2026年中考数学一轮复习 四边形（含解析）

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中考数学一轮复习 四边形
一．选择题（共10小题）
1．（2024 长春）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为　　
A． B． C． D．
2．（2024 重庆）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分交于点．若，则的长度为　　
A．2 B． C． D．
3．（2024 陕西）如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，，则的长为　　
A．2 B．3 C． D．
4．（2024 沙坪坝区模拟）如图，正方形中，点为边延长线上一点，点在边上，且，连接，．若．则　　
A． B． C． D．
5．（2024 郁南县二模）如图，大建从点出发沿直线前进8米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进8米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度为　　
A． B． C． D．
6．（2024 科右前旗模拟）如图，五边形是正五边形，若，则的值是　　
A． B． C． D．
7．（2024 顺河区一模）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，交于点，连接，若，，则的长为　　
A． B． C． D．
8．（2024 渝中区校级二模）如图，在正方形中，点、点分别是和边的中点，连接、交于点，连接和，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
9．（2024 东莞市模拟）如图，矩形的对角线，相交于点，若，，则的长为　　
A． B． C．2 D．1
10．（2024 成都）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是　　
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2024 徐州）正十二边形的每一个外角等于 　　度．
12．（2024 柴桑区二模）如图，在正八边形的内部作正方形，则的度数为 　　．
13．（2024 梁溪区校级一模）如图，在正方形中，点，分别在，上，且，分别交，于点，．设△和△的面积分别为和，若，则的值为 　　．
14．（2024 丰顺县一模）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为 　　．
15．（2024 甘孜州）如图，在菱形中，，则菱形的周长为 　　．
16．（2024 青秀区校级模拟）如图，将两条宽度都是为2的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为 　　．
17．（2024 新城区校级模拟）如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为 　　．
18．（2024 弥勒市二模）如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为 　　．
19．（2024 平遥县二模）如图，在矩形中，，，点为直线下方一点，且以为斜边在矩形的外部作直角三角形，点是的中点，则的最大值为 　　．
20．（2024 凉山州模拟）如图，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点到点的最大距离是 　　．
三．解答题（共5小题）
21．（2024 息烽县一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了特殊的平行四边形后，结合图形旋转的知识探索相应的数学问题．如图①，是正方形边上一点点不与，重合），连接，将绕点顺时针旋转到，使，连接．
（1）【问题探究】
在上截取，连接，此时，则等于 　　度；
（2）【拓展延伸】
当正方形变为菱形时，若，其余条件不变，如图②，请写出与的数量关系，并说明理由；
（3）【联系应用】
在（2）的条件下，当时，若，求的长．
22．（2024 泰安）综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结．与相交于点．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和．将纸片展平，连结，，．同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分割点”，即．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
23．（2024 威远县校级模拟）已知，如图，在△中，，是△的中线，是的中点，连接并延长到，使，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
24．（2024 鼓楼区二模）如图，在中，是边的中点，，分别在及其延长线上，，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当满足什么条件时，四边形是菱形？判断并说明理由．
25．（2024 东莞市校级一模）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
中考数学一轮复习 四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024 长春）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】多边形内角与外角；矩形的性质
【专题】矩形 菱形 正方形；多边形与平行四边形；运算能力
【分析】根据正五边形的内角和公式和平角的定义即可得到结论．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，多边形内角与外角，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键．
2．（2024 重庆）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分交于点．若，则的长度为　　
A．2 B． C． D．
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力
【分析】根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明；利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，证明；设，将、和分别表示出来，在△中根据勾股定理列关于的方程并求解即可．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
在△和△中，
，
△△，
；
平分，
，
在△和△中，
，
△△，
；
四边形是正方形，
，，
设，则，，，
在△中，根据勾股定理，得，即，
解得．
故选：．
【点评】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质和角平分线的定义、勾股定理是解题的关键．
3．（2024 陕西）如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，，则的长为　　
A．2 B．3 C． D．
【答案】
【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【专题】推理填空题；推理能力
【分析】由正方形和正方形，，，得，得，得，由，即可得．
【解答】解：由正方形和正方形，，，
得，
得，
得，
由，
得．
故选：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是相似三角形的性质的应用．
4．（2024 沙坪坝区模拟）如图，正方形中，点为边延长线上一点，点在边上，且，连接，．若．则　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力
【分析】连接，根据正方形的性质可得，，再由全等三角形的判定与性质可得，最后由等腰直角三角形的性质及三角形外角性质可得答案．
【解答】解：连接，
在正方形中，，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
【点评】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
5．（2024 郁南县二模）如图，大建从点出发沿直线前进8米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进8米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】多边形内角与外角
【专题】多边形与平行四边形；推理能力
【分析】根据多边形的外角的定义解决此题．
【解答】解：，
．
每次旋转的角度．
故选：．
【点评】本题主要考查多边形的外角，熟练掌握多边形的外角的定义是解决本题的关键．
6．（2024 科右前旗模拟）如图，五边形是正五边形，若，则的值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【专题】线段、角、相交线与平行线；正多边形与圆；推理能力
【分析】如图，延长并交于点．由，得．由，得，那么．欲求，需求．由正五边形的性质，得，从而解决此题．
【解答】解：如图，延长并交于点．
五边形是正五边形，
正五边形的每个外角相等．
．
，
．
，
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查正多边形的性质、三角形外角的性质以及平行线的性质，熟练掌握正多边形的性质是解决本题的关键．
7．（2024 顺河区一模）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，交于点，连接，若，，则的长为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】菱形的性质
【专题】推理能力；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力
【分析】由菱形的性质得，，，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长即可．
【解答】解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
8．（2024 渝中区校级二模）如图，在正方形中，点、点分别是和边的中点，连接、交于点，连接和，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力
【分析】延长，交于，证明，可得，再证，可得为斜边上的中线，故，即得，．
【解答】解：延长，交于，如图：
四边形是正方形，
，，
，是，的中点，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
为斜边上的中线，
，
，
，
，
；
故选：．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
9．（2024 东莞市模拟）如图，矩形的对角线，相交于点，若，，则的长为　　
A． B． C．2 D．1
【答案】
【考点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【专题】矩形 菱形 正方形；等腰三角形与直角三角形；推理能力
【分析】先证明△是等边三角形，得出，再由矩形的性质得出，最后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：四边形是矩形，对角线，相交于点，
，
又，
△是等边三角形，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用及勾股定理，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．
10．（2024 成都）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】矩形的性质
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力
【分析】由矩形的性质分析每个选 项，从而可得答案．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，，，
，不一定成立，，一定成立，一定不成立，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
二．填空题（共10小题）
11．（2024 徐州）正十二边形的每一个外角等于 　30　度．
【考点】多边形内角与外角
【专题】计算题
【分析】根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到每一个外角的度数．
【解答】解：多边形的外角和为360度，
每个外角度数为：，
故答案为：30．
【点评】主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数直接让360度除以外角即可．
12．（2024 柴桑区二模）如图，在正八边形的内部作正方形，则的度数为 　　．
【答案】．
【考点】多边形内角与外角
【专题】运算能力；多边形与平行四边形
【分析】利用正多边形的内角和定理、正多边形的性质求出和的度数即可．
【解答】解：在正八边形的内部作正方形，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了正多边形的内角和定理，正多边形的性质，熟知正多边形的内角和为 且为整数）是解题的关键．
13．（2024 梁溪区校级一模）如图，在正方形中，点，分别在，上，且，分别交，于点，．设△和△的面积分别为和，若，则的值为 　　．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；几何直观；推理能力
【分析】（1）过作于，由四边形是正方形，可得，证明△△，可得，有，即可得，过作于，设，设，则，可知，，故，，根据，列方程，可解得解得：．
【解答】解：过作于，如图：
，
，
，
设，设，则，
，
，
，
，，
，
，
整理得：，
解得：或（舍弃），
，
故答案为：．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
14．（2024 丰顺县一模）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为 　　．
【答案】．
【考点】菱形的判定
【专题】运算能力；推理能力；矩形 菱形 正方形
【分析】根据正方形的性质得，，由勾股定理得，则，再证明是等边三角形，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：在正方形中，，
，
，，
，
，
在菱形中，，
，
是等边三角形，
，
故答案为：．
【点评】此题重点考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，根据勾股定理求得是解题的关键．
15．（2024 甘孜州）如图，在菱形中，，则菱形的周长为 　8　．
【答案】8．
【考点】菱形的性质
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力
【分析】根据菱形的四条边都相等解答即可．
【解答】解：四边形是菱形，，
菱形的周长是．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是菱形的性质，熟练掌握菱形的四条边都解答本题的关键．
16．（2024 青秀区校级模拟）如图，将两条宽度都是为2的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为 　　．
【考点】菱形的判定与性质
【分析】根据折叠的性质易知，重合部分为菱形，然后根据菱形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图，过点作于点，于点．则．
纸条的对边平行，即，，
四边形是平行四边形，
两张纸条的宽度都是2，
，
，
平行四边形是菱形，即四边形是菱形．
四边形的面积为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查菱形的性质和特殊角的三角函数值，通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
17．（2024 新城区校级模拟）如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为 　　．
【答案】．
【考点】菱形的性质
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力
【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：如图，设与的交点为，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求出的长是解题的关键．
18．（2024 弥勒市二模）如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，，，于点，则的长为 　　．
【答案】．
【考点】菱形的性质
【专题】推理能力；矩形 菱形 正方形
【分析】首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算渠道求得边上的高的长即可．
【解答】解：四边形是菱形，，，
，
四边形是菱形，
，，，
在直角三角形中，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高．
19．（2024 平遥县二模）如图，在矩形中，，，点为直线下方一点，且以为斜边在矩形的外部作直角三角形，点是的中点，则的最大值为 　9　．
【答案】9．
【考点】矩形的性质
【专题】推理能力；矩形 菱形 正方形
【分析】取中点，连接，，根据矩形的性质可求，的长，根据勾股定理可求的长，根据直角三角形的性质可求的长，根据三角形三边关系可求得当点，点，点共线时，有最大值，即．
【解答】解：如图，取中点，连接，，
四边形是矩形，
，，，
点是中点，点是的中点，
，，
，
点是的斜边的中点，
，
根据三角形三边关系可得：，
当点，点，点共线时，最大值为．
故答案为：9．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，找到当点，点，点共线时，有最大值是本题的关键．
20．（2024 凉山州模拟）如图，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点到点的最大距离是 　　．
【考点】三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线；矩形的性质；勾股定理
【专题】推理能力；矩形 菱形 正方形
【分析】取的中点，连接、、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得过点时最大．
【解答】解：如图：取线段的中点，连接，，，
，点是的中点，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
当点，点，点共线时，的长度最大．
点到点的最大距离，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系，确定出过的中点时值最大是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2024 息烽县一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了特殊的平行四边形后，结合图形旋转的知识探索相应的数学问题．如图①，是正方形边上一点点不与，重合），连接，将绕点顺时针旋转到，使，连接．
（1）【问题探究】
在上截取，连接，此时，则等于 　135　度；
（2）【拓展延伸】
当正方形变为菱形时，若，其余条件不变，如图②，请写出与的数量关系，并说明理由；
（3）【联系应用】
在（2）的条件下，当时，若，求的长．
【答案】（1）135．
（2），理由见解答．
（3）．
【考点】四边形综合题
【专题】几何综合题；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力
【分析】（1）利用正方形的性质可知，根据题意，求出，即可解答．
（2）在上截取，连接，则，证明，表示出，即可解答．
（3）在上截取，连接，利用菱形的性质得性质，证明，过点作，垂足为，利用直角三角形中特殊角的函数值，即可解答．
【解答】解：（1）正方形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：135．
（2），理由如下：
如图，在上截取，连接，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（3）如图，在上截取，连接，
是等腰三角形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
又，
，
在和中，
，
，
．
过点作，垂足为，
，
，
，
在△中，，
又，
，
．
【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键．
22．（2024 泰安）综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结．与相交于点．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和．将纸片展平，连结，，．同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分割点”，即．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【考点】四边形综合题
【专题】几何综合题；几何直观
【分析】（1）作于点，证△△即可得证；
（2）利用平行线分线段比例，然后进行等线段转化即可得证．
【解答】解：（1）正确，理由如下，
作于点，
，
，
．
，
，
又，
△△．
．
是矩形，，
四边形是矩形．
．
．
（2）同学们的发现说法正确，理由如下，
，
，，
由折叠知，
．
．
，
由平行四边形及折叠知，，
，
即点为的一个黄金分割点．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
23．（2024 威远县校级模拟）已知，如图，在△中，，是△的中线，是的中点，连接并延长到，使，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定与性质
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力
【分析】（1）证明△△，等，，则，再证明四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）连接，证明四边形是平行四边形，得，再求出，进而由勾股定理得，然后由菱形面积公式列式计算即可．
【解答】（1）证明：是的中点，
，
，，
△△，
，，
，
，是△的中线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
，是△中线，
，
，，
，
菱形的面积．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟悉掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24．（2024 鼓楼区二模）如图，在中，是边的中点，，分别在及其延长线上，，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当满足什么条件时，四边形是菱形？判断并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2），理由见解析．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【专题】推理能力；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；图形的全等
【分析】（1）证明，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得，再由菱形的判定即可得出结论．
【解答】（1）证明：，
，
是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：当满足时，四边形是菱形，理由如下：
由（1）可知，四边形是平行四边形，
，是边的中点，
，
平行四边形是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（2024 东莞市校级一模）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力
【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
（2）先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
【解答】（1）证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在△中，，，
，
．
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解答本题的关键．
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