同类项
去括号
知识梳理
整式
多项式：几个单项式的和叫作多项式.
单项式：由数或字母的积组成的代数式叫作单项式. 单独的一个数或一个字母也是单项式.
单项式的系数：单项式中的数字因数.
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和.
多项式的项：每个单项式叫作多项式的项.
多项式的次数：次数最高项的次数.
常数项：不含字母的项.
知识梳理
合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项.
合并同类项法则：
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变.
知识梳理
去括号法则：
1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
知识梳理
整式加减计算的一般步骤：
如果有括号的先去括号，再合并同类项.
求整式的值的一般步骤：
先将式子化简，再代入数值进行计算.
随堂练习
1. 对于式子－7πx2yz，下列说法正确的是（ ）
A.它的系数为－7 B.它的次数为3
C.它的次数为5 D.它的系数为－7π
D
随堂练习
2. 多项式－3x2－6xy+1的各项分别为（ ）
A.－3x2，6xy，1 B.－3x2，－6xy，1
C.－3x2，－6xy，－1 D.3x2，6xy，1
B
随堂练习
解: a2b是单项式，系数为 ，次数为3；
是单项式，系数为， 次数为6;
x2+y2－1是多项式，共有x2，y2，－1三项，次数为2;
x是单项式，系数为1，次数为1;
3.下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数：
a2b，，x2+y2－1， x ，3x2－y+3xy3+x4－1，32t3，2x－y.
随堂练习
解：3x2－y+3xy3 +x4－1是多项式，有3x2,－y,3xy3,x4,－1五项，次数为4；
32t3是单项式，系数为32，次数为3;
2x－y是多项式，有2x,－y两项，次数为1.
3.下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数：
a2b，，x2+y2－1， x ，3x2－y+3xy3+x4－1，32t3，2x－y.
随堂练习
4. 先化简，再求值.
5x2+4－3x2－5x－2x2－5+6x，其中x =－3.
解：5x2+4－3x2－5x－2x2－5+6x
= (5－3－2)x2+(－5+6)x－1
= x－1.
当x = －3时，原式 =－3－1 =－4.
随堂练习
5. 先化简，再求值.
(－x2+5+4x)+(5x－4+2x2)，其中x=－2.
解：(－x2+5+4x)+(5x－4+2x2)
=－x2+5+4x+5x－4+2x2
=x2+9x+1.
当x=－2时，原式=(－2)2+9×(－2)+1=－13.
随堂练习
6. 一种商品每件成本为a元，原来按成本增加22%定出价格，每件售价为多少元？现在由于库存积压减价，按原价的85%出售，现售价为多少元？每件还能盈利多少元？
解：售价为a×（1+22%）= 1.22a(元).
现售价为1.22a×85% = 1.037a(元).
每件还能盈利：1.037a－a = 0.037a(元).
随堂练习
7. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简
|b－a|+|a+b|－|c|－|b－c|+|a+c|.
解：由题意，得b所以b－a<0，a+b<0，b－c<0，a+c>0，
所以|b－a|+|a+b|－|c|－|b－c|+|a+c|
=－(b－a)－(a+b)+c+(b－c)+(a+c)
=－b+a－a－b+c+b－c+a+c
= a－b+c.
b c 0 a
随堂练习
8. 甲地的海拔是h m，乙地比甲地高20 m，丙地比甲地低30 m，列式表示乙、丙两地的海拔，并计算这两地的高度差.
解：乙地的海拔是(h+20) m，丙地的海拔是(h－30) m；
乙、丙两地的高度差是
(h+20)－(h－30)= h+20－h+30=50(m).
随堂练习
9. 某轮船顺水航行3 h，逆水航行1.5 h，已知轮船在静水中的速度是a km/h，水流速度是y km/h，轮船共航行多少千米？
解：3(a+y)+1.5(a－y)
= 3a+3y+l.5a－1.5y
= (4.5a+1.5y)(千米).
答：轮船共航行(4.5a+1.5y)千米.
随堂练习
10. 观察下图并填表（单位：cm)：
梯形个数 1 2 3 4 5 6 n
图形周长 5a 8a 11a 14a
17a
20a
(3n+2)a
a
2a
a
随堂练习
11. 如下图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有 n(n>1)个点，每个图形总的点数S是多少？当n=5，7，11时，S是多少？
n=2 n=3 n=4 n=5
解：每个图形总的点数S=3n－3；
当n=5时，S=12；当n=7时，S=18；当n=11时，S=30.
一、核心考点巩固
考点1 整式的有关概念
1.下列式子：，，， ，0，其中整式的个数是( )
C
A.2 B.5 C.4 D.3
2.下列说法正确的是( )
B
A.单项式 的次数是1
B. 是三次三项式
C.单项式 的系数是2
D.，，5是多项式 的项
3.已知与是同类项，则 的值为( )
C
A.2 B. C.1 D.
考点2 整式的加减
4.若，，则 是( )
D
A. B. C. D.
5.已知为常数，， ，
若多项式不含一次项，则多项式 的常数项是( )
A
A.35 B.40 C.45 D.50
6.（4分）化简： .
解：原式
.
考点3 整式的化简求值
7.［2025杭州月考］当， 时，
的值是( )
B
A.0 B.6 C. D.9
8.若，互为相反数，则 的值为____.
9.（4分）先化简，再求值：
，其中
.
解：因为 ，
所以, ，
所以, .
原式
，
当,时，原式 .
10.（4分）有这样一道计算题：计算
的值，其中 ,
.小明同学把“”错看成“ ”，但计算结果仍正确；小颖
同学把“”错看成“ ”，计算结果也是正确的，你知道其中的
道理吗？请加以说明.
解： .
因为化简结果中不含项，所以小明同学把“”错看成“ ”，但
计算结果仍正确.因为化简结果中是“”，“1”，“ ”的平方是一样的，
所以小颖同学把“”错看成“ ”，计算结果也是正确的.
考点4 整式加减的应用
11.［2025成都期末］若一个三位数的个位数字是1，十位数字是 ，
百位数字是，把 的百位数字和十位数字互换得到一个新的三位
数，则 ____________.
12.（8分）我国出租车收费标准因地而异.甲市为：起步价（3千米及3千
米以内）6元，超过3千米后每千米为1.5元；乙市为：起步价
（3千米及3千米以内）10元，超过3千米后每千米为1.2元.
（1）在甲、乙两市乘坐出租车 千米的价差是多少元？
解：在甲市乘坐出租车千米的价钱为 元，在乙
市乘坐出租车千米的价钱为 元，故在甲、乙
两市乘坐出租车 千米的价差是
元.
（2）如果在甲、乙两市乘坐出租车的路程都为10千米，那么哪个市的
收费高些？高多少？
解：当 时，在甲市乘坐出租车的价钱为
（元），在乙市乘坐出租车的价钱为
（元）.
因为 （元），
所以乙市的收费高些，高1.9元.
二、思想方法演练
思想1 数形结合思想
13.（8分）［2025保定期末］劳动技术课程是基础
教育的重要课程之一，其根本使命是全面提高未来
国民的基本劳动技术素养，培养具有技术知识、创
新思维、实践能力的一代新人.我校将利用天台劳
动基地展开一系列的劳动实践操作活动.如图所示，天台上有块长为
，宽为的长方形空地，现在将其中三面留出宽都是 的小
路，中间余下的长方形部分作为菜地.
（1）用含 的式子表示菜地的周长；
解：菜地的周长为
.
（2）当 时，求菜地的周长.
解：当时， .
答：当时，菜地的周长是 .
思想2 整体思想
14.（12分）数学中，会运用整体思想在求代数式的值时非常重要，例
如：已知 ，则代数式
，
请根据以上材料解答以下问题：
（1）若整式，求整式 的值；
解：因为 ,
所以 .
所以 .
（2）若，求 的值；
解： .
（3）当时，多项式的值是5，求当 时，多项
式 的值.
解：当时， ,
所以 .
当 时，
.
谢谢观看！