5.4 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理 课件（共14张PPT) 2025-2026学年度湘教版数学八年级上册

(共14张PPT)
第5章
直角三角形
八年级数学湘教版·上册
5.4 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理
授课人：XXXX
学习目标
1.理解角平分线的性质定理的逆定理.(难点）
2.掌握角平分线的性质定理的逆定理内容的证明方法并应用其解题.（重点）
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
新课导入
O
D
P
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
几何语言描述：
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE.
A
C
B
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
1.叙述角平分线的性质定理
不必再证全等
E
新知探究
2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
新知探究
角平分线的性质定理的逆定理
角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
逆定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上.
新知探究
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等），
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL），
∴∠AOP=∠BOP
温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
新知探究
例1： 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
O
新知探究
例2： 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A
B
C
P
N
M
新知探究
D
E
F
A
B
C
P
N
M
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
这说明三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等.
新知探究
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
课堂小结
角平分线的性质定理的逆定理
内容
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点
课堂小测
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O
B
M
N
课堂小测
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上，
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4，
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
课堂小测
3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH，
∴点F在∠DAE的平分线上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D