第五章 一元一次方程【章末复习】 课件（共52张PPT）

(共52张PPT)
章末复习
第五章 一元一次方程
【2024新教材】人教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
幻灯片 1：封面
标题：第五章 一元一次方程章末复习
副标题：构建方程知识体系，突破解题关键
背景图：选用由方程、等式、数学符号交织成的网络图案，寓意知识的系统性与关联性
幻灯片 2：目录
知识框架梳理
方程的解法要点回顾
实际问题类型与解题策略
典型例题精讲
综合练习与巩固
课堂小结
课后作业布置
幻灯片 3：知识框架梳理
讲解说明：结合思维导图，依次讲解各部分知识在一元一次方程体系中的位置与作用，强调知识间的逻辑联系，如等式性质是方程变形求解的依据，各类实际问题需通过建立方程模型解决 。
幻灯片 4：方程的解法要点回顾 - 合并同类项
要点总结：合并同类项是将方程中含有相同未知数的项进行合并，依据同类项的系数相加，字母和字母指数不变的法则，简化方程形式 。
举例强化：以方程\(3x + 2x = 15\)为例，展示合并同类项得到\(5x = 15\)，再利用等式性质 2 求解\(x = 3\)的过程，强调合并同类项的准确性 。
幻灯片 5：方程的解法要点回顾 - 移项
要点总结：移项是把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，依据是等式性质 1，目的是将含有未知数的项移到等号一边，常数项移到等号另一边 。
易错提醒：通过方程\(2x - 5 = 7\)，讲解移项得到\(2x = 7 + 5\)的过程，强调移项一定要变号，避免学生出现移项不变号的错误 。
幻灯片 6：方程的解法要点回顾 - 去括号
要点总结：去括号是根据去括号法则，将方程中的括号去掉，若括号前是正数，去括号后各项符号不变；若括号前是负数，去括号后各项符号改变 。
实例分析：以方程\(3(x - 2) = 12\)为例，展示去括号得到\(3x - 6 = 12\)，再进行后续求解的过程，强调去括号时要注意括号前的系数与符号 。
幻灯片 7：方程的解法要点回顾 - 去分母
要点总结：去分母是利用等式性质 2，找出方程中各分母的最小公倍数，将方程两边同时乘以该最小公倍数，消除分母，使方程化为整数形式 。
注意事项：以方程\(\frac{x}{2} + \frac{x - 1}{3} = 5\)为例，讲解去分母得到\(3x + 2(x - 1) = 30\)的过程，强调去分母时每一项都要乘以最小公倍数，不能漏乘 。
幻灯片 8：实际问题类型与解题策略 - 配套问题
解题策略：关键是找出配套物品之间的数量关系，以此作为等量关系列出方程 。
案例分析：回顾 “车间工人生产螺钉和螺母” 的问题，设生产螺钉的工人为\(x\)名，根据 “螺母数量是螺钉数量的\(2\)倍” 列出方程\(2 1200x = 2000(22 - x)\)，总结此类问题的解题思路 。
幻灯片 9：实际问题类型与解题策略 - 调配问题
解题策略：分析调配前后数量的变化情况，根据变化后的等量关系列出方程 。
案例分析：以 “仓库调运存粮” 问题为例，设从甲仓库调运\(x\)吨到乙仓库，根据调运后两个仓库的存粮吨数相等列出方程\(200 - x = 150 + x\)，强化解题方法 。
幻灯片 10：实际问题类型与解题策略 - 工程问题
解题策略：通常把工作量看作单位 “\(1\)”，根据工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间，找出工作效率、工作时间和工作量之间的关系列出方程 。
案例分析：回顾 “甲乙合作完成工程” 的问题，设两人合作\(x\)天完成，根据 “甲的工作量 + 乙的工作量 = 总工作量” 列出方程\((\frac{1}{10} + \frac{1}{15})x = 1\)，加深学生理解 。
幻灯片 11：实际问题类型与解题策略 - 销售问题
解题策略：明确进价、售价、利润、利润率、标价、折扣等概念及它们之间的关系，围绕售价、进价、利润、利润率等之间的联系列方程 。
案例分析：以 “商品按标价打折出售求进价” 问题为例，设进价为\(x\)元，根据售价与利润、进价的关系列出方程求解，巩固销售问题的解题思路 。
幻灯片 12：实际问题类型与解题策略 - 积分问题
解题策略：准确分析题目中的积分规则，确定总积分与各部分积分之间的关系，合理设未知数列出方程 。
案例分析：回顾 “足球比赛积分” 问题，设球队胜了\(x\)场，根据总积分 = 胜场积分 + 平场积分 + 负场积分列出方程求解，总结积分问题的解法 。
幻灯片 13：实际问题类型与解题策略 - 分段计费问题
解题策略：明确各段的计费标准，找出总费用与各段费用之间的关系，以此作为等量关系列出方程 。
案例分析：以 “居民用电分段计费” 问题为例，设用电量超过标准的度数为\(x\)，根据总电费的组成列出方程求解，强化分段计费问题的解题方法 。
幻灯片 14：实际问题类型与解题策略 - 方案决策问题
解题策略：分析不同方案的计算方式，根据题目要求（如优惠率、成本比较等）找出等量关系，必要时需分类讨论 。
案例分析：回顾 “商场促销优惠方案” 问题，设商品标价为\(x\)元，分情况根据优惠率列出方程求解，帮助学生掌握方案决策问题的解题策略 。
幻灯片 15：典型例题精讲 - 方程求解例题
题目：解方程\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{6} = 1\)
解答过程：
去分母，方程两边同时乘以\(6\)，得到\(2(2x - 1) - (x + 2) = 6\) 。
去括号，\(4x - 2 - x - 2 = 6\) 。
移项，\(4x - x = 6 + 2 + 2\) 。
合并同类项，\(3x = 10\) 。
系数化为\(1\)，\(x = \frac{10}{3}\) 。
讲解要点：强调去分母、去括号、移项等步骤的注意事项，规范解题格式 。
幻灯片 16：典型例题精讲 - 实际问题例题
题目：某工厂有\(28\)名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓\(12\)个或螺母\(18\)个，一个螺栓需要配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？
解答过程：
设分配\(x\)名工人生产螺栓，则\((28 - x)\)名工人生产螺母 。
根据配套关系列出方程\(2 12x = 18(28 - x)\) 。
解方程：\(
\begin{align*}
24x &= 504 - 18x\\
24x + 18x &= 504\\
42x &= 504\\
x &= 12
\end{align*}
\)
生产螺母的工人数量为\(28 - 12 = 16\)名 。
讲解要点：引导学生分析配套关系，准确找出等量关系列方程 。
幻灯片 17：综合练习与巩固
题目展示：
解方程：\(\frac{3x + 1}{2} - 1 = \frac{2x - 1}{4}\)
某车间有技术工人\(85\)人，平均每天每人可加工甲种部件\(16\)个或乙种部件\(10\)个，\(2\)个甲种部件和\(3\)个乙种部件配成一套，问加工甲、乙两种部件各安排多少人才能使每天加工的两种部件刚好配套？
某商场开展促销活动，购物 “满\(300\)元减\(100\)元”。李明买了一件标价为\(400\)元的皮夹克，在此活动中，他实际享受的是几折优惠？
互动环节：学生独立完成练习，教师巡视指导，选取学生上台展示解题过程，针对学生出现的问题进行集中讲解 。
幻灯片 18：课堂小结
知识回顾：再次梳理一元一次方程的概念、解法、实际问题应用等核心知识，强化学生对本章知识体系的整体认知 。
方法总结：总结解方程的一般步骤和解决实际问题的关键方法，如找等量关系、设未知数、列方程、求解并检验等 。
学习建议：鼓励学生在课后多做练习，巩固方程解法，学会从实际问题中抽象出数学模型，提高解决问题的能力 。
幻灯片 19：课后作业布置
基础作业：
解方程：\(\frac{5x - 1}{6} = \frac{7}{3}\)；\(3(x - 2) + 1 = x - (2x - 1)\)
某工程甲单独做需\(12\)天完成，乙单独做需\(8\)天完成。现由甲先做\(3\)天，乙再参加合做，求完成这项工程共用的时间 。
某商店将某种服装按进价提高\(30\%\)作为标价，又以九折优惠卖出，结果仍可获利\(17\)元，则这种服装每件进价是多少元？
拓展作业：结合生活实际，设计一道需要运用一元一次方程解决的综合性问题（可融合多种实际问题类型），并完整解答 。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
实际问题
实际问题
的解答
一元一次方程
一元一次方程的解（x=m）
设未知数，
根据相等关系列方程
抽象为数学模型
解方程
回归于实际问题
检 验
本章知识结构图.
一般步骤：
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
知识梳理
知识梳理
一元一次方程
方程：含有未知数的等式.
一元一次方程：只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1的方程.
方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值.
概念
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
性质
等式的基本事实：等式两边可以交换.
相等关系可以传递.
知识梳理
解一元一次方程的一般步骤：
去分母.
去括号.
移项.
合并同类项.
系数化为1.
依据等式的性质2.
依据分配律.
依据等式的性质1.
依据分配律.
依据等式的性质2.
随堂练习
1.列方程表示下列语句中的相等关系：
(1)某地2023年9月10日的温差是4℃. 这天最高气温是t℃，最低气温是t℃；
(2)七年级学生人数为n，其中男生占45%，女生有110人；
t- t=4.
45%n+110=n.
随堂练习
1.列方程表示下列语句中的相等关系：
(3)一种商品每件进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元；
(4)在5天中，第一小组共植树60棵，第二小组共植树x(x<60)棵，平均每天第一小组比第二小组多植2棵树.
1.1a-10=210.
2.
随堂练习
2.已知x=－1是方程ax3＋bx－3=2的解，则当x=1时，求代数式ax3＋bx－3的值.
解：将x=-1代入方程a(-1)3+b(-1)-3=2，
即a+b=-5.
当x=1时，原式=a·13+b·1-3=a+b-3=-8.
随堂练习
3.解下列方程：
（1）8x=3； （2）0.5x-0.7=6.5-1.3x;
解：（1）移项，得
-8x+ =3- .
合并同类项，得
- x= .
系数化为1，得
x=- .
（2）移项，得
0.5x+1.3x=6.5+0.7
合并同类项，得
1.8x=7.2.
系数化为1，得
x=4.
随堂练习
3.解下列方程：
（3）-3； （4）3;
(4) 去分母，得
7(1-2x)=3(3x+1)-63.
去括号，得7-14x=9x+3-63.
移项、合并同类项，得
-23x=-67.
系数化为1，得x=.
(3) 去括号，得
-3.
移项，得- =-3+1，
合并同类项，得=-2.
系数化为1，得x=-20.
知识梳理
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
审：审清题意，找相等关系；
设：设未知数；
列：列方程；
解：解方程；
检：检验所得结果；
答：确定答案.
正确分析问题中的相等关系是列方程的基础.
列一元一次方程解决实际问题的类型
1. 配套问题
知识梳理
配套问题中的基本关系：
若 m 个 A 和 n 个 B 配成一套，则 ，
m×B 的数量=n×A 的数量.
知识梳理
列一元一次方程解决实际问题的类型
2.工程问题
工程问题中的基本数量关系：
工作量=工作效率×工作时间（或人均效率×时间×人数）；
合作的效率=各部分单独做的效率和；
总工作量=各部分工作量之和.
知识梳理
列一元一次方程解决实际问题的类型
3.销售问题
商品销售中的等量关系：
利润率 ； 打 x 折后的售价=标价 ；
售价=进价×(1+利润率)；
利润=售价-进价；
利润=进价×利润率.
列一元一次方程解决实际问题的类型
4.比赛中的积分问题
知识梳理
在比赛积分问题中，常见的等量关系：
某个队的参赛场数=该队的胜场数+该队的负场数+该队的平场数；
某个队的总积分=该队的胜场积分+该队的负场积分+该队的平场积分.
列一元一次方程解决实际问题的类型
5.方案选择问题
知识梳理
审题
更优惠
费用相同
列方程
用未知数表示费用
设未知数
选择最优方案问题的一般步骤：
随堂练习
4.(我国古代问题)跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？
解：设快马x天可以追上慢马.
由题意，得240x=150(12+x).
解得x=20.
答:快马20天可以追上慢马.
随堂练习
5.某车间每天能制作甲种零件500只，或者制作乙种零件250只，甲、乙两种零件各一只配成一套产品，现要在30天内制作最多的成套产品，则甲、乙两种零件各应制作多少天？
解：设甲种零件应制作x天，则乙种零件应制作(30-x)天.
依题意，得500x=250(30-x).
解得x=10.
那么30-x=20.
答：甲种零件应制作10天，乙种零件应制作20天.
随堂练习
解:设剩余部分由八年级学生单独完成需x h.
依题意，得.
解得.所以.
答:共需 h完成.
6.某中学的学生自己动手整修操场，如果让七年级学生单独工作，需要7.5h完成；如果让八年级学生单独工作，需要5h完成.如果让七、八年级学生一起工作1h,再由八年级学生单独完成剩余部分，共需多少时间完成？
随堂练习
7.现对某商品降价20%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加百分之几？
解：设销售量要比按原价销售时增加x%.
依题意,得(1-20%)(1+x%)=1.
解得x=25.
答:销售量要比按原价销售时增加25%.
随堂练习
8.学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答.下表记录了5名参赛同学的得分情况.
(1)同学F得76分，他答对了几道题？
(2)同学G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？
解：由参赛者A知,答对一题得5分,再由参赛者B知,答错一题扣1分.
(1)设同学F答对了x道题.
依题意,得5x-(20-x)= 76.
解得x=16.
答:同学F答对了16 道题.
随堂练习
(2)不可能.设同学G答对了y道题.
依题意,得5y-(20-y)=80.
解得y= .
因为y不是整数,
故原方程的解不符合题意.
所以他不可能得80分.
8.学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答.下表记录了5名参赛同学的得分情况.
(1)同学F得76分，他答对了几道题？
(2)同学G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？
随堂练习
9.一家游泳馆每年6月一8月出售夏季会员证，每张会员证120元，只限本人使用，凭会员证购入场券每张15元，不凭会员证购入场券每张20元.试讨论并回答下列问题：
(1)在什么情况下，使用会员证与不使用会员证付一样的钱？
(2)在什么情况下，使用会员证比不使用会员证更合算？
(3)在什么情况下，不使用会员证比使用会员证更合算？
解:设游泳x次时，使用会员证与不使用会员证付一样的钱.
根据题意，得120+15x=20x ,
解得x=24.
答:(1)去游泳馆24次时,使用会员证与不使用会员证付一样的钱.
(2)去游泳馆的次数大于24次时,使用会员证比不使用会员证更合算.
(3)去游泳馆的次数少于24次时,不使用会员证比使用会员证更合算.
一、核心考点巩固
考点1 一元一次方程及其解
1.在方程，， ，
中，是一元一次方程的有( )
A
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如果方程是关于的一元一次方程，那么 的值
为( )
A
A.0 B.2 C.6 D.0或2
3.若是关于的方程的解，则 的值为
____.
考点2 等式的性质
4.下列变形正确的是( )
B
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
5.如图所示的3个天平左盘中“ ”“ ”分别表示两种质量不同的物体，则
第三个天平右盘中砝码的质量为____ .
考点3 一元一次方程的解法
6.下列方程变形中，正确的是( )
D
A.方程，移项，得
B.方程，去括号，得
C.，去分母，得
D.方程，系数化为1，得
7.若关于的方程的解与方程 的解互
为相反数，则 的值为( )
A
A. B.2.5 C.1 D.
8.［2025北京期中］设，，， 为有理数，现规定一种新的运算
，则满足等式的 的值为____.
9.（12分）解下列方程：
（1） ；
解：移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
（2） ；
解：去括号，得 ，
移项，得 ，
解得 .
（3） .
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
解得 .
考点4 一元一次方程的应用
10.［2024扬州中考］《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经
十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追
及问题，可理解为：速度快的人每分钟走 ，速度慢的人每分钟走
，现在速度慢的人先走 ，速度快的人去追他.问速度快的人
追上他需要____ .
2.5
（第11题）
11. 如图，用一根质地均匀长
的木杆和一些相同的重物做实验.已知
支撑点到木杆左右两端的距离分别为 ，
2
，通过实验可得到如下结论：左端重物个数 右端重物个数
，木杆就能平衡. 已知 ，并且右端放了一个重物，若要木杆平
衡，则左端需要放置的重物个数为___.
（第12题）
12.［2025佛山顺德区期末］幻方的历史悠久，传说最早
出现在夏禹时代的“洛书”中，其每行，每列，每条对角
线上的数字之和都相等.如图是一个三阶幻方，则 的值为
___.
6
13.（8分） 2024年12月4日，联合国教科文组织决定将
“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代
表作名录.而春节期间带一份包装精美的礼品走亲访友更是一种传统，
因此市场上对礼品盒的需求量也随之激增.为了满足市场的需求，遵义
市某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中
女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这
种礼品盒的盒身400个或盒底1 000个.
（1）该工厂有男工、女工各多少名？
解：设该工厂有男工名，则女工有 名，
由题意得，解得 ，
所以 .
答：该工厂有男工25名，女工65名.
（2）该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制
作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人
各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？
解：设安排 名工人制作盒身，
则 名工人制作盒底，
由题意得，解得，所以 .
答：应该安排50名工人制作盒身，40名工人制作盒底，才能使每天生产
的产品刚好配套.
14.（8分）［2025重庆期末］全民开展体育运动，人们对足球的需求量
增加.某经理做市场调研，了解到如下信息：
【信息1】某体育用品商城从厂家购进了品牌足球30个， 品牌足球20
个，共付款4 400元.已知每个品牌足球比每个 品牌足球进价贵20元.
【信息2】该体育用品商城将品牌足球按信息1中的进价提高 后标
价，品牌足球按信息1中的进价提高 后标价，实际销售时再打折
出售，此时信息1中所购进的足球全部销售完后可获利860元，已知 品
牌足球打八折.
（1）每个品牌足球和每个 品牌足球进价分别为多少元？
解：设每个品牌足球进价为元，则每个品牌足球进价为 元，
由题意得，解得 ，
所以 .
答：每个， 品牌足球进价分别为80元，100元.
（2）求信息2中 品牌足球实际销售时打几折.
①设品牌足球实际销售时打 折，请完成下列示意图；
100
140
②根据示意图及信息2列出方程，解决问题.
[答案] 由题意得
，解得 .
答： 品牌足球实际销售时打八五折.
15.（8分） “五一”期间,小明、小亮等同学随家长一同
到某公园游玩,下面是公园门口的票价信息以及购买门票时,小明与他爸
爸的对话（如图所示）,试根据图中的信息,解答下列问题:
（1）小明他们一共去了成人、学生各几人
解：设小明他们一共去了成人人，则去了学生 人.
根据题意，得，解得 .
则 .
答：小明他们一共去了成人8人,学生4人.
（2）请你帮小明算一算,用哪种方式购票省钱 说明理由.
解：购买团体票省钱.理由如下：
若购买团体票，
则需要 （元）.
因为 ，所以购买团体票省钱.
二、思想方法演练
思想1 换元法
16.［2025西安期末］已知关于的一元一次方程 的
解为，那么关于的一元一次方程
的解为( )
B
A. B. C. D.
思想2 整体思想
17.（8分）解方程： .
解：原方程可化为 ，
所以 ，
所以，解得 .
思想3 分类讨论思想
18.观察如图所示的程序，若输出的结果为5，则输入的 值为( )
C
A.3 B. C.3或 D.3或
思想4 数形结合思想
19.（8分）［2024河北中考］如图，有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点
，，所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点，， 所对
应的数依次为0， ，12.
（1）计算，，三点所对应的数的和，并求 的值；
解：因为甲数轴上的三点，，所对应的数依次为 ，2，32，
所以 ，
，
，
所以 .
（2）当点与点上下对齐时，点，恰好分别与点， 上下对齐，
求 的值.
解：因为点与点上下对齐时，点，恰好分别与点， 上下对齐，
所以，所以 ，
解得 .
谢谢观看！