第一章 有理数【章末复习】 课件（共50张PPT）

(共50张PPT)
章末复习
第一章 有理数
【2024新教材】人教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
1.2.5 有理数的大小比较
知识回顾与情境导入
回顾旧知
复习绝对值：随机提问学生绝对值的定义、性质，如 “什么是一个数的绝对值？”“正数、负数、0 的绝对值分别是什么？”，通过举例 -5、\(\frac{3}{2}\)、0 ，让学生回答它们的绝对值，巩固对绝对值概念的理解。
回顾数轴：请学生简述数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），以及有理数与数轴上点的对应关系，强调任何有理数都可以用数轴上的点来表示，为利用数轴比较有理数大小做铺垫。
情境引入
生活实例：展示冬季不同城市的气温数据，如哈尔滨 -15℃，北京 -5℃，上海 5℃ 。提问学生：“这些城市气温的高低顺序是怎样的？如何用数学的方法准确比较这些有理数的大小呢？” 引导学生从生活经验出发，思考有理数大小比较的问题，激发学习兴趣。
引发思考：进一步提问 “在数学中，除了根据生活常识判断，还有没有通用的方法来比较有理数的大小？” 自然引出本节课有理数大小比较的学习内容。
利用数轴比较有理数的大小
法则推导
数轴演示：在数轴上分别标出表示 -3、 -1、0、2、4 的点，引导学生观察这些点在数轴上的位置关系。提问学生：“从左到右，这些点所表示的数的大小变化有什么规律？”
总结法则：通过学生的观察和讨论，总结出利用数轴比较有理数大小的法则：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。即正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。例如，在数轴上 2 在 0 的右边，所以 2 > 0；0 在 -1 的右边，所以 0 > -1；4 在 -3 的右边，所以 4 > -3 。
几何意义解读
结合实例讲解：以 -2 和 1 为例，在数轴上找到它们对应的点，说明 1 在 -2 的右边，所以 1 > -2 。强调从数轴的角度看，右边的数离原点更远（正数方向），左边的数离原点更近（负数方向），距离原点的远近反映了数的大小关系，帮助学生理解利用数轴比较大小的几何意义。
强化理解：多列举几组有理数，如 -5 和 -3、0 和 3、 -1 和 2 等，让学生在数轴上表示出来并比较大小，加深对法则的理解和运用。
利用绝对值比较有理数的大小
负数比较法则推导
实例分析：以 -2 和 -3 为例，先求出它们的绝对值，|-2| = 2，|-3| = 3 。提问学生：“比较 2 和 3 的大小，再思考 -2 和 -3 的大小关系是怎样的？” 引导学生发现两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
总结法则：通过多个负数比较大小的实例，如 -5 和 -7、 -\(\frac{1}{2}\)和 -\(\frac{1}{3}\) ，总结出负数比较大小的法则：两个负数，绝对值大的反而小。用字母表示为：若 a <0，b < 0，且 |a|> |b|，则 a < b 。
综合比较方法
分类讲解：
正数与正数比较：按照以前学过的数的大小比较方法，直接比较数值大小，如 5 > 3，\(\frac{3}{4}\) > \(\frac{1}{2}\) 。
正数与负数比较：根据 “正数大于负数” 的法则，如 2 > -1，4 > -3.5 。
负数与负数比较：运用 “两个负数，绝对值大的反而小” 的法则，先求出绝对值，再比较大小，如比较 -\(\frac{2}{3}\)和 -\(\frac{3}{4}\) ，先计算 |-\(\frac{2}{3}\)| = \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{8}{12}\)，|-\(\frac{3}{4}\)| = \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{9}{12}\) ，因为 \(\frac{8}{12}\) < \(\frac{9}{12}\)，所以 -\(\frac{2}{3}\) > -\(\frac{3}{4}\) 。
正数、负数与 0 比较：依据 “正数大于 0，0 大于负数”，如 3 > 0，0 > -2 。
强调要点：在比较有理数大小时，要先判断数的类型（正数、负数、0），再选择合适的方法进行比较，特别注意负数比较大小的规则与正数不同。
典型例题与课堂练习
例题讲解
例题 1：比较下列各数的大小：
（1） -4 和 -6
（2）0 和 -\(\frac{1}{3}\)
（3）\(\frac{3}{5}\)和 0.6
（4） -1.5 和 1
分析：
（1）对于 -4 和 -6，它们都是负数，先求绝对值 |-4| = 4，|-6| = 6 ，因为 4 <6，根据两个负数比较大小的法则，所以 -4> -6 。
（2）根据 “0 大于负数”，可得 0 > -\(\frac{1}{3}\) 。
（3）\(\frac{3}{5}\) = 0.6，所以 \(\frac{3}{5}\) = 0.6 。
（4）根据 “正数大于负数”，所以 1 > -1.5 。
解答：详细写出比较过程和结果，规范解题步骤。
例题 2：将下列有理数按照从小到大的顺序排列： -3.5，0，2， -\(\frac{3}{2}\)，1.5 。
分析：先将 -\(\frac{3}{2}\)化为小数 -1.5，然后根据有理数大小比较的方法，负数小于 0 小于正数。对于负数 -3.5 和 -1.5 ，|-3.5| = 3.5，|-1.5| = 1.5 ，因为 3.5 > 1.5，所以 -3.5 <-1.5 。正数 2> 1.5 。
解答： -3.5 < -\(\frac{3}{2}\) < 0 < 1.5 < 2 ，写出完整的排列过程和结果。
课堂练习
比较下列各数的大小：
（1） -5 和 -8
（2）\(\frac{2}{3}\)和 \(\frac{3}{4}\)
（3） -0.3 和 0
（4） 2.5 和 -3
让学生独立完成，教师巡视指导，检查学生对有理数大小比较方法的掌握情况，及时纠正错误。
把下列有理数： -2，\(\frac{1}{2}\)， -1.5，0，3 ，按照从大到小的顺序排列。引导学生运用所学方法进行比较和排列，培养学生综合运用知识的能力。
课堂总结
知识要点回顾
利用数轴比较有理数大小的法则：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，即正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。
利用绝对值比较有理数大小的方法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；正数与正数、正数与负数、正数和 0、负数和 0 的大小比较规则。
重点强调
比较有理数大小时，要先判断数的类型，再选择合适的方法，尤其要牢记负数比较大小的特殊规则。
可以借助数轴直观地理解有理数的大小关系，数轴是比较有理数大小的重要工具。
课后作业
基础作业
比较下列各数的大小：
（1） -7 和 -9
（2）\(\frac{1}{3}\)和 \(\frac{1}{5}\)
（3） -2.5 和 0
（4） 3 和 -4
将下列有理数按照从小到大的顺序排列： -1，\(\frac{3}{2}\)， -0.5，2， -3 。
拓展作业
已知 a 是负数，b 是正数，且 |a| > |b|，试比较 a、b、 -a、 -b 的大小，并在数轴上表示出来。引导学生综合运用有理数大小比较的知识和绝对值的性质，培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
思考在实际生活中，哪些场景会用到有理数大小比较？举例说明并分析比较的过程和意义，写一篇小短文。通过实际应用，加深学生对有理数大小比较知识的理解和运用能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识梳理
正数和负数
有理数
数轴
相反数
绝对值
有理数的
大小比较
数与点的对应
本章知识结构图
知识梳理
正数：在数学中，像3，50，7.8%这样大于0的数叫作正数.
负数：像-3，-10，-0.7% 这样在正数前加上符号“”的数叫作负数.
1. 正数和负数
知识梳理
要点：
（1）正数前面的“+”（正）号可以省略不写，负数前面的“”（负）号不能省略不写；
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可以任意选择，但是习惯把“前进、上升”等规定为正，把“后退、下降”规定为负；
（3）0 既不是正数，也不是负数.
随堂练习
1. 在-2，3.4，0.28，-25.8，-4，，12%，0.875，
-36.765%中，
正数有_____________________________;
负数有_____________________________.
3.4 ，0.28 ， ，12%，0.875
-2 ，-25.8 ， -4 ，-36.765%
随堂练习
2. 填空题
（1）如果温度上升3 ℃记作+3 ℃，那么下降2 ℃记作_____℃.
（2）如果收入用正数表示，支出用负数表示，那么-56元表示_______________.
-2
支出56元
知识梳理
2. 有理数及其分类
（1）有理数：把可以写成分数形式的数称为有理数.
（2）有理数的分类：
①按定义来分；②按性质符号分.
根据有理数的定义分类.
知识梳理
正整数
负整数
负分数
正分数
0
有理数
整数
分数
自然数
知识梳理
0
有理数
正有理数
正整数
正分数
负有理数
负整数
负分数
根据有理数的性质符号分类.
随堂练习
3.下列说法正确的是 （ ）
A. 正数、 0、负数统称为有理数
B. 可以写成分数形式的数称为有理数
C. 正有理数、负有理数统称为有理数
D. 以上都不对
B
随堂练习
4. -a 一定是（ ）
A. 正数 B. 负数
C. 正数或负数 D. 正数或0或负数
D
随堂练习
5.下列说法中，错误的有（ ）
①-2 是负分数；② 1.5 不是整数；③非负有理数不包括 0； ④可以写成分数形式的数称为有理数；⑤ 0 是最小的有理数；⑥ -1是最小的负整数.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D .4 个
C
6. 把下列各数分别填入相应的括号内：
-7，3.5， -3.1415，0，，0.03， - 3，10，-
非负整数集合｛ ｝；
整数集合｛ ｝；
正分数集合｛ ｝；
非正数集合｛ ｝.
0，10
-7，0，10，-
3.5，0.03
-7，-3.1415，0，- 3，-
正整数+0
负数+0
随堂练习
知识梳理
3. 数轴
（1） 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
（2）数轴的画法：
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
数轴的三要素
①画直线，标原点；
②标正方向；
③选取单位长度，标数.
知识梳理
（3）在数轴上表示有理数.
画出数轴并表示出下列有理数.
2，-3.5，，-，3.5
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
2
-3.5
-
3.5
知识梳理
（4）数轴上的点与有理数之间的关系：
所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数（举例说明）.
0
d=1
7. 在数轴上表示下列各数、并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“<”连接起来.
3，-4，0，2，-2，-1
随堂练习
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
-1
3
-4
0
2
-2
-1
3
-4
0
2
-2
<
<
<
<
<
知识梳理
（1）相反数：只有符号不同的两个数,互为相反数；
（2）相反数的几何意义：
在数轴上位于原点两侧并且到原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数.
（3）多重符号的化简：奇负偶正.
4. 相反数
0
-a
a
随堂练习
8. -（+5）表示_________的相反数，即-（+5）=_________；
-（-5）表示_________的相反数，即-（-5）=_________.
9. -2 的相反数是_________； 的相反数是_________；
0 的相反数是_________.
5
-5
2
-5
5
0
随堂练习
10.化简下列各数：
-（-68）=________； -（+0.75）= ________；
-（- ）=________； -（+3.8）= ________；
+（-3）=________； +（+6）=________.
68
-3
-0.75
-3.8
6
11. 比较下列各组数的大小.
（1） +(-3) 和 -(-4)； （2）-(-2)和-|+2|；
（3） +|-3| 和 |-(+5)|； （4）-(+)和-|-|；
随堂练习
-3
+4
<
+(-3) < -(-4)
+2
-2
>
-(-2) > -|+2|
3
5
<
+|-3| < |-(+5)|
-
-
<
-(+) < -|-|
知识梳理
（1）一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作| a |，读作“a的绝对值”.
（2）绝对值的性质（非负性）.
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0.
即： ①如果a>0，那么 a = a；
②如果a=0，那么 a = 0；
③如果a<0，那么 a = -a.
5. 绝对值
随堂练习
12. -8 的绝对值是_______，记做_______ .
13. 绝对值等于5的数有_________.
14. 若︱a︱= a , 则 a 的范围______ .
15. 如果 x16. |x -1| =3 ，则 x ＝__________.
8
| 8 |
±5
a ≥ 0
＞
4 或-2
随堂练习
17. 有理数 a ，b 在数轴上的位置如图所示，
则 a_____b，| a |_____| b |.
＜
＞
a
b
0
随堂练习
18. 若|a|=3，|b|=7，则|a+b|的值是( )
A.10 B.4 C.10或4 D.以上都不对
C
解析：因为 |a|=3，|b|=7，
所以 a=3，b=7.
①当a=3，b=7时， a+b =10;
②当a=3，b=-7时， a+b =-4;
③当a=-3，b=7时， a+b =4;
④当a=-3，b=-7时， a+b =-10.
知识梳理
（1）数学中规定：
在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数.
（2）有理数大小的比较法则：
①正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
②两个负数，绝对值大的反而小.
6. 有理数大小的比较
一、核心考点巩固
考点1 有理数的概念及分类
1.对于以下各数：-，1，，，0，，，，， ，
下列说法正确的是( )
D
A.只有1，，， 是整数 B.其中有三个数是正整数
C.非负数有1，，0， D.只有，， 是负分数
2.［2024南通中考］如果零上记作，那么零下 记作( )
A
A. B. C. D.
3.在有理数，0，，，， 中，非负数的个数为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
4.［教材习题 变式］把下列各数填在相应的集合中：
15，，，，，，，0， .
正有理数集合：{____________________________…}；
负有理数集合：{________________…}；
整数集合：{____________…}；
非负整数集合：{_______…}.
，，，，
，，
，，0
，0
考点2 数轴、相反数、绝对值
5.如图，数轴上点 表示的有理数可能是( )
C
A.1.6 B. C. D.
6.［2025合肥期中］下列各组数中，互为相反数的是( )
B
A.与5 B.与 C.与 D.与
7.［2025邯郸期中］下列判断不正确的是( )
D
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
8.如图，表示数的点在线段上，则表示数 的相反数的点所在的线
段是( )
D
A. B. C. D.
9.若，则 ____.
10.［2025株洲期中］如图，一条数轴上有三个不同的点，， ，其
中点，表示的数分别是，8，现以点 为折点，将数轴向右对折，
若对折后的点到点的距离为4，则点 表示的数为_______.
或0
11.（12分）已知6个有理数：，0，，，， ，按要求
完成下列各小题.
（1）互为相反数的一组数是__________；
与
（2）将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上；
解：6个有理数在数轴上的表示如图所示.
（3）在这6个有理数中，负数有___个.
2
考点3 比较有理数的大小
12.［2024广州中考］四个数， ，0，10中，最小的数是( )
A
A. B. C.0 D.10
13. ［2025大连期末］在标准大气压下，固态氧、固态
汞、海波、锡四种固体的熔点如下表：
固体 固态氧 固态汞 海波 锡
48 232
其中熔点最低的固体为( )
A
A.固态氧 B.固态汞 C.海波 D.锡
14.若有理数， 在数轴上的对应位置如图所示，则下列正确的是
( )
A
A. B. C. D.
15.（8分）［教材习题 变式］比较下列各组数的大小.
（1）和 ；
解：因为 ，
所以 .
（2）和 .
解：因为， ，
所以 .
16.（8分）如图，数轴上点表示的数是，点 表示的数是4.
（1）在数轴上标出原点 .
解：如图.
（2）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“ ”连接起来.
，，， .
解： ，
.
各数在数轴上表示如图.
.
二、思想方法演练
思想1 分类讨论思想
17.已知点是数轴上的一点，它到原点的距离为3，把点 向左平移7个
单位长度后，再向右平移5个单位长度得到点，则点 到原点的距离为
( )
D
A.3或7 B.3或5 C.1或3 D.1或5
18.（8分）如图，，为数轴上的两个点，点表示的数为，点
表示的数为90.
（1）请写出到，两点距离相等的点 对应的数.
解：点 对应的数为40.
（2）一只电子蚂蚁从点 出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，
同时另一只电子蚂蚁从点 出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，
经过多长时间这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？
解：相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，
（秒）；相遇后，两只电子蚂蚁在数
轴上相距35个单位长度时， （秒），
即经过13秒或27秒，这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度.
思想2 数形结合思想
19.结合如图所示的数轴，阅读下面的材料，并探究相关的问题：
【阅读材料】 可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距
离；可以看作，可理解为5与 两数在数轴上所对应
的两点之间的距离.
【探究问题】
（1）数轴上表示和的两点和 之间的距离表示为________；如果
，两点间的距离为3，那么 为_______；
（2）当为____时，与 的值相等；
（3）若数轴上表示的点位于与3之间，则 的值为___.
2或
5
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