2026年中考数学一轮复习 函数基础知识（含解析）

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中考数学一轮复习 函数基础知识
一．选择题（共10小题）
1．（2024 兰州）如图1，在菱形中，，连接，点从出发沿方向以的速度运动至，同时点从出发沿方向以的速度运动至，设运动时间为，的面积为．与的函数图象如图2所示，则菱形的边长为　　
A． B． C． D．
2．（2024 盐都区三模）小明向各种空水壶内匀速注水，壶内水的深度（单位：与注水时间（单位：的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面图，则小明使用的水壶是　　
A． B．
C． D．
3．（2024 郸城县一模）在矩形中，为矩形对角线，，有一动点，沿方向运动，每秒运动1个单位长度，设点运动的时间为秒，线段的长为，随变化的函数图象如图所示，则线段的长为　　
A．3 B．4 C．5 D．2.5
4．（2024 齐齐哈尔一模）如图，正方形的边长是4，点，分别是，的中点，点，为正方形边上的两个动点，点从点出发，沿匀速运动，到达点时停止运动；同时，点从点出发，沿匀速运动，动点，速度的大小相同．设点运动的路程为，的面积为，下列图象中能反映与之间函数关系的是　　
A． B．
C． D．
5．（2024 江西二模）如图，在等边中，，动点从点出发，沿方向运动，过点作 于点，设的面积为，点的运动路程为，则与之间的函数关系的图象正确的是　　
A． B．
C． D．
6．（2024 广汉市模拟）如图，矩形中，，，为矩形边上的一个动点，运动路线是，设点经过的路程为，以，，为顶点的三角形面积为，则选项图象能大致反映与的函数关系的是　　
A． B．
C． D．
7．（2024 松山区一模）如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是　　
A．10 B．12 C．20 D．24
8．（2024 江汉区模拟）已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
9．（2024 鄞州区模拟）如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2所示．当点运动到的中点时，的面积为　　
A．7 B．7.5 C．8 D．8.6
10．（2024 河南）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流与使用电器的总功率的函数图象（如图，插线板电源线产生的热量与的函数图象（如图．下列结论中错误的是　　
A．当时，
B．随的增大而增大
C．每增加，的增加量相同
D．越大，插线板电源线产生的热量越多
二．填空题（共9小题）
11．（2024 湖北模拟）函数中自变量的取值范围是 　　．
12．（2024 黑龙江一模）在函数中，自变量的取值范围是　　．
13．（2024 大连模拟）在函数中，自变量的取值范围是 　　．
14．（2024 五华区校级模拟）函数中，自变量的取值范围是　 　．
15．（2024 榕城区校级三模）已知函数，则自变量的取值范围是 　　．
16．（2024 郑州校级四模）如图1，在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的值为 　　．
17．（2024 单县二模）如图，在中，，，，点为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点向点移动，到达点时停止．过点作于点．作于点，连结，线段的长度与点的运动时间（秒的函数关系如图所示，则函数图象最低点的坐标为 　　．
18．（2024 中宁县模拟）如图①，在矩形中，对角线与交于点，动点从点出发，沿匀速运动，到达点时停止，设点所走的路程为，线段的长为，若与之间的函数图象如图②所示，则矩形的周长为　 　．
19．（2024 临沭县一模）某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，，，，，，使得，在下列数值1，2，3，4，5，6中，的取值不可能为 　　．
三．解答题（共6小题）
20．（2024 房山区二模）小平在学习过程中遇到一个函数．下面是小平对其研究的过程，请补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是 　　；
（2）下表是与的几组对应值．
0 1 1.5 1.8 2.2 2.5 3 4 5 6
0.5 2 3.5 6.8 7.2 4.5 4.5 5.33 6.25
其中的值为 　　；
（3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象；
②过点作平行于轴的直线，结合图象解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是 　　．
21．（2024 桃江县一模）如图1，在△中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，求的长．
22．（2024 安康一模）某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如下：
加热时间 0 10 20 30
液体温度 8 18 28 38
（1）兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足一次函数关系，求与之间的函数表达式．
（2）当加热时该液体沸腾，求该液体的沸点．
23．（2024 大渡口区模拟）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿着折线（含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动，点，分别是射线，上的动点，的长度等于点走的路程，，设点的运动时间为，点到的距离为，的长度为．
（1）求，关于的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（2）在直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质；
（3）根据图形直接估计当时的取值范围：　　．（结果保留1位小数，误差不超过
24．（2024 北戴河区一模）一次实践活动中，某小组在装有一段笔直轨道上，利用长度为的金属滑块做往返滑动实验，如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合时停止滑动．设滑块运动时间为时，左端离点的距离为，右端离点的距离为，记．发现滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．
请解答：
（1）滑块从点到点的滑动过程中，值的变化趋势是怎样的？
（注；选答“由负到正”或“由正到负”
（2）滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；
（3）在整个往返过程中，若，求的值．
25．（2024 临沭县一模）图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段是一段直滑道，为直线的一部分，点在轴上，滑道为抛物线的一部分，在点处达到最低，其中点到轴的距离为2，轴于点，滑道为抛物线的一部分，与滑道可看作形状相同，开口方向相反的两段抛物线．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当过山车沿滑道从点运动到点的过程中，它到轴的水平距离为多少时到轴的距离达到最大？最大是多少？
（3）点为上的一点，求点到和到轴的距离之和（图中的最大值及此时点的坐标．
中考数学一轮复习 函数基础知识
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024 兰州）如图1，在菱形中，，连接，点从出发沿方向以的速度运动至，同时点从出发沿方向以的速度运动至，设运动时间为，的面积为．与的函数图象如图2所示，则菱形的边长为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】动点问题的函数图象
【专题】动点型；运算能力；推理能力
【分析】根据题意可知， ， ，结合菱形的性质得，过点作于点，则 ，那么；设菱形的边长为 ，则 ，那么点和点同时到达点和点，此时的面积达到最大值，利用最大值即可求得，即可知菱形的边长．
【解答】解：根据题意可知， ， ，
四边形为菱形，，
，
过点作于点，连接交于，如图，
则，
，
设菱形的边长为 ，
，
点和点同时到达点和点，此时的面积达到最大值，
，
解得（负值舍去），
，
故选：．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质和二次函数的性质，关键是根据图象得出的面积达到最大值时，，的位置．
2．（2024 盐都区三模）小明向各种空水壶内匀速注水，壶内水的深度（单位：与注水时间（单位：的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面图，则小明使用的水壶是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】函数的图象
【专题】推理能力；函数及其图象
【分析】根据函数图象的变化即可得出结论．
【解答】解：根据图象可知，刚开始注水的时候，水的深度变化的是先慢后快，且不是线性关系，
水壶应该是下宽上窄型，只有选项符合，
故选：．
【点评】本题考查了函数图象的实际应用，数形结合是解题的关键．
3．（2024 郸城县一模）在矩形中，为矩形对角线，，有一动点，沿方向运动，每秒运动1个单位长度，设点运动的时间为秒，线段的长为，随变化的函数图象如图所示，则线段的长为　　
A．3 B．4 C．5 D．2.5
【答案】
【考点】动点问题的函数图象
【专题】推理能力；几何直观；函数及其图象
【分析】由函数图象可知，当运动7秒时点运动到了点，此时，即，，设，则，利用勾股定理得到，解方程即可得到答案．
【解答】解：由函数图象可知，当运动7秒时点运动到了点，此时，即，
点每秒运动1个单位长度，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得或（不合题意，舍去），
，
故选：．
【点评】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，动点问题的函数图象，
4．（2024 齐齐哈尔一模）如图，正方形的边长是4，点，分别是，的中点，点，为正方形边上的两个动点，点从点出发，沿匀速运动，到达点时停止运动；同时，点从点出发，沿匀速运动，动点，速度的大小相同．设点运动的路程为，的面积为，下列图象中能反映与之间函数关系的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】动点问题的函数图象
【专题】运算能力；函数及其图象
【分析】分在线段上，以及线段上两种情况，表示出与的函数解析式，即可做出判断．
【解答】解：当在线段上运动时，的面积为，
当在上运动时，的面积为，
图象为：
故选：．
【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解决问题的关键是读懂图意，得到相应与的函数解析式．
5．（2024 江西二模）如图，在等边中，，动点从点出发，沿方向运动，过点作 于点，设的面积为，点的运动路程为，则与之间的函数关系的图象正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】动点问题的函数图象
【专题】运算能力；空间观念；几何直观；三角形；函数及其图象；动点型
【分析】分别求出当时，点在上，当时，点在上的函数图象，根据所求的函数图象即可判断出此题答案．
【解答】解：当时，点在上，如图，
，
，
，
，
，
，
该图象为开口向上的抛物线；
当时，点在上，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
该图象为开口向下的抛物线，
故选：．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
6．（2024 广汉市模拟）如图，矩形中，，，为矩形边上的一个动点，运动路线是，设点经过的路程为，以，，为顶点的三角形面积为，则选项图象能大致反映与的函数关系的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】动点问题的函数图象
【专题】函数及其图象
【分析】根据题意可以分别表示出各段的函数解析式，从而可以明确各段对应的函数图象，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：由题意可得，
点到的过程中，，故选项错误；
点到的过程中，，故选项错误；
点到的过程中，，故选项错误；
点到的过程中，，
由以上各段函数解析式可知，选项正确，
故选：．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，写出各段函数对应的函数解析式，明确各段的函数图象．
7．（2024 松山区一模）如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是　　
A．10 B．12 C．20 D．24
【考点】：动点问题的函数图象
【专题】554：等腰三角形与直角三角形；532：函数及其图象；31：数形结合
【分析】由图1看到，点从运动到的过程中，先从0开始增大，到达点时达到最大，对应图2可得此时，即；点从运动到的过程中，先减小，到达时达到最小，对应图2可得此时；而后又开始增大，到达点时达到最大，即，所以为等腰三角形．作边上的高，即能求得，即，再求得面积．
【解答】解：由图形和图象可得，时，
过点作于，则
故选：．
【点评】本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质．把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．
8．（2024 江汉区模拟）已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】函数的图象
【专题】用函数的观点看方程（组或不等式；应用意识；函数及其图象；运算能力
【分析】分别作出当经过、、、时的图象，再由图象判断出函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解，即可解答此题．
【解答】解：当函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解，
令经过，得，
，
令经过，得，
，
令经过，得，
，
令经过，得，
，
如图，
可以看出经过的和经过的，与函数的图象在有两个交点，
，
故选：．
【点评】本题考查了函数图象，其中函数图象与方程的关系是解题的关键．
9．（2024 鄞州区模拟）如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2所示．当点运动到的中点时，的面积为　　
A．7 B．7.5 C．8 D．8.6
【答案】
【考点】动点问题的函数图象
【专题】函数及其图象；应用意识
【分析】首先结合图形和函数图象判断出的长和的长，进而可得的长，从而可得点坐标，然后再计算出当时直线解析式，然后再代入的值计算出即可．
【解答】解：根据题意得：四边形是梯形，
当点从运动到处需要2秒，则，面积为4，
则，
根据图象可得当点运动到点时，面积为10，
则，则运动时间为5秒，
，
设当时，函数解析式为，
，
解得，
当时，函数解析式为，
当运动到中点时时间，
则，
故选：．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象、三角形面积公式，利用数形结合的思想方法是解决问题的关键．
10．（2024 河南）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流与使用电器的总功率的函数图象（如图，插线板电源线产生的热量与的函数图象（如图．下列结论中错误的是　　
A．当时，
B．随的增大而增大
C．每增加，的增加量相同
D．越大，插线板电源线产生的热量越多
【答案】
【考点】函数的图象
【专题】函数及其图象；几何直观
【分析】由图1中点可判断选项；由图2中图象的增减性可判断选项、；由图1可知随的增大而增大，由图2可知随的增大而增大可判断选项．
【解答】解：由图1可知，当时，，故选项说法正确，不符合题意；
由图2可知，随的增大而增大，故选项说法正确，不符合题意；
由图2可知，每增加，的增加量不相同，故选项说法错误，符合题意；
由图1可知随的增大而增大，由图2可知随的增大而增大，所以越大，插线板电源线产生的热量越多，故选项说法正确，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共9小题）
11．（2024 湖北模拟）函数中自变量的取值范围是 　且　．
【考点】函数自变量的取值范围
【专题】计算题
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（2024 黑龙江一模）在函数中，自变量的取值范围是　　．
【考点】函数自变量的取值范围
【专题】函数及其图象
【分析】根据分母不为零是分式有意义的条件，可得答案．
【解答】解：由题意，得
，解得，
故答案为：．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
13．（2024 大连模拟）在函数中，自变量的取值范围是 　且　．
【答案】且．
【考点】函数自变量的取值范围
【专题】函数及其图象；一元一次不等式（组及应用；运算能力；推理能力
【分析】根据被开方数为非负数和分母不为零，列出式子，求解即可．
【解答】解：根据题意可得：，
解得：且．
故答案为：且．
【点评】本题主要考查了函数的知识、二次根式的知识、分式的知识，难度不大，认真计算即可．
14．（2024 五华区校级模拟）函数中，自变量的取值范围是　　．
【考点】：函数自变量的取值范围
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．（2024 榕城区校级三模）已知函数，则自变量的取值范围是 　　．
【答案】．
【考点】函数自变量的取值范围；立方根
【专题】运算能力；函数及其图象
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，其中知识点为：分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
16．（2024 郑州校级四模）如图1，在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的值为 　4　．
【答案】4．
【考点】动点问题的函数图象
【专题】函数及其图象
【分析】根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，，根据勾股定理即可求出，即可解答．
【解答】解：动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，
根据图象可知，当时，，
，
点为边中点，
，，
由图象可知，当运动时间时，最小，即最小，
根据垂线段最短，此时，
如图所示，
此时点运动的路程，
，
在中，
，
即．
故答案为：4．
【点评】此题考查的是动点问题的函数图象，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．
17．（2024 单县二模）如图，在中，，，，点为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点向点移动，到达点时停止．过点作于点．作于点，连结，线段的长度与点的运动时间（秒的函数关系如图所示，则函数图象最低点的坐标为 　，　．
【考点】动点问题的函数图象
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力
【分析】连接，利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，利用矩形的判定定理得到四边形为矩形，利用矩形的对角线相等得到，再利用垂线段最短的性质得到当时，取得最小值，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】解：连接，如图，
，，，
，，
，
．
，，
四边形为矩形，
．
点为线段上的动点，由于垂线段最短，
当时，取得最小值，即取得最小值．
过点作于点，
，，
，
，
，
，．
当时，取得最小值为．
函数图象最低点的坐标为，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了直角三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数的图象，函数的极值，熟练掌握动点问题的函数的图象的特征是解题的关键．
18．（2024 中宁县模拟）如图①，在矩形中，对角线与交于点，动点从点出发，沿匀速运动，到达点时停止，设点所走的路程为，线段的长为，若与之间的函数图象如图②所示，则矩形的周长为　28　．
【考点】：动点问题的函数图象
【专题】17：推理填空题；25：动点型
【分析】根据矩形的性质结合图②的最低点的坐标，即可得出、的长度，再利用矩形的周长公式即可求出结论．
【解答】解：当时，最小，且此时，，
，，
．
故答案为：28．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象以及矩形的周长，观察图②最低点的坐标，找出矩形的长和宽的长度是解题的关键．
19．（2024 临沭县一模）某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，，，，，，使得，在下列数值1，2，3，4，5，6中，的取值不可能为 　6　．
【答案】6．
【考点】规律型：点的坐标；函数的图象
【专题】函数及其图象；运算能力
【分析】，判断出点，，，，，，比例函数上，根据图象判断出正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点，即可得到答案．
【解答】解：设，
则，，，，，
即点，，，，，在正比例函数上，
如图，正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点．
故答案为：6．
【点评】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
20．（2024 房山区二模）小平在学习过程中遇到一个函数．下面是小平对其研究的过程，请补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是 　　；
（2）下表是与的几组对应值．
0 1 1.5 1.8 2.2 2.5 3 4 5 6
0.5 2 3.5 6.8 7.2 4.5 4.5 5.33 6.25
其中的值为 　　；
（3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象；
②过点作平行于轴的直线，结合图象解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是 　　．
【答案】（1）；
（2）4；
（3）①见解析；②．
【考点】函数的图象
【专题】函数及其图象；运算能力
【分析】（1）由分母不能为零，即可得出自变量的取值范围；
（2）把代入则可求出的值；
（3）①根据描点，连线画出函数图象；②观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点，故可得结论．
【解答】解：（1），
，即，
故答案为：；
（2）当时，，
故答案为：4；
（3）（3）①描点，连线得，
②观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点，
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数图象与性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
21．（2024 桃江县一模）如图1，在△中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，求的长．
【答案】．
【考点】动点问题的函数图象
【专题】函数及其图象；推理能力
【分析】过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得．然后等面积法即可求解．
【解答】解：如图过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，
，，，
在△中，，，
，
，
．
故的长为．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．
22．（2024 安康一模）某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如下：
加热时间 0 10 20 30
液体温度 8 18 28 38
（1）兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足一次函数关系，求与之间的函数表达式．
（2）当加热时该液体沸腾，求该液体的沸点．
【答案】（1）；
（2）．
【考点】函数关系式
【专题】运算能力；函数及其图象
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将换算成以秒为单位，代入（1）中得到的函数表达式，求出对应的值即可．
【解答】解：（1）设与之间的函数表达式为、为常数，且．
将，和，代入，
得，
解得，
．
（2），
当时，，
该液体的沸点是．
【点评】本题考查函数关系式，掌握待定系数法求函数关系式是本题的关键．
23．（2024 大渡口区模拟）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿着折线（含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动，点，分别是射线，上的动点，的长度等于点走的路程，，设点的运动时间为，点到的距离为，的长度为．
（1）求，关于的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（2）在直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质；
（3）根据图形直接估计当时的取值范围：　　．（结果保留1位小数，误差不超过
【答案】（1），；
（2）画图见解析，当时，有最大值为4（答案不唯一）；
（3）．
【考点】动点问题的函数图象
【专题】反比例函数及其应用；函数的综合应用；运算能力；推理能力
【分析】（1）分，，两种情况讨论求关于的函数关系式，根据三角形面积公式求关于的函数关系式即可；
（2）利用描点法化函数图象，结合图象写出函数的一条性质即可；
（3）看在哪些区间的函数的图象在函数图象的上方即可．
【解答】解：（1），，，
，
点是的中点，
，
当时，
，，
，
，
，即，
，
当时，
过作于点，
点是的中点，
，
，即，
，
，，
，
，
，即，
，
，
根据题意，得，
，，，
，
（2）画图如下：
根据图象，知：当时，有最大值为4（答案不唯一）；
（3）根据图象知：当时，．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决自变量的取值范围问题．
24．（2024 北戴河区一模）一次实践活动中，某小组在装有一段笔直轨道上，利用长度为的金属滑块做往返滑动实验，如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合时停止滑动．设滑块运动时间为时，左端离点的距离为，右端离点的距离为，记．发现滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．
请解答：
（1）滑块从点到点的滑动过程中，值的变化趋势是怎样的？
（注；选答“由负到正”或“由正到负”
（2）滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；
（3）在整个往返过程中，若，求的值．
【答案】（1）由负到正；（2）与的函数表达式为；（3）当或 时，．
【考点】函数关系式
【专题】运算能力；一次函数及其应用
【分析】（1）根据等式，结合题意，即可求解；
（2）设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入，即可求解；
（3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，②当时，分别令，进而即可求解．
【解答】解：（1），
当滑块在点时，，，
当滑块在点时，，，
的值由负到正．
（2）设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时，
，
，
是的一次函数，
当和时，与之对应的的两个值互为相反数；
当时，，
，
，
滑块从点到点所用的时间为，
整个过程总用时 （含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿，
滑块从返回到所用的时间为．
滑块返回的速度为：，
当时，，
，
，
与的函数表达式为：；
（3）当时，有两种情况：
由（2）可得，
①当时，，
；
②当时，，
．
综上所述，当或18时，．
【点评】本题考查了函数关系式，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．
25．（2024 临沭县一模）图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段是一段直滑道，为直线的一部分，点在轴上，滑道为抛物线的一部分，在点处达到最低，其中点到轴的距离为2，轴于点，滑道为抛物线的一部分，与滑道可看作形状相同，开口方向相反的两段抛物线．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当过山车沿滑道从点运动到点的过程中，它到轴的水平距离为多少时到轴的距离达到最大？最大是多少？
（3）点为上的一点，求点到和到轴的距离之和（图中的最大值及此时点的坐标．
【答案】（1）；
（2）到轴的水平距离为8时到轴的距离达到最大，最大为4；
（3）最大值为4，此时的坐标为．
【考点】动点问题的函数图象
【专题】函数及其图象；二次函数的应用；运算能力；推理能力
【分析】（1）先求得，根据顶点得，代入求得的值，即可求解函数解析式；
（2）根据两段抛物线形状相同，开口方向相反求得滑道的函数解析式为，再结合图象求得最高点的坐标即可；
（3）设，则，，整理出关于的函数解析式，分析判断最值即可得到点坐标．
【解答】解：（1）点到轴的距离为2，
即对于直线，当时，，
，
滑道为抛物线的一部分，在点处达到最低，
，
代入得，，解得：，
抛物线的函数解析式为；
（2）滑道为抛物线的一部分，与滑道可看作形状相同，开口方向相反的两段抛物线，
，即：滑道的函数解析式为，
当过山车在滑道段时，在点时到轴的距离达到最大，最大为3；
当过山车在滑道段时，在抛物线的顶点时到轴的距离达到最大，最大为4；
即：它到轴的水平距离为8时到轴的距离达到最大，最大为4；
（3）解：设，则，，
，
点为上一点，
，且的值随的增大而增大，
当时，，
当时，和长度之和的最大值为4，此时的坐标为．
【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，求二次函数的函数值，二次函数的性质等，熟练掌握二次函数的解析式和性质是解题的关键．
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