综合实践：进位制的认识与探究 课件（共39张PPT）
文档属性
| 名称 | 综合实践：进位制的认识与探究 课件（共39张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-14 08:57:57 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
综合实践：进位制的认识与探究
第二章 有理数的运算
【2024新教材】人教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
进位制的认识与探究综合实践方案
一、活动背景
在日常生活和数学学习中，我们经常接触到不同的计数方式，从最常用的十进制，到计算机领域广泛应用的二进制、十六进制，进位制无处不在。开展 “进位制的认识与探究” 综合实践活动，旨在引导学生深入理解进位制的原理、特点及应用，提升学生的数学思维能力和实践探究能力，感受数学与生活、科技的紧密联系。
二、活动目标
知识与技能目标：学生能够理解进位制的基本概念，掌握十进制、二进制、八进制、十六进制等常见进位制的计数规则和相互转换方法；学会运用进位制知识解决实际问题。
过程与方法目标：通过观察、分析、操作、讨论等活动，培养学生自主探究、合作交流的能力；提高学生运用数学知识解决实际问题的能力和逻辑思维能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的好奇心和求知欲，增强学生对数学学习的兴趣和信心；让学生体会数学在生活和科技中的重要应用价值，培养学生用数学眼光观察世界的意识。
三、活动准备
教师准备：制作关于进位制的多媒体课件，包含丰富的图片、动画和实例；准备进位制转换的相关教具，如计数卡片、计数器等；设计探究活动任务单和评价表；收集与进位制相关的拓展资料，如进位制的历史发展、在不同领域的应用案例等。
学生准备：复习有理数运算等相关数学知识；准备笔记本、笔等学习用品；以小组为单位（4 - 5 人一组），确定小组组长和分工。
四、活动过程
（一）情境导入（15 分钟）
展示生活中与进位制相关的现象，如时钟的六十进制（60 秒为 1 分钟，60 分钟为 1 小时）、人民币的十进制（10 角为 1 元）、计算机存储容量的二进制（1024KB = 1MB，1024MB = 1GB）等图片和视频，引导学生观察并思考：“这些计数方式有什么特点？为什么会采用不同的计数规则？”
提出问题：“我们平时常用的十进制是如何计数的？除了十进制，还有哪些其他的进位制？它们又有怎样的奥秘呢？” 引发学生的好奇心和探究欲望，从而导入本次综合实践活动主题 —— 进位制的认识与探究。
（二）知识讲解（25 分钟）
进位制的基本概念：通过课件展示，讲解进位制的定义，即进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。介绍基数的概念，基数是进位制中数码的个数，例如十进制的基数是 10，二进制的基数是 2 。
常见进位制介绍：
十进制：详细讲解十进制的计数规则，以数字 325 为例，说明每个数位上的数字所代表的数值，\(325 = 3 10^2 + 2 10^1 + 5 10^0\) ，让学生回顾并巩固十进制的运算方法。
二进制：通过动画演示二进制的计数过程，从 0 开始，依次为 0、1，当达到 2 时就向高位进 1，得到 10，继续计数为 11，再进 1 得到 100 。介绍二进制在计算机中的重要应用，如计算机存储数据、处理信息都是以二进制的形式进行的。
八进制和十六进制：简要介绍八进制（基数为 8，数码为 0 - 7）和十六进制（基数为 16，数码为 0 - 9、A - F，其中 A - F 分别代表 10 - 15）的计数规则，对比它们与十进制、二进制的异同。
（三）探究活动（60 分钟）
小组探究一：进位制的计数规律（20 分钟）
给每个小组发放不同进位制的计数卡片（如二进制、八进制、十六进制），让学生按照各自的计数规则进行计数练习，从最小的数开始，逐步递增，记录计数过程。
小组内讨论并总结不同进位制的计数规律，思考进位的条件和方式，以及与十进制计数规律的联系和区别。
每个小组选派代表进行汇报，分享小组的探究成果，教师进行点评和补充，引导学生深入理解进位制的计数原理。
小组探究二：进位制的转换方法（40 分钟）
教师讲解十进制与二进制之间的转换方法，包括十进制转二进制的 “除 2 取余法” 和二进制转十进制的 “按权展开相加法”，并通过实例进行演示。
布置任务：让各小组分别探究十进制与八进制、十进制与十六进制之间的转换方法，以及二进制、八进制、十六进制之间的相互转换方法。提供一些数字作为转换练习的素材，如将十进制数 25 转换为二进制、八进制、十六进制，将二进制数 1010 转换为十进制、八进制、十六进制等。
小组内成员分工合作，尝试运用已学知识和方法进行探究和计算，记录转换过程和结果。教师巡视各小组，观察学生的探究情况，适时给予指导和启发。
小组完成探究任务后，进行组间交流，分享各自的转换方法和技巧，互相学习和借鉴。教师对学生的探究成果进行总结和归纳，强调转换过程中的关键步骤和易错点。
（四）拓展延伸（20 分钟）
进位制在生活和科技中的应用案例分享：教师通过课件展示进位制在不同领域的应用案例，如古代的十六进制秤（16 两为 1 斤）、计算机编程中的颜色表示（常用十六进制表示 RGB 颜色值）、密码学中的数据加密（常涉及多种进位制的运算）等，讲解这些应用的原理和意义。
小组讨论与分享：组织学生以小组为单位，讨论进位制在其他领域可能的应用，并推选代表进行分享。鼓励学生发挥想象力和创造力，提出独特的见解和想法。
五、活动总结（15 分钟）
学生总结：邀请学生代表发言，分享本次综合实践活动的收获和体会，包括对进位制知识的理解、探究过程中的发现和问题解决方法，以及对数学学习的新认识。
教师总结：教师对本次活动进行全面总结，回顾进位制的核心知识和探究过程中的重点内容，强调进位制在数学和实际生活中的重要地位和作用。对学生在活动中的表现进行评价，肯定学生的积极参与和创新思维，指出存在的问题和不足之处，提出改进建议。
六、活动评价
过程性评价：观察学生在小组讨论、探究活动中的参与度、合作能力、问题解决能力等，记录学生的表现，及时给予反馈和鼓励。评价学生在活动过程中的学习态度、思维活跃度和创新意识。
成果性评价：对学生的探究成果进行评价，包括进位制计数规律的总结、转换方法的掌握和应用情况，以及在拓展延伸环节的表现。通过学生提交的活动报告、作业等，检查学生对进位制知识的理解和运用能力。
自我评价与互评：引导学生进行自我评价和小组互评，让学生反思自己在活动中的优点和不足，学习他人的长处，促进共同进步。
七、作业布置
整理本次活动中学习到的进位制知识，制作一份手抄报，要求内容丰富、形式美观，展示进位制的概念、计数规则、转换方法及应用案例。
思考并探究：如果采用三进制或五进制，它们的计数规则和运算方法会是怎样的？与我们学习的常见进位制有哪些不同？尝试解决一些简单的三进制或五进制的运算问题，并记录探究过程和结果。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.培养综合运用所学知识和方法解决实际问题的能力.
2.借助生活实例，感悟数学与现实世界的联系，培养创新意识、实践能力等综合品质.
学习目标
你还记得自己最早学习加法时的情景吗？是不是把双手一伸，掰着手指计算的？手指是世界上最古老的“计算器”，这种掰手指算数的方式，与目前使用最广泛的“十进制记数法”密切相关.
计算机使用的“二进制记数法”，
同样具有划时代的意义.
课堂导入
知识点 进位制的认识与探究
新知探究
你知道什么是“进制”吗？
进制即进位制，是人们规定的进位方法. 一般逢几进一便叫做几进制.
十二进制
六十进制
七进制
一分钟有多少秒？
一周有几天？
一年有几个月？
【发现问题】
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.中国的甲骨文、算筹、八卦，古巴比伦的楔形数字，古希腊的字母计数等都蕴含着进位制，它们是数学史上的伟大创造.
知识点 进位制的认识与探究
新知探究
知识点 进位制的认识与探究
新知探究
【提出问题】
不同进位制的数之间能否互相转换？如何转换？
让我们带着这些问题一起来
探究进位制！
知识点 进位制的认识与探究
新知探究
【算法理解】
无论哪种进位制，都有一种固定的算法.
十进制
逢十进一
2 4 7 8
=2×103+4×102+7×101+8×100.
2表示2个千
4表示4个百
7表示7个十
8表示8个一
可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.
规定当a≠0时， a0=1.
知识点 进位制的认识与探究
新知探究
【算法理解】
二进制
逢二进一
各数位上的数字为0或1.
(1011)2
(1) 请把二进制数 1011 表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.
=1×23+0×22+1×21+1×20.
说明：为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数.
例如，(1011)2就是二进制数1011的简单写法. 十进制数一般不标注基数.
知识点 进位制的认识与探究
新知探究
【初步应用】
国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME-14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办.大会标识(如图)中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深.大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3 745.
知识点 进位制的认识与探究
新知探究
八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字.
八进制
逢八进一
表示ICME-14的举办年份.
(3745)8= 3×83+7×82+4×81+5×80
【初步应用】
=2021.
知识点 进位制的认识与探究
新知探究
思考：
八进制数3 756换算成十进制数是__________.
【初步应用】
(3 756)8
= 3×83+7×82+5×81+6×80
=2 030.
2 030
知识点 进位制的认识与探究
新知探究
【实际应用】
(1)二进制在信息技术中具有非常重要的地位，在计算机中，所有的信息如文字、图片等，都被表示为二进制形式.二维码工作的原理就是二进制算法，计算机程序根据字符类型所对应的编码规则先将信息转换成二进制数0和1，再进行一系列优化算法，得到最终的二进制编码，在这串编码中，一个0对应一个白色小方块，一个 1对应一个黑色小方块，程序按照填涂规则，将这些小方块填进大方块里，得到一个可被识别的二维码图案.
知识点 进位制的认识与探究
新知探究
【实际应用】
请你根据以下材料，完成十进制数与二进制数的转换：
将一个十进制的数转换为二进制的数，只需把该数写成若干个2的和，依次写出1或0即可.
例如：十进制数19可以按下述方法转换为二进制数：19=16+2+1
=1×24+0×23+0× 22+1×21+1×20 =10011.
二进制数110110可以转换成十进制数：
110110=1×25+1× 24+0×23+1×22+1×21+0×20=54.
知识点 进位制的认识与探究
新知探究
【实际应用】
①将十进制数104化成二进制数；
②将二进制数1011101化成十进制数.
解：①104=64+32+8
=1×26+1×25+0×24+1×23+0×22+0×21+0×20，
则十进制数104化成二进制数为1101000.
②1011101=1×26+0×25+1×24+1×23+1×22+0×21+1×20=93，
则二进制数1011101化成十进制数为93.
知识点 进位制的认识与探究
新知探究
【实际应用】
(2)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.
①如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳
子上打结，采取满七进一的方式，用来记录
孩子自出生后的天数.
知识点 进位制的认识与探究
新知探究
例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况(4×71+2×70=30)，
那么由图2可知，孩子自出生后的天数是_________.
【实际应用】
提示：1×73+3×72+2×71+ 6×70=510（天），
故孩子自出生后的天数是510天.
510
知识点 进位制的认识与探究
新知探究
②数数同学周末去劳动实践基地采摘果子，准备采用“结绳计数”的方法来记录采摘果子的数量.已知他采摘的果子有888颗，采取的是满五进一的方式，请你帮数数计算他需要挂几根绳子，并画出此时绳子的打结图.
【实际应用】
知识点 进位制的认识与探究
新知探究
解：由题意可知，数数结绳计数中的每一个数，就相当于五进制里每一位里的数，而五进制中每相邻的两个计数单位之间的进率都为五，如五进制数12345中的1表示1个54，2表示2个53，3表示3个52，4表示4个51 ，5表示5个50，故可得式子：
12345=1×54+2×53+3×52+ 4×51+5×50.
因为50=1，51=5，52=25，53=125，54=625， 55=3 125,
625<888<3 125,
所以数数只需要挂5根绳子.
知识点 进位制的认识与探究
新知探究
因为888÷625=1263，
263÷125=2 13,
13÷25=0 13,
13÷5=2 3,
3÷1=3,
所以888=1×625+2×125+0×25+2×5+3
=1×54+2×53+0×52+2×51+3×50
=(12023)5.
此时绳子的打结图如图所示.
（第1题）
1. 我国古代《易经》一书中记载，远古
时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计
数”.如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记
录捕到的鱼的数量.由图可知，他一共捕到的鱼有( )
B
A.34条 B.194条 C.1 234条 D.6 154条
（第2题）
2.不同于十进制，古巴比伦使用的是60进制.这与他们
独特的计数方式有关，如图，右手4根手指的12个指
关节表示，另一只手用五根手指表示 倍.
如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手大拇指掐住
第八指关节时，表示的十进制数是 .若当
D
A.7 B.25 C.21 D.29
其左手伸出两根手指，右手大拇指掐住第五指关节时，表示的十进制数
是( )
3.在日常生活中，我们用十进制来表示数，如
.计算机中采用的是二进
制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的
，可以表示十进制中的10，那
么二进制中的110101表示十进制中的____.
53
4.上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称
），会徽的主题图案（如图）有着丰富的
数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明.图案中右
2 021
下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数3745.我们常用的
数是十进制数，如 ，在电
子计算机中用的是二进制，如二进制中
等于十进制的数6，八进制数3745换算成十进制数是_______.
5. 某 将用户的使用等级用四个标识图展示，从低到
高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，
一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太
阳等于一个皇冠，某用户的使用等级标识图为两个皇冠，则其使用等级
为( )
B
A. B. C. D.
6.计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1.将一个十进制数转化
为二进制数，只需把该数写成若干个（注： ）的数的和，依次
写出1或0即可.如
B
A.十位数 B.十一位数 C.十二位数 D.十三位数
，为二进制下的五位数，则十进制1 025是二进制下的( )
7.计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字 和
字母 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示 ，用十进制表示也就是
，则用十六进制表示 ____.
8.（12分） 综合与实践：
我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0，1，2，3，
4，5，6，7，8，9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，而现代的计
算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，
表示具体数时“逢二进一”.二进制数和十进制数可以互相转化，二进制
数的运算也和十进制数的运算类似.
【任务一】
问：如何把十进制数103转化成二进制整数？
答：
，
所以103用二进制数表示是1100111，记为 .
【任务二】
问：如何把十进制数0.125转化为二进制小数？
答： ，所以0.125可以表示成二进制小数
.
，这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制
下用分子除以分母得到 的二进制小数：
由于，，所以，而
，可以类比十进制数作除法，只是商和余数都只能是0或1：
，所以 .
【任务三】
问：二进制是否也有循环小数？
答：有，如 ，由
，可知 .
综合以上探究，我们可得下表：
十进制转 二进制 整数 小数 分数
方法 除以2取余，倒 序排列，高位 补零 乘2取整，顺序排列 将分子、分母分
别转换成二进制
数，用除法
十进制转 二进制 整数 小数 分数
举例 ______________________________
续表
【反思评价】
（1）将十进制数35化成二进制数为___________，二进制小数
化为十进制分数是__.
（2）将十进制分数化成二进制小数：（________）, （
_________） .
0.00101
（3）在十进制中，循环小数都可以化为分数，例如：将 化为分数形式.
设 ,
则 .
,得,即，于是得到 .
同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数.
请将二进制循环小数 化成十进制分数，保留计算过程.
解：设，则 .
所以 ，
所以，所以 .
所以 .
课堂小结
提出问题
发现问题
实际生活
解决问题
谢谢观看！
综合实践：进位制的认识与探究
第二章 有理数的运算
【2024新教材】人教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
进位制的认识与探究综合实践方案
一、活动背景
在日常生活和数学学习中，我们经常接触到不同的计数方式，从最常用的十进制，到计算机领域广泛应用的二进制、十六进制，进位制无处不在。开展 “进位制的认识与探究” 综合实践活动，旨在引导学生深入理解进位制的原理、特点及应用，提升学生的数学思维能力和实践探究能力，感受数学与生活、科技的紧密联系。
二、活动目标
知识与技能目标：学生能够理解进位制的基本概念，掌握十进制、二进制、八进制、十六进制等常见进位制的计数规则和相互转换方法；学会运用进位制知识解决实际问题。
过程与方法目标：通过观察、分析、操作、讨论等活动，培养学生自主探究、合作交流的能力；提高学生运用数学知识解决实际问题的能力和逻辑思维能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的好奇心和求知欲，增强学生对数学学习的兴趣和信心；让学生体会数学在生活和科技中的重要应用价值，培养学生用数学眼光观察世界的意识。
三、活动准备
教师准备：制作关于进位制的多媒体课件，包含丰富的图片、动画和实例；准备进位制转换的相关教具，如计数卡片、计数器等；设计探究活动任务单和评价表；收集与进位制相关的拓展资料，如进位制的历史发展、在不同领域的应用案例等。
学生准备：复习有理数运算等相关数学知识；准备笔记本、笔等学习用品；以小组为单位（4 - 5 人一组），确定小组组长和分工。
四、活动过程
（一）情境导入（15 分钟）
展示生活中与进位制相关的现象，如时钟的六十进制（60 秒为 1 分钟，60 分钟为 1 小时）、人民币的十进制（10 角为 1 元）、计算机存储容量的二进制（1024KB = 1MB，1024MB = 1GB）等图片和视频，引导学生观察并思考：“这些计数方式有什么特点？为什么会采用不同的计数规则？”
提出问题：“我们平时常用的十进制是如何计数的？除了十进制，还有哪些其他的进位制？它们又有怎样的奥秘呢？” 引发学生的好奇心和探究欲望，从而导入本次综合实践活动主题 —— 进位制的认识与探究。
（二）知识讲解（25 分钟）
进位制的基本概念：通过课件展示，讲解进位制的定义，即进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。介绍基数的概念，基数是进位制中数码的个数，例如十进制的基数是 10，二进制的基数是 2 。
常见进位制介绍：
十进制：详细讲解十进制的计数规则，以数字 325 为例，说明每个数位上的数字所代表的数值，\(325 = 3 10^2 + 2 10^1 + 5 10^0\) ，让学生回顾并巩固十进制的运算方法。
二进制：通过动画演示二进制的计数过程，从 0 开始，依次为 0、1，当达到 2 时就向高位进 1，得到 10，继续计数为 11，再进 1 得到 100 。介绍二进制在计算机中的重要应用，如计算机存储数据、处理信息都是以二进制的形式进行的。
八进制和十六进制：简要介绍八进制（基数为 8，数码为 0 - 7）和十六进制（基数为 16，数码为 0 - 9、A - F，其中 A - F 分别代表 10 - 15）的计数规则，对比它们与十进制、二进制的异同。
（三）探究活动（60 分钟）
小组探究一：进位制的计数规律（20 分钟）
给每个小组发放不同进位制的计数卡片（如二进制、八进制、十六进制），让学生按照各自的计数规则进行计数练习，从最小的数开始，逐步递增，记录计数过程。
小组内讨论并总结不同进位制的计数规律，思考进位的条件和方式，以及与十进制计数规律的联系和区别。
每个小组选派代表进行汇报，分享小组的探究成果，教师进行点评和补充，引导学生深入理解进位制的计数原理。
小组探究二：进位制的转换方法（40 分钟）
教师讲解十进制与二进制之间的转换方法，包括十进制转二进制的 “除 2 取余法” 和二进制转十进制的 “按权展开相加法”，并通过实例进行演示。
布置任务：让各小组分别探究十进制与八进制、十进制与十六进制之间的转换方法，以及二进制、八进制、十六进制之间的相互转换方法。提供一些数字作为转换练习的素材，如将十进制数 25 转换为二进制、八进制、十六进制，将二进制数 1010 转换为十进制、八进制、十六进制等。
小组内成员分工合作，尝试运用已学知识和方法进行探究和计算，记录转换过程和结果。教师巡视各小组，观察学生的探究情况，适时给予指导和启发。
小组完成探究任务后，进行组间交流，分享各自的转换方法和技巧，互相学习和借鉴。教师对学生的探究成果进行总结和归纳，强调转换过程中的关键步骤和易错点。
（四）拓展延伸（20 分钟）
进位制在生活和科技中的应用案例分享：教师通过课件展示进位制在不同领域的应用案例，如古代的十六进制秤（16 两为 1 斤）、计算机编程中的颜色表示（常用十六进制表示 RGB 颜色值）、密码学中的数据加密（常涉及多种进位制的运算）等，讲解这些应用的原理和意义。
小组讨论与分享：组织学生以小组为单位，讨论进位制在其他领域可能的应用，并推选代表进行分享。鼓励学生发挥想象力和创造力，提出独特的见解和想法。
五、活动总结（15 分钟）
学生总结：邀请学生代表发言，分享本次综合实践活动的收获和体会，包括对进位制知识的理解、探究过程中的发现和问题解决方法，以及对数学学习的新认识。
教师总结：教师对本次活动进行全面总结，回顾进位制的核心知识和探究过程中的重点内容，强调进位制在数学和实际生活中的重要地位和作用。对学生在活动中的表现进行评价，肯定学生的积极参与和创新思维，指出存在的问题和不足之处，提出改进建议。
六、活动评价
过程性评价：观察学生在小组讨论、探究活动中的参与度、合作能力、问题解决能力等，记录学生的表现，及时给予反馈和鼓励。评价学生在活动过程中的学习态度、思维活跃度和创新意识。
成果性评价：对学生的探究成果进行评价，包括进位制计数规律的总结、转换方法的掌握和应用情况，以及在拓展延伸环节的表现。通过学生提交的活动报告、作业等，检查学生对进位制知识的理解和运用能力。
自我评价与互评：引导学生进行自我评价和小组互评，让学生反思自己在活动中的优点和不足，学习他人的长处，促进共同进步。
七、作业布置
整理本次活动中学习到的进位制知识，制作一份手抄报，要求内容丰富、形式美观，展示进位制的概念、计数规则、转换方法及应用案例。
思考并探究：如果采用三进制或五进制，它们的计数规则和运算方法会是怎样的？与我们学习的常见进位制有哪些不同？尝试解决一些简单的三进制或五进制的运算问题，并记录探究过程和结果。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.培养综合运用所学知识和方法解决实际问题的能力.
2.借助生活实例，感悟数学与现实世界的联系，培养创新意识、实践能力等综合品质.
学习目标
你还记得自己最早学习加法时的情景吗？是不是把双手一伸，掰着手指计算的？手指是世界上最古老的“计算器”，这种掰手指算数的方式，与目前使用最广泛的“十进制记数法”密切相关.
计算机使用的“二进制记数法”，
同样具有划时代的意义.
课堂导入
知识点 进位制的认识与探究
新知探究
你知道什么是“进制”吗？
进制即进位制，是人们规定的进位方法. 一般逢几进一便叫做几进制.
十二进制
六十进制
七进制
一分钟有多少秒？
一周有几天？
一年有几个月？
【发现问题】
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.中国的甲骨文、算筹、八卦，古巴比伦的楔形数字，古希腊的字母计数等都蕴含着进位制，它们是数学史上的伟大创造.
知识点 进位制的认识与探究
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【提出问题】
不同进位制的数之间能否互相转换？如何转换？
让我们带着这些问题一起来
探究进位制！
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【算法理解】
无论哪种进位制，都有一种固定的算法.
十进制
逢十进一
2 4 7 8
=2×103+4×102+7×101+8×100.
2表示2个千
4表示4个百
7表示7个十
8表示8个一
可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.
规定当a≠0时， a0=1.
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【算法理解】
二进制
逢二进一
各数位上的数字为0或1.
(1011)2
(1) 请把二进制数 1011 表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.
=1×23+0×22+1×21+1×20.
说明：为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数.
例如，(1011)2就是二进制数1011的简单写法. 十进制数一般不标注基数.
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【初步应用】
国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME-14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办.大会标识(如图)中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深.大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3 745.
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八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字.
八进制
逢八进一
表示ICME-14的举办年份.
(3745)8= 3×83+7×82+4×81+5×80
【初步应用】
=2021.
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思考：
八进制数3 756换算成十进制数是__________.
【初步应用】
(3 756)8
= 3×83+7×82+5×81+6×80
=2 030.
2 030
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【实际应用】
(1)二进制在信息技术中具有非常重要的地位，在计算机中，所有的信息如文字、图片等，都被表示为二进制形式.二维码工作的原理就是二进制算法，计算机程序根据字符类型所对应的编码规则先将信息转换成二进制数0和1，再进行一系列优化算法，得到最终的二进制编码，在这串编码中，一个0对应一个白色小方块，一个 1对应一个黑色小方块，程序按照填涂规则，将这些小方块填进大方块里，得到一个可被识别的二维码图案.
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【实际应用】
请你根据以下材料，完成十进制数与二进制数的转换：
将一个十进制的数转换为二进制的数，只需把该数写成若干个2的和，依次写出1或0即可.
例如：十进制数19可以按下述方法转换为二进制数：19=16+2+1
=1×24+0×23+0× 22+1×21+1×20 =10011.
二进制数110110可以转换成十进制数：
110110=1×25+1× 24+0×23+1×22+1×21+0×20=54.
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【实际应用】
①将十进制数104化成二进制数；
②将二进制数1011101化成十进制数.
解：①104=64+32+8
=1×26+1×25+0×24+1×23+0×22+0×21+0×20，
则十进制数104化成二进制数为1101000.
②1011101=1×26+0×25+1×24+1×23+1×22+0×21+1×20=93，
则二进制数1011101化成十进制数为93.
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【实际应用】
(2)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.
①如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳
子上打结，采取满七进一的方式，用来记录
孩子自出生后的天数.
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例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况(4×71+2×70=30)，
那么由图2可知，孩子自出生后的天数是_________.
【实际应用】
提示：1×73+3×72+2×71+ 6×70=510（天），
故孩子自出生后的天数是510天.
510
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②数数同学周末去劳动实践基地采摘果子，准备采用“结绳计数”的方法来记录采摘果子的数量.已知他采摘的果子有888颗，采取的是满五进一的方式，请你帮数数计算他需要挂几根绳子，并画出此时绳子的打结图.
【实际应用】
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解：由题意可知，数数结绳计数中的每一个数，就相当于五进制里每一位里的数，而五进制中每相邻的两个计数单位之间的进率都为五，如五进制数12345中的1表示1个54，2表示2个53，3表示3个52，4表示4个51 ，5表示5个50，故可得式子：
12345=1×54+2×53+3×52+ 4×51+5×50.
因为50=1，51=5，52=25，53=125，54=625， 55=3 125,
625<888<3 125,
所以数数只需要挂5根绳子.
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因为888÷625=1263，
263÷125=2 13,
13÷25=0 13,
13÷5=2 3,
3÷1=3,
所以888=1×625+2×125+0×25+2×5+3
=1×54+2×53+0×52+2×51+3×50
=(12023)5.
此时绳子的打结图如图所示.
（第1题）
1. 我国古代《易经》一书中记载，远古
时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计
数”.如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记
录捕到的鱼的数量.由图可知，他一共捕到的鱼有( )
B
A.34条 B.194条 C.1 234条 D.6 154条
（第2题）
2.不同于十进制，古巴比伦使用的是60进制.这与他们
独特的计数方式有关，如图，右手4根手指的12个指
关节表示，另一只手用五根手指表示 倍.
如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手大拇指掐住
第八指关节时，表示的十进制数是 .若当
D
A.7 B.25 C.21 D.29
其左手伸出两根手指，右手大拇指掐住第五指关节时，表示的十进制数
是( )
3.在日常生活中，我们用十进制来表示数，如
.计算机中采用的是二进
制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的
，可以表示十进制中的10，那
么二进制中的110101表示十进制中的____.
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4.上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称
），会徽的主题图案（如图）有着丰富的
数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明.图案中右
2 021
下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数3745.我们常用的
数是十进制数，如 ，在电
子计算机中用的是二进制，如二进制中
等于十进制的数6，八进制数3745换算成十进制数是_______.
5. 某 将用户的使用等级用四个标识图展示，从低到
高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，
一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太
阳等于一个皇冠，某用户的使用等级标识图为两个皇冠，则其使用等级
为( )
B
A. B. C. D.
6.计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1.将一个十进制数转化
为二进制数，只需把该数写成若干个（注： ）的数的和，依次
写出1或0即可.如
B
A.十位数 B.十一位数 C.十二位数 D.十三位数
，为二进制下的五位数，则十进制1 025是二进制下的( )
7.计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字 和
字母 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示 ，用十进制表示也就是
，则用十六进制表示 ____.
8.（12分） 综合与实践：
我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0，1，2，3，
4，5，6，7，8，9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，而现代的计
算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，
表示具体数时“逢二进一”.二进制数和十进制数可以互相转化，二进制
数的运算也和十进制数的运算类似.
【任务一】
问：如何把十进制数103转化成二进制整数？
答：
，
所以103用二进制数表示是1100111，记为 .
【任务二】
问：如何把十进制数0.125转化为二进制小数？
答： ，所以0.125可以表示成二进制小数
.
，这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制
下用分子除以分母得到 的二进制小数：
由于，，所以，而
，可以类比十进制数作除法，只是商和余数都只能是0或1：
，所以 .
【任务三】
问：二进制是否也有循环小数？
答：有，如 ，由
，可知 .
综合以上探究，我们可得下表：
十进制转 二进制 整数 小数 分数
方法 除以2取余，倒 序排列，高位 补零 乘2取整，顺序排列 将分子、分母分
别转换成二进制
数，用除法
十进制转 二进制 整数 小数 分数
举例 ______________________________
续表
【反思评价】
（1）将十进制数35化成二进制数为___________，二进制小数
化为十进制分数是__.
（2）将十进制分数化成二进制小数：（________）, （
_________） .
0.00101
（3）在十进制中，循环小数都可以化为分数，例如：将 化为分数形式.
设 ,
则 .
,得,即，于是得到 .
同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数.
请将二进制循环小数 化成十进制分数，保留计算过程.
解：设，则 .
所以 ，
所以，所以 .
所以 .
课堂小结
提出问题
发现问题
实际生活
解决问题
谢谢观看！
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