4.2.2 证明、举反例 课件（共19张PPT) 2025-2026学年度湘教版数学八年级上册

(共19张PPT)
第4章
三角形
八年级数学湘教版·上册
4.2.2 证明、举反例
授课人：XXXX
学习目标
1.了解证明的基本步骤和书写格式；(重点)
2.理解反证法的推理依据及方法．(难点)
新课导入
采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度.
观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论.
从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°，但是剪拼时难以真正拼成一个周角，只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360°，但不能很准确地都得到360°.
另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360°.
像此例的第(2)题那样，从一个命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明.
像此例的第(1)题那样，找出一个例子，使之符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而判断这个命题为假命题，这种做法称为举反例.
（2）如果a是整数，那么a是有理数；
解 如果a是整数，
根据有理数的定义：“整数和分数统称为有理数”
得出a是有理.因此命题(2)真．
（1）如果a是有理数，那么a是整数.
解 0.5是有理数，
因此命题(1)为假．
但是0.5不是整数.
新知探究
新知探究
我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题.
新知探究
在分析出这一命题的条件和结论后，我们就可以按如下步骤进行：
已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题.
证明:
∵ ∠BAF=∠2+∠3，
∠CBD=∠1+∠3，
∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)
(等式的性质).
∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，
∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.
新知探究
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步：根据题意，画出图形.
第二步：根据命题的条件和结论，结合图形，写
出已知、求证.
第三步：通过分析，找出证明的途径，写出证明
的过程.
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA
的延长线上，射线AE平分∠DAC.
求证：AE∥BC.
证明：∵∠DAC =∠B +∠C（三角形外角定理），
∠B=∠C（已知），
∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）.
又∵AE平分∠DAC（已知），
∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义），
∴∠DAE=∠B（等量代换），
∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）.
新知探究
解析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个” “有两个” “有三个”这三种情况. 如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.
新知探究
例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
证明：假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等于60°，
即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
则∠A+∠B+∠C＜180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，
所以假设不正确.
因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°.
新知探究
像这样，先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确.这种证明方法叫作反证法.
反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.
新知探究
应用反证法的情形：
(1) 直接证明困难;
(2) 需分成很多类进行讨论;
(3) 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”
的一类命题；
(4) 结论为 “唯一”类命题.
新知探究
用反正法证明时，导出矛盾的几种可能：
（1）与原命题的条件矛盾；
（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；
（2）与假设矛盾;
（4）与客观事实矛盾.
课堂小结
命题的证明
反证法：反设结论，推理，导出矛盾，证得结论.
直接证明：（画图）写出已知、求证，写出证明过程.
课堂小测
(1)证明命题：一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，则这两个角相等.
已知：如图，AB∥A′B′,BC∥B′C′.
求证：∠B= ∠B′
证明：∵ AB∥A′B′ （ ）
∴ ∠ B′= ∠α（ ）
∵ BC∥B′C′ （ ）
∴ ∠ B = ∠α（ ）
∴ ∠ B = ∠B′ ( )
已 知
两直线平行，同位角相等
已 知
两直线平行，同位角相等
等量代换
1. 填空
.
课堂小测
(2) 已知：如图，∠A+∠B= 180°.
求证：∠C+∠D= 180°.
证明：∵∠A+∠B= 180°（已知），
∴ AD∥BC（ ），
∴ ∠C+∠D= 180（ ）.
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
课堂小测
2. 已知：如图，AB与CD 相交于点E.
求证：∠A+∠C=∠B+∠D.
证明： ∵ AB与CD 相交于点E ，
∴ ∠AEC=∠BED （对顶角相等）.
又 ∵∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180°
（三角形内角和等于180°），
∴
∠A+∠C=∠B+∠D.
课堂小测
3.求证：△ABC中不能有两个钝角．
证明：假设△ABC中能有两个钝角，
即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，
与三角形的内角和为180°矛盾，
所以假设不成立，因此原命题正确，
即△ABC中不能有两个钝角．
课堂小测
4.已知：如图有a,b,c三条直线，且a//c,b//c.
求证：a//b.
A
a
b
c
证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A.
那么过点A 就有两条直线a，b分别与直线c平行，
这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直
线平行”矛盾,故假设不成立. ∴a//b.
课堂小测
（3）两条直线被第三条直线所截,同位角相等;
两条相交的直线a,b被第三条直线l所截（如图），它们的同位角不相等.
-1和-3的积是-1×(-3)>0，-1和-3不是正数.
5.举反例说明下列命题是假命题：
（1）两个锐角的和是钝角；
（2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数；
直角三角形的两个锐角和不是钝角.
a
b
l