第二十一章一元二次方程单元测试卷（含答案）人教版2025—2026学年九年级上册

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第二十一章一元二次方程单元测试卷人教版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
3．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．0
5．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两个月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．关于x的一元二次方程 有两个相等实数根，则a的值为（ ）
A．0 B．0或 C． D．8
7．若是关于x的一元二次方程的解，则（ ）．
A． B． C．27 D．18
8．已知α，β是方程的两个根，则代数式的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．关于x的方程的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．无实数解
10．已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（ ）．
A． B．1 C．或 D．或1
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
12．若实数满足 ，则的值为 ．
13．已知方程的两根分别为和，则的值为 ．
14．方程的较大的根为p，方程的较小的根为q， ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
16．已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程．
(1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由．
(2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程．
17．已知关于x的一元二次方程．
(1)当m为何值时，方程有实数解；
(2)当该方程的一个根为时，求m的值及方程的另一根．
18．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)方程的两个实数根、满足，求实数的值．
19．“荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱．某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元．调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元．
(1)当每千克荔枝降价5元时，每天销量可达________千克，每天盈利________元；
(2)若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到336元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？
20．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”．
(1)“快乐方程”的“快乐数”为________；
(2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程，求的值；
(3)若关于的一元二次方程与都是“快乐方程”，且其“快乐数”相等，设，求的最小值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B A C B C B A
二、填空题
11．【解】解：由题意得，
解得：．
故答案为：．
12．【解】解：设，则，
，即，
解得：，
，
．
故答案为：1．
13．【解】解：∵方程的两根分别为和，
∴，
则
故答案为：16
14．【解】解：，
，
，
∴，
解得，，
∵较大根为p，
∴，
由方程，
，
解得：，，
∵较小根为q，
∴，
∴，
故答案为：2025．
三、解答题
15．【解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
16．【解】（1）解：是美妙方程，理由如下：
∵中，，，，
∴，
故该方程是美妙方程；
（2）解：∵美妙方程的一个根是，
∴，
解得：，
∴这个美妙方程是．
17．【解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数解，
∴，
∴；
（2）解：∵是方程的一个根，
∴，
解得：，
设方程的另一个根为，
∵，
∴．
∴，方程的另一个根为．
18．【解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：．
（2）解：方程的两个实数根、，
∴，，
原式
∴
∴
∴
∴（与相矛盾，故舍去），．
19．【解】（1）解：当每千克荔枝降价5元时，销量为（千克），
每天盈利为：（元）
所以，每天销量可达千克，每天盈利330元，
故答案为：30，330；
（2）解：设应降价元，根据题意得，
，
解得或，
为让顾客得到实惠，取，
所以，每千克应降价4元．
20．【解】（1）解：中，，，，
，
故答案为：；
（2）解：关于的一元二次方程是“快乐方程，
，
其中是完全平方数，且为整数，且，
或，
当时，，
当时，，
是完全平方数，不是完全平方数，
；
（3）解：一元二次方程的快乐数为：
，
一元二次方程的快乐数为：
，
两个方程的快乐数相等，
，
整理得：，
左边分解因式得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
要取最小值，
当，时有最小值，最小值为，
此时，，
，
不符合题意，
当，或，时，有最小值，
最小值为，
当，时，
方程中，
方程中，
是完全平方数，
符合题意；
当，时，
方程中，
方程中
是完全平方数，
符合题意．
的最小值是．
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