4.1 第3课时 三角形的内角与外角 课件（共28张PPT) 2025-2026学年度湘教版数学八年级上册

(共28张PPT)
第4章
三角形
八年级数学湘教版·上册
4.1 第3课时 三角形的内角与外角
授课人：XXXX
学习目标
1.三角形外角、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的概念；(重点)
2.三角形的内角和的性质．(难点)
新课导入
提出问题
在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作（如图），知道三角形的内角和是180°，你能说出这些方法的原理吗？
上述两种操作都是将三角形的三个内角拼到一起构成一个平角.
新课导入
锐角三角形
测量法
48°
72°
60°
60°＋48°＋72°＝180°
新知探究
三角形的三个内角和等于180°.
拼图法
可裁下它的三个角，拼在一起构成平角180°.
验证结论
三角形三个内角的和等于180°.
说明：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
方法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1， ∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°.
1
2
新知探究
新知探究
方法2：延长BC到点D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线.
在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
新知探究
例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解 设∠B为x°，则∠A为（3x ）°，∠C为（x ＋ 15） °，
从而有
3x ＋ x ＋（ x ＋ 15 ）＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
新知探究
为了证明三角形的内角和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.
1.下列各组角是同一个三角形的内角吗 为什么
（2）60°， 40°， 90°
（3）30°， 60°， 50°
（1）3°， 150°， 27°
（是 ）
（ 不是）
（ 不是）
2.在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °则∠ C= .
3.在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4.
则∠A = ∠ B= ∠ C= .
102 °
80 °
60 °
40 °
新知探究
4.已知：如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°.
求证： ∠ADE=50°.
证明： ∵ DE ∥ BC （已知），
∴ ∠ AED= ∠ C（两直线平行，同位角相等）.
∵ ∠ C=70°（已知），
∴ ∠ AED= 70° （等量代换）.
∵ ∠ A+ ∠ AED+ ∠ ADE=180°（三角形的内角和定理），
∠ A=60°（已知），
∴ ∠ ADE=180°-60°-70°=50°（等量代换），
即∠ ADE= 50°.
D
C
B
A
E
新知探究
新知探究
问题：一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？
因为三角形的内角和等于180°，因此最多有一个直角或一个钝角.
三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；
锐角三角形
有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.
钝角三角形
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；
直角三角形
直角边
直角边
斜边
A
B
C
直角三角形ABC可以写成Rt△ABC；
三角形的外角的概念
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角.
C
B
A
D
新知探究
问题1 如图，延长AC到点E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
在三角形的每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
新知探究
A
B
C
画出△ABC的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有6个外角．
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
新知探究
新知探究
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点;
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
每一个三角形都有6个外角．
新知探究
在图中， 外角∠ACD 和与它不相邻的内角∠A， ∠B 之间有什么大小关系？
B
A
C
我觉得可以利用“三角形的内角和等于180° ” 的结论.
因为∠ACD +∠ACB = 180°，
∠A +∠B +∠ACB = 180°，
所以∠ACD -∠A -∠B = 0 （等量减等量， 差相等）.
于是∠ACD =∠A +∠B.
D
由此得到:
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
D
A
C
B
∵∠ACD= ∠A+ ∠B
∴∠ACD＞∠A
∠ACD＞ ∠B
三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角有怎样的大小关系
新知探究
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
新知探究
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
新知探究
例： 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC
的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE.
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF.
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
解：
F
A
C
D
E
B
新知探究
例： 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，
∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
E
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°，
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
新知探究
例：如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=______°.
解析：
∵∠B=47°，
∴ ∠BAC+∠BCA=180°– 47°=133°，∴∠CAD+∠ACF=360°–133°=227°.
又 AE和CE是角平分线，∴∠CAE+∠ACE=113.5°，
∴∠E=180°–113.5°=66.5°.
66.5
A
B
C
F
E
D
新知探究
课堂小结
三角形的内角与外角
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°.
三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
课堂小测
1.判断题：
1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和.（ ）
2、三角形的外角和等于它内角和的2倍.（ ）
3、三角形的一个外角等于两个内角的和.（ ）
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）
5、三角形的一个外角大于任何一个内角.（ ）
6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）
×
×
×
√
√
√
课堂小测
2.填空：
（1）在△ABC中，∠A=60° ,∠B=∠C,则∠B= .
（2）在△ABC中， ∠A-∠B=50° , ∠C-∠B=40° ,则∠B= .
60°
30°
解：(1)因为∠ADC是△ABD的外角，
3 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°. 求：
（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
（2）在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180 -40 -70 =70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
A
B
C
D
课堂小测
.
课堂小测
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180 ,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180 .
4.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.