4.5 第2课时 等腰（边）三角形的判定 课件（共22张PPT) 2025-2026学年度湘教版数学八年级上册

(共22张PPT)
第4章
三角形
八年级数学湘教版·上册
4.5 第2课时 等腰（边）三角形的判定
授课人：XXXX
学习目标
1.掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理；(重点)
2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理的运用．(难点)
新课导入
1、等腰三角形是怎样定义的？
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
③等腰三角形是轴对称图形.
② 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合 (简称“三线合一”).
① 等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”)
2、等腰三角形有哪些性质？
D
A
B
C
复习
新课导入
把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果------那么-----”的形式.
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.
如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等.
新知探究
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系
C
A
B
画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？
AB=AC
你能验证你的结论吗？
新知探究
如图，在△ABC中，∠B=∠C.沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，
得∠1=∠2.
又∠B=∠C，
由三角形内角和的性质，得
∠ADB=∠ADC.
D
1
2
新知探究
沿AD所在直线折叠，
由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，
所以射线DB与射线DC重合，
射线AB与射线AC重合.
从而点B与点C重合，
于是AB=AC.
新知探究
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.
几何语言： ∵∠B =∠C (已知)
∴ AB=AC(等角对等边)
A
B
C
新知探究
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是 AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形.
证明： ∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
又∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴ ∠ADE=∠AED，
∴ △ADE为等腰三角形.
新知探究
例2 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD.
B
A
D
C
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
总结：角平分线+平行线=等腰三角形
例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE
是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F.
求证：△CEF是等腰三角形．
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
新知探究
新知探究
由等腰三角形的判定定理可以直接得到：
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
新知探究
证明定理2： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
证明:如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC
由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C= 180°.
如果顶角∠A=60°，
则∠B+∠C= 180°-60°=120°.
又 AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
∴ ∠B=∠C=∠A=60°.
∴ △ABC是等边三角形.
如果底角∠B=60°（或∠C=60°）同样可以证明△ABC是等边三角形.
新知探究
根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
（1）
（2）
（6）
（5）
不
是
是
是
是
是
（4）
（3）
不一定
是
新知探究
例4 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC. 求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE∥BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
新知探究
变式1　若点D，E 在边AB，AC 的反向延长线上，
且DE∥BC，结论依然成立吗？
　　证明： ∵　△ABC 是等边三角形，
∴　∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵　DE∥BC，
∴　∠B =∠D，∠C =∠E．
∴　∠EAD =∠D =∠E．
∴　△ADE 是等边三角形．
A
D
E
B
C
新知探究
变式2 上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
解：是等边三角形.理由如下：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= 60°.
∵ AD=AE,
∴ △ADE是等腰三角形.
∴ △ADE是等边三角形.
课堂小结
等腰（边）三角形的判定
1.三个角都相等的三角形是等边三角形.
2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
等角对等边，注意是指同一个三角形中.
课堂小测
1.如图，已知∠A=36°，∠ABD=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________.
36°
72°
△ABC,
△DBA,
△BCD
A
B
C
D
课堂小测
2.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm.
A
C
B
D
E
12
3.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____.
9
第2题图
第3题图
课堂小测
4.已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D.
求证：BC＝CD.
证明：连接BD.
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
即∠DBC=∠BDC，
∴BC=CD.
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∠DBC=30°(等腰三角形三线合一)．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°，
∴∠DBC=∠DEC，
∴DB=DE (等角对等边)．
课堂小测
5.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．