21.2《二次函数的图象和性质》同步测试（含答案）沪科版数学九年级上册

21.2《二次函数的图象和性质》同步测试
【题型1 二次函数的图象】
1.如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为，顶点为，且，则点的坐标为 ．

2.已知二次函数的图象过点，，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)补全表格，画出二次函数的图象；
x … …
y … …
(3)关于该二次函数，下列说法正确的有______．
①图象开口朝下，顶点为；
②当时，y随x增大而减小；
③当时，y的取值范围为；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6．
3.如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为、，点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为 ．
4.如图，抛物线（m为常数）与x轴交于点，与y轴负半轴交于点C，若当时，，那么关于x的一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【题型2 二次函数的性质】
1.已知二次函数的图象经过四个象限，则的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
2.已知点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.抛物线经过点．
（1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ．
（2）若对于，都有，则的取值范围是 ．
4.已知抛物线（为常数，且）经过点和点，若，则的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．4
【题型3 二次函数图象与系数的关系】
1.二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，y的值随x值的增大而增大；⑤其中正确的结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知二次函数，其对称轴为．现有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是________．
A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．②③④ D．①②⑤
3.函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
B．
C． D．
4.如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③若点在该抛物线上，且，则；④．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型4 二次函数图象的平移】
1.如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
2.二次函数向上平移5个单位，向右平移3个单位后抛物线的对称轴为直线 ．
3.已知二次函数，将其图象向右平移个单位，得到新的二次函数的图象，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．则实数的取值可以是（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5
4.已知抛物线，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线．
（1）b的值为 ；
（2）点，分别在抛物线和上，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两条垂线交于点．若，则的值为 ．
【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】
1.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 0 3 8 …
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当时，y的取值范围为______．
2.已知一个二次函数的图象过，，三点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如何平移这个抛物线，使其顶点为坐标原点？写出这个变换过程并写出平移后所得二次函数解析式．
3.已知二次函数的图象经过点，和．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求出函数y随自变量的增大而减小的x的取值范围；
(3)如图，该二次函数图象的顶点为M，与y轴相交于C，连接、、．求．
4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．
(1)求此二次函数的解析式．
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值．
(3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合．
①当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围为________．
②当，线段与二次函数（）的图象有1个交点时，直接写出的取值范围．
【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】
1.如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求证：直线与该抛物线没有交点；
(3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值；
2.已知二次函数图象的顶点为，且与轴的一个交点坐标是．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若二次函数图象上有两点、，直接写出函数值、的大小关系．
3.某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为米，距地面的竖直高度为米，现测得与的几组对应数据如下：
水平距离 0 1 2 3 4 5 6 …
垂直高度 …
小华根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
(2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为___________米；
(3)求出关于的函数关系式；
(4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为___________米．（结果精确到米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素）
4.如图， 抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为，点是抛物线上一点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当且 时：
求的取值范围；
若 ，直接写出的值．
【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】
1.已知关于的二次函数的图象与轴交于两点两点，且图象过点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？
2.已知二次函数的图象与经过，，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)指出它的对称轴和最值．
3.如图，已知抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点C，点Q是抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)若点Q在直线下方的抛物线上，过点Q作轴于点D，交直线于点E，作于点F，当时，求点Q的坐标．
4.如图1和图2，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于点和点，其中．抛物线，与y轴分别交于点P，N．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)如图1，当点P、N重合时，求抛物线的表达式及其顶点坐标；
(3)如图2，连接，若抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界），求m的取值范围．
【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】
1.定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为．
(1)抛物线的顶点坐标为 ，其“同轴对称抛物线”的顶点坐标为 ；
(2)求抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式；
(3)如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点，关于抛物线对称轴对称的点，．依次连接点，，，．当四边形为正方形时，求的值．
2.当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为 ．
3.把二次函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，若，则最小值是 ．
4.如图，将抛物线：沿轴对称后，向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线，若抛物线的顶点为，点是抛物线上一点，则的面积的最小值为

参考答案
【题型1 二次函数的图象】
1.
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握矩形的性质和二次函数的性质是解题的关键．
根据矩形的性质和抛物线的对称性求解．
【详解】由题意得：，
设，
抛物线的对称轴为：直线，
在矩形中，，
、关于对称，
，，
解得，
．
故答案为：．
2.（1）解：由题意得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：取点补全表格为：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
如图，
（3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意；
②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意；
③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意；
故答案为：①④．
3.
【分析】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴的特点，此题难度一般．根据顶点在线段上移动，又知点、的坐标分别为、，分别求出对称轴过点和时的情况，即可判断出点坐标的最小值．
【详解】解：根据题意知，点的横坐标的最大值为3，
即可知当对称轴过点时，点的横坐标最大，
此时的点坐标为，
当可知当对称轴过点时，点的横坐标最小，此时的点坐标为，
此时点的坐标最小为，
故点的横坐标的最小值为，
故答案为：．
4.C
【分析】本题主要考查一次函数与二次函数综合，掌握一次函数和二次函数的图象及性质是解题的关键．
根据题意分析出的正负，然后根据当时，，求出的正负，即可得出答案．
【详解】解：由二次函数图像可知，对称轴，
∴，
∵抛物线（m为常数）与x轴交于点，
∴点B的横坐标大于-1，小于0；
∵点关于对称，
∴点A的横坐标大于-2，小于-1．
∵当时，，
∴．
即．
∴一次函数图像经过一、二、四象限．
∴C符合题意．．
故选C．
【题型2 二次函数的性质】
1.A
【分析】求出二次函数的顶点坐标为，对称轴为，与y轴的交点坐标为，又由开口向上可知，图象要经过四个象限，则，结合可得，由此即可得解．本题主要考查了二次函数图象的性质，利用数形结合是解题的关键．
【详解】解：，
∵，
∴开口向上，
顶点坐标为，对称轴为，与y轴交点为，
∵二次函数的图象经过四个象限，
∴，
解得，
又∵
∴，
∴的值可以是2．
故选：A
2.D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据点在二次函数的图象上，可得：，根据点到轴的距离小于，可得：，根据平方的非负性可得：，从而可得的取值范围．
【详解】解：点在二次函数的图象上，
，
点到轴的距离小于，
，
，
，
，
．
故选：D．
3. 1
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由题意可知抛物线过点，，利用抛物线的对称性即可求解；
（2）先求出抛物线的对称轴是直线，再分两种情况：当时；当时；分别结合二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）当时，，
若，则抛物线过点，，
该抛物线的对称轴是直线，
故答案为：1；
（2）抛物线经过点，，，，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
①当时，此时抛物线开口向上，
当时，随着的增大而增大，
对于，，都有，
，
，不合题意，舍去；
②当时，抛物线开口向下，对称轴为直线，
关于对称轴的对称点为，
对于，，都有，
，
解得，
综上，当时，都有．
故答案为：．
4.B
【分析】本题考查抛物线的性质，比较自变量大小，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
先求出抛物线的对称轴为直线，根据，则当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大 ，分两种情况：当时 ， 当时，依据，求出t的范围，即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大 ，
当时 ，
∵，
∴，
当时 ，
∵，
∴
∴，
∴或，
∴的值可能是．
故选：B．
【题型3 二次函数图象与系数的关系】
1.B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，具有一定的综合性，运用了数形结合的思想．
根据抛物线的开口方向、对称轴和与y轴交点可知，从而易判断①②；由图知，当时，函数值为0，即有，从而易判断③；由图象易判断④；由于函数在时取得最大值，对任意的实数m，其函数值不超过函数的最大值，从而易判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，，
即，故②正确；
∵抛物线与y轴交于坐标轴正半轴，
∴，
∴，故①错误；
当时，函数值为0，即有，
∵，
∴，即，故③正确；
观察图象知，当时，随自变量的增加，函数值有增有减，故④错误；
∵函数在时取得最大值，
∴对任意的实数m，都有，
即，故⑤错误；
故选：B．
2.B
【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，最值等解答即可.
【详解】解：∵二次函数开口向上，
∴，
∵抛物线的图象与y轴的交点在负半轴上，
∴；
∵对称轴为直线，
∴,
∴,
∴,
故①正确；
∵，，
∴,，
∴，
故②错误；
∵抛物线的顶点在第四象限，
∴，
故③正确；
∵对称轴为直线，
∴,
∵，
∴，
∴，
故④正确；
∵对称轴为直线，
∴,
∴,
∴,
故⑤正确，
故选：B．
3.A
【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：设，，
由图像知，，，，，，，，
∴，
∵函数的图像开口大于函数的图像开口，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，
A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意；
B．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意；
D．图像开口向上，故此选项不符合题意．
故选：A．
4.C
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉函数的图像和性质是解题关键．
利用二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点坐标即可求出①；令即可判断②；利用时函数值最大，即可判断③；令即可判断④．
【详解】①由图象可知：，
，故①正确；
②当时，，对称轴为直线，
∴当时，，
∴，故②正确；
③当时，y的值最大，此时，，
而当时，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故③正确；
④当时，，对称轴为直线
∴当时，，
∴，
∴，故④错误；
故选：C．
【题型4 二次函数图象的平移】
1.A
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
求得抛物线的顶点即可判断①对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得平移后的对应点为的最短路程为，即可判断②对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断③对．
【详解】解：抛物线开口向下，顶点为，
无论取何值，都有，故①对；
将抛物线的顶点为，抛物线开口向下，顶点为，
将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，
点平移后的对应点为的最短路程为，故②对；
，当时，，随着的增大而减小，
当时，随着的增大，线段变短，故③对．
故选：A．
2.
【分析】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键．将二次函数化为顶点式，再根据平移的特点得到平移后的函数解析式，即可得到答案．
【详解】解：，
上平移5个单位，向右平移3个单位后抛物线为：，
故对称轴为直线．
故答案为：．
3.B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，熟知“左加右减”的平移法则及二次函数的性质是解题的关键．根据“左加右减”的平移法则，表示出平移后的函数解析式，再根据题意得出关于的不等式，据此可解决问题．
【详解】解： ∵，
∴，
∵时，随增大而增大；当时，随增大而减小，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4. 4 1
【分析】本题考查了二次函数的图象与平移，掌握这些知识是解题的关键．
（1）由得顶点为，它向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度后的顶点为，即抛物线．则可求得b的值；
（2）由（1）得c的值；由题意知，抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，因而当点A右平移1个单位长度到点C，再向上平移3个单位长度到点B，则，故，即．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线的顶点为，
∴它向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度后的顶点为，
即抛物线．
即，
∴；
故答案为：4；
（2）由（1）知，，
即；
也即抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，
∴点A右平移1个单位长度到点C，再向上平移3个单位长度到点B，则，
∴；
∵，
∴
即．
故答案为：1．
【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】
1.（1）解：设二次函数的解析式为，由表格可得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：由题意可得函数图象如下：
（3）解：当时，，
当时，，
当时，函数有最小值，最小值为：，
∴当时，y的取值范围为；
故答案为：．
2.（1）设二次函数的解析式为，
根据题意得，
解得
∴；
（2）∵
∴顶点坐标为
∴抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到，顶点坐标为原点．
3.（1）∵二次函数的图象经过点，和
∴ ，
∴解得：
∴二次函数的解析式为；
（2）由（1）可知抛物线解析式为
∴抛物线开口向下，对称轴为
∴当时，y随x的增大而减小；
（3）如图所示，过点A作轴于D，过点M作于N，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
4.（1）解：将点，点代入
得
解得
此二次函数的解析式为．
（2）解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线．
当时，取最小值为．
，
当时，取最大值．
（3）解：①∵点横坐标为，点的横坐标为．
∴．
当时，，的长度随的增大而增大．
当时，，的长度随增大而减小．
满足题意，解得．
故答案为：；
② ，
，
解得．
如图，当时，线段与二次函数的图象1个交点．
如图，当时，线段与二次函数的图象1个交点．
【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】
1.（1）解：由题意可设抛物线的函数解析式为，
将点代入解析式可得，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）证明：将直线与抛物线联立可得，
整理得；
∴，
直线与抛物线没有交点；
（3）解：由题意得，则
∵四边形是矩形，
∴，
∴点G和点D关于抛物线对称轴对称，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，
由（1）可得抛物线对称轴为直线，
，
，．
，即与的函数关系式是
当时，的值最大，的最大值是20．
2.（1）解：二次函数图象的顶点为，
设抛物线的解析式为，
把代入，得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，当时，，
．
3.（1）解：根据表中数据可知在图像上的点坐标分别为：，
将以上坐标在下图中找出，并连接成光滑的曲线：
（2）解：通过表中数据得知，当时水流最高，此时水流到达地面距离为米，
（3）解：设二次函数解析式为，
由（2）知，对称轴为，最高点为，
∴顶点坐标为，
∴，
∴把代入中得：
，解得：，
∴抛物线表达式为：．
（4）解：根据题意把代入中得：
米．
∴大理石雕塑的高度约为．
4.（1）解：∵顶点坐标为，
∴设该抛物线的解析式为，
∵与轴交于点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为，
（2）解：由（）得抛物线的解析式为，
∴当时，的最大值为，当时，的最小值为，
∴的取值范围；
由抛物线的解析式，
当时，，
∴，
∴，
∵ ，
∴，即，
∵点是抛物线上一点，
∴，
当时，
解得或（舍去），
当时，
解得或（舍去），
∴的值为或．
【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】
1.（1）解：∵二次函数的图象交轴于，
∴设该二次函数的解析式为：
∵二次函数图象过点
∴将代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
即．
（2）解：∵，
∴这个函数的图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴最值为4，为最大值．
2.（1）解：二次函数图象经过点，，
设二次函数表达式为，
二次函数图象经过点，
，
解得，
二次函数表达式为；
（2）解：由（1）可知二次函数表达式为，
该抛物线的对称轴为直线，
∵，抛物线开口向上，
∴函数有最小值为．
3.（1）解：由已知可设：，
则，得：
进而有
所以抛物线的解析式为：
（2）解：由（1）知：，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则，
解得：
∴的解析式为：，
设点，则点，
则，
而，
∵，
即，
解得：（舍去）或，
即点；
4.（1）解：∵抛物线的表达式为，
∴令，则．
解得，．
∴A点坐标是，B点坐标是；
（2）解：令，则，
∴点P坐标是．
∵抛物线与x轴交于点和点．
∴设抛物线的表达式为．
当点P，N重合时，将点代入，得，
解得．
∴抛物线的表达式为，即．
当时，．
∴抛物线的顶点坐标是；
（3）解：∵抛物线的表达式为，
∴其顶点坐标是．
当点在抛物线上时，，
解得．
令，则．
∴，
设直线的表达式为，
将，代入函数解析式可得，
解得：，
∴直线的表达式为．
当点在线段上时，，
解得．
∵抛物线的顶点落在由线段及抛物线围成的封闭图形内部（不含边界），
∴m的取值范围是．
【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】
1.（1）解：由知顶点坐标为，由知顶点坐标为，
故答案为：，
（2）解：，
∴顶点为，
∵关于x轴的对称点为，
∴抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式为：；
（3）解：当时，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线L的对称轴为直线，
∴点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，即，
解得：（舍）或．
∴．
2.
【分析】先把原抛物线的解析式写成顶点式，得到顶点坐标，根据对称的关系得到新抛物线的顶点坐标，从而得到新抛物线的解析式．
【详解】解：，
∴顶点坐标是，
点关于直线对称的点是，
∴．
故答案为：．
3.
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象关于原点的对称变化规律是解题的关键．
把函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，从而可得，，再代入可得，由此即可得到答案．
【详解】解：把函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，
则，，
代入得：，
，
，
则最小值是，
故答案为：．
4.
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式以及解直角三角形，根据平移的性质得出平移后的抛物线的解析式以及求得点的坐标是解答本题的关键．
首先求得平移后的解析式，进而求得顶点的坐标和点的坐标，解直角三角形求得点到直线的距离，然后根据三角形面积得到结果．
【详解】解：将抛物线：沿轴对称后，向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线：，
，
，
直线为，
要使的面积最小，则点在平行于直线，且与抛物线相切的直线上，

设平行于直线，且抛物线相切的直线为，
解，
整理得，
，
，
，
切线为，
解，得，
，
．
故答案为．