2024-2025学年上海南汇中学高二下学期数学期末试卷（含答案）

南汇中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分36分,每题3分）
1.已知事件，若，，则 .
2.已知集合,且，则实数的取值范围是 .
3.已知，若幂函数是偶函数且在区间上单调递增，则 .
4. 双曲线的渐近线方程是 .
5. 方程的解集为 .
6. 设定义在R上的函数的导函数为，若，则 .
7. 设，方程的解集是 .
8.已知随机变量，a、b是正实数，满足，则的最小值为 .
9.由表格数据得到的线性回归方程为，则此回归方程在样本点处的离差是 .
x 3 4 5 6
y 2.5 m 4 4.5
10. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 .
11.我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是 .
12. 有5个集合：，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则 .
二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分）
13.设,则“”是
“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
14. 某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，如下表所示．若去掉最后一组数据后，下列说法正确的是（ ）.
光照时长 1 2 3 8 10
种子发芽数量y（颗） 4 6 5 11 2
A．相关系数r的绝对值变小 B．相关变量具有负相关关系
C．拟合误差变大 D．解释变量与反应变量的相关性变强
15. 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
16.设有一组圆，下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点；
其中真命题的个数为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）
17．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
已知全集，集合，集合.
（1）当时，求；
（2）设命题，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
已知函数，函数．
（1）函数的图像恒过定点，若函数的图像恰好过点，求实数的值.
（2）若时，设函数在时的值域分别为，求时实数的取值范围．
19．（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛．
（1）设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望；
（2）求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率．
20．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分, 第3小题4分）
已知双曲线，其右顶点为，右焦点为.
（1）求以为焦点的抛物线的标准方程；
（2）已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值；
（3）设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值.
21．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分, 第3小题6分）
已知，，是自然对数的底数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：．
南汇中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分36分,每题3分）
1.已知事件，若，，则 .
【答案】
2.已知集合,且，则实数的取值范围是 .
【答案】
3.已知，若幂函数是偶函数且在区间上单调递增，则 .
【答案】
4. 双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
5. 方程的解集为 .
【答案】
6. 设定义在R上的函数的导函数为，若，则 .
【答案】4050
7. 设，方程的解集是 .
【答案】
8.已知随机变量，a、b是正实数，满足，则的最小值为 .
【答案】
9.由表格数据得到的线性回归方程为，则此回归方程在样本点处的离差是 .
x 3 4 5 6
y 2.5 m 4 4.5
【答案】
10. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 .
【答案】
11.我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是 .
【答案】
12. 有5个集合：，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则 .
【答案】
二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分）
13.设,则“”是
“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
14. 某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，如下表所示．若去掉最后一组数据后，下列说法正确的是（ ）.
光照时长 1 2 3 8 10
种子发芽数量y（颗） 4 6 5 11 2
A．相关系数r的绝对值变小 B．相关变量具有负相关关系
C．拟合误差变大 D．解释变量与反应变量的相关性变强
【答案】D
15. 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
16.设有一组圆，下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点；
其中真命题的个数为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
三、解答题（本大题共有5题，满分52分）
17．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
已知全集，集合，集合.
（1）当时，求；
（2）设命题，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或. （2）
【解析】（1）当时，，
且，则或，
故或.
（2）因为是的充分不必要条件，则是的真子集，
且，，故，即实数的取值范围是.
18．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
已知函数，函数．
（1）函数的图像恒过定点，若函数的图像恰好过点，求实数的值.
（2）若时，设函数在时的值域分别为，求时实数的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）定点，则
（2）时，，∵为上的减函数，
∴当时，，∵，∴，
∴解得，实数k的取值范围是．
19．（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛．
（1）设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望；
（2）求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率．
【答案】（1）分布为，期望． （3）
【解析】（1）的可能取值是0、1、2，且，，，故的分布为，期望．
（2）设事件、、分别表示“10月份的友谊赛中恰有0、1、2名新社员参加比赛”．事件表示“11月参加比赛的社员中恰有1个没有参加友谊赛经验”．
由（1），可知，，．
发生时，5名社员中有2名没有比赛经验，故．
发生时，5名社员中有1名没有比赛经验，故．
发生时，7名社员中有0名没有比赛经验，故．
由全概率公式，得
．
20．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题4分, 第3小题4分）
已知双曲线，其右顶点为，右焦点为.
（1）求以为焦点的抛物线的标准方程；
（2） 已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值；
（3）设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值.
【答案】（1） （2） （3）或．
【解析】（1）
（2）设，则 有，=，由，
当时，.
（3）由题意，直线法向量为，可得直线的斜率为1，
设与直线平行的直线方程为，
联立方程组，整理得，
令，解得，
当时，直线与的距离为；
当时，直线与的距离为，
所以的值或．
21．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分, 第3小题6分）
已知，，是自然对数的底数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：．
【答案】（1）极小值0，无极大值 （2） （3）证明见解析
【解析】（1）当时，，定义域为，则，
令，得，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取到极小值0，无极大值；
（2）方程，显然当时，方程不成立，则，，
若方程有两个不等实根，即与有2个交点，则，
当或时，，在区间和上单调递减，
并且时，，当时，，
当时，，严格增，时，
当时，取得最小值，（1），
作出函数的图象，如下图所示：
与有2个交点，则，
即的取值范围为；
（3）证明：，令，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意，则，，
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，即证，
令，
即，
，
由均值不等式可得，当且仅当，
即时，等号成立，所以函数在上严格增，
由，可得，即，所以，
又函数在上严格减，所以，即得证．