3.2.1《单调性与最大（小）》 课件（共29张PPT）-2025-2026学年人教A版（2019）高中数学必修一

3.2.1 《单调性与最大（小）》
第三章 函数的概念与性质
学习目标
1.通过具体实例，经历函数单调性概念的抽象过程，能准确说出单调递增，单调递减以及增函数、减函数的定义,发展直观想象、数学抽象素养.
2.能用单调性的定义证明函数单调性，并总结归纳出基本步骤,发展逻辑推理、数学运算素养.
情境导入
心理老师：“单调是多余、乏味、烦躁的意思。”
语文老师：“单调是简单的意思。”
音乐老师：“单调是指一个调。”
美术老师：“单调是指色彩单一。”
“单调”在数学中又是什么意思呢？
新知探究
问题1 我们知道，先画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以得到函数的一些性质．观察下图中的各个函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质吗？
图象从左到右保持递增
图象从左到右有增有减
图象关于y轴对称
单调性
奇偶性
定性:图形语言
定量:符号语言
图象关于原点成中心对称
新知探究
下面我们将以f(x)=x2为例，进一步来探究函数的单调性
问题2 请说出f(x)随x是如何发生变化的？
思考1 请同学们思考如何运用数学语言描述“在区间(－∞,0]上,????(????)随着????的增大而减小”？
?
新知探究
新知探究
新知探究
问题3 函数f(x)=|x|和函数f(x)=-x2各有怎样的单调性？
新知探究
作出两个函数的图象，由图象可知：
?
?
?
?
?
?
?
函数f(x)=|x|在区间(-∞,0]上是单调 的,在[0,+∞)上是单调 的 .
递减
递增
函数f(x)=-x2在区间(-∞,0]上是单调______的,在[0,+∞)上是单调 的 .
递减
递增
f(x)在[0,+∞)上单调递增
y轴右边:[0,+∞)
定义域为R
?x1，x2∈[0,+∞)
f(x)=x2
一般函数f(x)
类比
定义域为D
区间I?D
?x1，x2∈I
f(x)在I上单调递增
抽象概括：由特殊函数f(x)=x2到一般函数的单调性
新知探究
问题4 由这个结论你能尝试写出单调递增的定义吗?
一般的,设函数的定义域为D,区间I?D
如果?x1，x2∈I,当x1新知探究
思考2 函数y=f(x)在定义域的区间I上存在x1，x2满足x1x1
x2
f(x2)
f(x1)
注意： ?x1，x2∈I，当x1概念辨析
问题5 能否类比单调递增的定义来得出单调递减的定义？
一般的,设函数的定义域为D,区间I?D
如果?x1，x2∈I,当x1 如果?x1，x2∈I,当x1f(x2),那么就称函数在区间 I上单调递减.
单调性的定义
?
单调递增
单调递减
定义
图示
?x1，x2∈I, 当x1f(x2),
则称函数f(x)在区间I上单调递减,
区间I为f(x)的单调递减区间.
注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.
单调性是局部性质
②若f(x)在区间I上单调递增(减)，则称f(x)在区间I具有严格的单调性.
常数函数不具有严格的单调性.
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I?D，
?x1，x2∈I, 当x1则称函数f(x)在区间I上单调递增,
区间I为f(x)的单调递增区间.
概念生成
?
单调递增
单调递减
定义
图示
?x1，x2∈I, 当x1f(x2),
则称函数f(x)在区间D上单调递减,
区间D为f(x)的单调递减区间.
②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间I具有严格的单调性.
常数函数不具有严格的单调性.
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I?D，
?x1，x2∈I, 当x1则称函数f(x)在区间D上单调递增,
区间D为f(x)的单调递增区间.
注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.
????????2?????????1????2?????1>0
?
????????2?????????1????2?????1<0
?
单调性的定义
单调性是局部性质
概念生成
追问1 设A是区间I上某些自变量的值组成的集合，而且?x1, x2∈A，当x1< x2时，都有f(x1)f(x)=|x|
概念辨析
追问2 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？
新知探究
追问3 函数????=????2是增函数吗？是减函数吗？
?
x
y
0
既不是增函数，也不是减函数
概念辨析
注意：增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质，而函数的单调性是对定义域下的某个区间，是函数的局部性质。一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在整个定义域上不一定具有单调性。
追问4 定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则函数的单调递减区间是？函数的单调递增区间是？
函数的单调递减区间是：
[-2,1]和[3,5]
注意:一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接，而应该用“和”或“,”连接
函数的单调递增区间是：
[-5,-2]和[1,3]
概念辨析
新知探究
小试牛刀 反比例函数f(x)=1????是减函数吗？我们该怎么描述它的单调性？
?
先画图
·
·
分段描述！
_____________
？
和
例1 根据定义，研究函数f (x)=kx +b(k≠0)的单调性.
定号
作差，变形
结论
取值
典例解析
在初中，我们利用函数图象得到了上述结论， 这里用严格的推理运算得到了函数 f（x）＝k x＋b的单调性．
用定义证明函数的单调性的步骤:
(1)取值：设x1，x2是某个区间上任意两个值，且x1＜ x2;
(2)作差、变形：作差f(x1)-f(x2)，向有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积或商的形式 ;
(3)定号：确定 f(x1)-f(x2)的符号；
(4)结论：确定函数的增减性.
方法小结
典例解析
例2 物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之.
追问1 “体积减少时，压强增大”的数学意义是什么？
且 ，有：
证明：
?
?
由 得 ；由 得
?
?
?
?
又 ，所以 即
?
?
?
所以函数 是减函数.问题得证.
?
典例解析
例3 根据定义证明函数y=x+1???? 在区间(1,+∞)上单调递增.
?
证明：
函数的
单调性
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
用定义证明函数的单调性的步骤:
(1)取值：设x1，x2是某个区间上任意两个值，且x1＜ x2;
(2)作差、变形：作差f(x1)-f(x2)，向有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积或商的形式 ;
(3)定号：确定 f(x1)-f(x2)的符号；
(4)结论：确定函数的增减性.
单调递增
单调递减
单调区间
图象
单调性的判断
（1）单调区间必须是函数定义域的子集
（2）若函数f(x)在其定义城内的两个区间A,B上都是增函数(或减函数)。一般不能简单认为f(x)在A∪B上是增函数
（3）函数单调区间的书写若在区间端点处有定义，则写成开区间或闭区间都可
数学抽象：通过具体函数图象抽象出定义，培养数学抽象的核心素养
逻辑推理：通过具体函数单调性的证明，培养逻辑推理的核心素养
课堂小结
课后作业
课本85页的1.2.3.8题
能力提升：单调性的应用
能力提升：利用单调性解不等式
A. 13,+∞ B. ?∞,13 C. 13,1 D. ?1,13
?
例题1 已知函数 f(x)对任意 ????1,????2∈????,都有 ，且f(2-2m)>f(1+m),则实数 m 的取值范围是( )
?
例题2 已知 f(x) 是定义在 [?1,1] 上的增函数，且 f(x-2)?
“多功能”函数
自我评价
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掌握较好
还需进一步深化理解
仍有疑惑
疑惑点
函数单调性的定义
用定义法证明单调性