21.5《反比例函数》复习题-- 反比例函数的性质（含答案）沪科版数学九年级上册

21.5《反比例函数》复习题-- 反比例函数的性质
【题型1 比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】
1.反比例函数的图象经过点，，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2.如果反比例函数的图象经过点、，，且，那么和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能比较
3.若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是 ．
4.已知，，，都在反比例函数的图象上，其中，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】
1.已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为 ．（用“”连接）
2.已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系是 ．
3.若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4.若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 求反比例函数中参数的取值范围】
1.如图，当反比例函数的图象将矩形的内部（不含边界）的横、纵坐标都为整数的点分成数量相等的两部分，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为1～4的整数），函数的图象为曲线L，若曲线L使得，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，连接，过A点作双曲线交线段于点D（不与点B、C重合），已知，若，则a的取值范围是 ．
4.如图，位于第二象限，,，直角顶点在直线上，且点的横坐标为，边、分别平行于轴、轴．若双曲线与 的边有个公共点，则的取值范围为 ．
【题型4 求反比例函数中的图形面积】
1.如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（ ）
A． B． C． D．
2.如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　）
A．1 B． C． D．
3.如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于 ．
4.如图，平面直角坐标系中，点为双曲线上任意一点，将点绕原点顺时针旋转后得到点，点在直线上．若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 由图形面积求反比例函数的比例系数】
1.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数的图象于点，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴、点分别在函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为 ．
3.如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点和点，过点作轴于点，连结，，若的面积与的面积相等，则的值是（ ）

A．2 B． C．1 D．4
4.如图，平行四边形的面积为4，顶点A与原点O重合，顶点B在x轴的负半轴上，顶点C，D分别落在反比例函数和的图象上，则k的值等于 ．
【题型6 反比例函数中的规律探究】
1.如图，双曲线与直线相交于点A，B，在直线上取点，，…，依次以，…为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形，…．矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，…．按此规律，则点的坐标为 ．
2.如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
3.如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为 ．
4.如图，在反比例函数的图象上有、B两点，连接，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知，点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；……按照此规律继续进行下去，则的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
【题型7 反比例函数中的存在性问题】
1.如图，已知正比例函数经过点，过点作轴，交反比例函数于点（点在点下方），连接得的面积为．

(1)求的值；
(2)求反比例函数解析式；
(3)在直线上是否存在一点，使得是直角三角形？若有，请求出点的坐标；若没有，请说明理由．
2.一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，过点A作反比例函数图象．
(1)求出a，k的值；
(2)在x轴上是否存在点D，使得，若存在请直接写出坐标，若不存在请说明理由．
3.综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求出点B的坐标及的面积；
(3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4.如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交点于点与轴交于点，轴交于点．
(1)求的值；
(2)连接，求的面积；
(3)在反比例函数图象上存在一点，若点为坐标轴上的一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．
【题型8 反比例函数中的动点问题】
1.已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求直线的解析式；
(2)已知直线与双曲线在第一象限内有一交点Q为；若动点P从A点出发，沿折线的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止，求的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式并画出函数图象；
(3)在（2）的条件下，当时，求t的取值范围．
2.如图所示，已知，为反比例函数图象上的两点，动点在轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
3.如图，等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，．动点D从点A出发，沿运动到点C，反比例函数（）的图象L经过点D，则在点D的运动过程中，下列各点中，图象L经过两次的是（ ）
A． B． C． D．
4.两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点A是的中点时，点B一定是的中点．其中一定正确的是 ．
参考答案
【题型1 比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】
1.D
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、，
函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，
当时，，
点位于第一象限，点位于第三象限，
；
当时，，
点，位于第一象限，
，
，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、，
函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，
，，
点，位于第三象限，
，
，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，
当时，，
点位于第四象限，点位于第二象限，
，
当时，，
，
，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，
，，
点，位于第二象限，
，
，正确，此选项符合题意．
故选：D．
2.A
【分析】先根据反比例函数图象经过点得出，判断此函数图象所在的象限，再根据判断出、所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．
【详解】解：反比例函数图象经过点，
，
此函数的图象在二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，
，
、两点均位于第二象限，
．
故选：．
3.
【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图像是解题的关键．根据判断出反比例函数在一、三象限，由横坐标大小判断即可．
【详解】解：，
反比例函数在一、三象限，
故在每个象限内，随的增大而减小，
位于第三象限，
，
故答案为：．
4.C
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，正确求出反比例函数解析式是解题关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出，从而得到反比例函数图象经过第二、四象限，且在第二象限内，随的增大而增大，即可得到答案．
【详解】解：，，在反比例函数的图象上，
，
解得：，
反比例函数图象位于第二、四象限，且在第二象限内，随的增大而增大，
，都在反比例函数的图象上，且，
，
故选：C．
【题型2 比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】
1.
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
先确定反比例函数图象所在象限及单调性． 根据判断点、在第四象限，点在第二象限． 利用单调性得出、、的大小关系即可．
【详解】∵反比例函数，，
∴图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∵，
∴点在第二象限，
∴，
∵，
∴点，在第四象限，且在第四象限随的增大而增大，
∴ ，而第四象限的值大于，
∴．
故答案为：．
2.
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，先判断，可知反比例函数的图象在二、四象限，再利用函数性质可得答案，理解“在每个象限内，随的增大而减小”以及图象法是解决问题的关键．
【详解】解：，
反比例函数（a是常数）的图象在二、四象限，
在每一象限内，随的增大而增大，
∵
∴在第四象限，，在第二象限，
∴，，
即，
故答案为：．
3.D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数解析式，求出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
故选：D．
4.C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小再根据性质判定大小即可．
【详解】解：∵反比例函数，
∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
∵，
∴点A在第三象限，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：C．
【题型3 求反比例函数中参数的取值范围】
1.D
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图像，整数点的问题，解题的关键是要找到临界状态．
先找出矩形内部整数点共8个，然后找到两个临界位置，求出对应的比例系数k，即可求出取值范围．
【详解】解：矩形内的整数点有，
∴当反比例函数图像经过点时，此时，
当反比例函数图像经过点时，此时，
∴时，图像下方有点，图像上方有，
故选：D．
2.D
【分析】
先求出四个点的坐标，分别求出过个点时的值，可得结果．
【详解】解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴，
∴当过点时，，
当过点时，，
∴若曲线L使得，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，k的取值范围是：；
故选D．
3.
【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及解不等式．先求出双曲线解析式，由题意可用a表示出D点坐标．即可求出和的长．再由线段与双曲线有交点且与点B、C不重合和可列出不等式，解出不等式即可求出a的取值范围．
【详解】解：由题意可知点A在双曲线上，
∴将点A坐标代入双曲线解析式得：，
解得：．
即双曲线解析式为，
∵，，
∴轴，
∴D点纵坐标为a，
将D点纵坐标代入双曲线解析式得：，
即，
∴D点坐标为．
∵线段与双曲线有交点且与点B、C不重合，
∴，
解得：．
∵，，且．
∴．
∴．
综上可知．
故答案为：．
4.
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象交点问题，根据所给的信息观察图象是解题的关键．
利用的横坐标为，代入后求出的坐标，再根据,，可得和的坐标，设直线与的交点坐标为，求出的坐标后，观察图象即可得到结果．
【详解】解：∵的横坐标为，
∴把代入可得：，
∴，
∵,，
∴，，
设直线与的交点坐标为，则为的中点，如图所示：
∴，
反比例函数图象经过或时，，
反比例函数经过点时，，
由图像可得：双曲线与 的边有个公共点，则的取值范围为；
故答案为：．
【题型4 求反比例函数中的图形面积】
1.D
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据和都是等腰直角三角形可得出、，设，，则点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，再根据三角形的面积即可得出与的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
设，，
则点的坐标为，
∵反比例函数在第一象限的图象经过点，
∴，
∴，
故答案为：．
2.C
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．设，即可求出点A，点B的坐标从而求出面积．
【详解】解： P在反比例函数图象上，
设，
点A，点B在反比例函数图象上，
过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，
，
，
．
故选C．
3.1
【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键．延长交轴于点，连接、，根据反比例函数中的几何意义得到，，从而推出，最后利用和同底等高即可得到答案．
【详解】解：延长交轴于点，连接、，如图
点在双曲线上，点在双曲线上，且轴
，
和同底等高
故答案为：1．
4.B
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接，得到是等边三角形，得到点重合，设，得到，，得出，因为是等边三角形，得到的高为，根据三角形面积公式计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
将点绕原点顺时针旋转后得到点，
，，
是等边三角形，
，
，
点重合，
设，
点为双曲线上任意一点，点在直线，
，，
，，
是等边三角形，
设边上的高为，
，
，
故选：B．
【题型5 由图形面积求反比例函数的比例系数】
1.D
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，反比例函数的几何意义，根据，得到，是解答本题的关键．过B点作于E点，根据旋转的性质可得：，，即有是等边三角形，则有，得出，根据，可得，即可求解．
【详解】解：过B点作于E点，如图，
根据旋转的性质可得：，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，则
∵，
∴，
∵，
∴，
∵反比例函数图象在第二象限，则，
∴，
故选：D．
2.
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，连接，利用平行线间的距离相等，即可求得，利用反比例函数系数的几何意义得出，，即可得出即 ，与构成方程组，解方程组即可求解，明确是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵的顶点在轴上，垂直于轴，
∴轴，
∴，
∵点分别在函数和的图象上，
∴，，
∴，
∴，
∵，
得，即 ，
故答案为：．
3.D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．过点作轴于点，先根据一次函数的解析式求出，再根据反比例函数可得的面积为1，利用三角形的面积公式可得，从而可得点的坐标，代入计算即可得．
【详解】解：如图，过点作轴于点，

对于一次函数，
当时，，即，
∵点位于反比例函数的图象上，且轴于点，
∴的面积为，
∵的面积与的面积相等，
∴，即，
∴，
将代入一次函数得：，
∴，
将点代入反比例函数得：，
故选：D．
4.
【分析】延长交y轴于E，过点C，轴于点F，过点D作轴于点G，根据矩形的性质结合反比例函数系数k的几何意义即可得出矩形的面积为5，矩形的面积为，结合平行四边形的面积为4，可得k值．
【详解】解：延长交y轴于E，过点C，轴于点F，过点D作轴于点G，如图所示：
则，
根据反比例函数k的几何意义：矩形的面积为5，矩形的面积为，
∵四边形为平行四边形，
∴轴，
∴四边形为平行四边形，
∵平行四边形的面积为4，
∴平行四边形的面积为4，
∴，
∵，
∴解得：，
故答案为：．
【题型6 反比例函数中的规律探究】
1.
【分析】本题主要考查了坐标规律探索，反比例函数的性质，根据题意得出每个矩形上都有4个点，根据，得出点在矩形上，且在第一象限内，先根据规律得出横坐标，然后将横坐标代入反比例函数解析式，求出结果即可．
【详解】解：根据题意可知：在矩形上，在矩形上，,在矩形上，因此每个矩形上都有4个点，
∵，
∴点在矩形上，且在第一象限内，
∴横坐标为，
把代入得：，
∴．
故答案为：．
2.A
【分析】先根据题意得出P1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P2，P3的坐标，找出规律即可得出结论．
【详解】解：∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴P1（1，1），
∴k=1，
∴在反比例函数的解析式为：y=，
∵B1是P1A的中点，
∴P2A1=AB1=，
∴OA1=2，
∴P2（2，），
同理，P3（22，），
…
∴Pn（2n-1，）．
当时，则有
的坐标为：（，）
故选：A．
3.
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点的应用，依次代入求出各个点的坐标事解此题的关键，此题是一个中档题目，难度适中．根据反比例函数图象上点的特点依次代入求出、、、的坐标，即可得出的纵坐标，代入即可求出答案．
【详解】解：把代入得：，
即，
所以点的纵坐标是4，
把代入得：，
即，
所以的横坐标是2，
把代入得：，
即，
所以的纵坐标是2，
把代入得：，
即，
所以的横坐标是4，
把代入得：，
即，
所以的纵坐标是1，
把代入得：，
即，
故答案为：．
4.
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先求出，得到，，，进而求出，得到，则，根据梯形面积公式求出，再分别求出 ，，进而得到规律，，则．
【详解】解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵轴，
∴点B的纵坐标为1，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
……，
以此类推可知，，，
∴，
故答案为：．
【题型7 反比例函数中的存在性问题】
1.（1）解：∵正比例函数经过点，
∴
∴；
（2）解：∵轴，的面积为
∴设点B的横坐标为
∴
∴
∴
∴
设反比例函数解析式为
将代入得，
∴
∴反比例函数解析式为；
（3）解：∵点C在直线上
∴设
如图所示，当时，即

∵轴，
∴轴
∴
∴
∴；
如图所示，当时，

∴
∴
整理得，
解得或（舍去）
∴．
综上所述，点的坐标为或．
2.（1）解：把点代入，得：，
∴，
∴；
（2）解∶ ①当点在轴的正半轴上时，
∵，
∴，
∴轴，
∵
∴；
②当点在轴的负半轴上时，设交轴与点，
∵，
∴，
设，
∴，解得：，
∴，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∴当时，，
∴，
∴或．
3.（1）解：把，代入，得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）联立，解得：或，
∴，
∵，当时，，
∴，
∴；
（3）存在，设点，
∵，，
∴，
∵点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形，
①当为斜边时：，解得：；
②当为斜边时：，解得：；
∴或．
4.（1）解：∵直线图象过点，与轴交于点，
∴，，
∴，，
∴点，
∵反比例函数的图象过点，
∴；
（2）解：如图，
由（）得，
∴一次函数解析式为，
当时，，
∴点，
∴，
∴的面积为；
（3）解：当点在轴上时，设点，点，
∵以为顶点的四边形为平行四边形，
∴和是对角线，且互相平分，
∴，
∴，
∴点，
∴，
∴，
∴点，
当点在轴上时，设点，点，
若为对角线，
则，，
∴，，
∴点，
若为对角线，
则，，
∴，，
∴点，
此时点在的延长线上，不合题意舍去，
当为对角线时，同理可求点，点，
综上所述：点或或．
【题型8 反比例函数中的动点问题】
1.（1）解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴．
设直线的解析式为，将、代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）∵在直线上，
∴，
又∵双曲线过Q，
∴，
∴，
②当时，，
过Q作，垂足为D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
当时，，
过Q作，垂足为E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
综上所述，．
如图，
（3）把代入，得，．
把代入，得，．
结合图象可知，当时，t的取值范围是或．
2.D
【分析】连接交x轴于点，当A、B、共线时取等号，即点P与点重合，此时线段与线段之差达到最大，利用待定系数法求得直线的表达式，然后令求解即可．
【详解】解：连接交x轴于点，则，当A、B、共线时取等号，即点P与点重合，此时线段与线段之差达到最大，

∵，为反比例函数图象上的两点，
∴，，则，，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴，
令，由得，
∴，
故选：D．
3.C
【分析】求出点C的坐标，根据点D的运动路线，分析得到k的取值范围公共部分是，再对选项进行分析即可得到答案．此题考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
【详解】解：∵等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，，
∴轴，轴，
∴点C的坐标为，
当点D在线段上运动时，点D的横坐标是1，纵坐标的范围为，
此时k的取值范围为，
当点D在线段上运动时，点D的纵坐标是2，横坐标的范围为，
此时k的取值范围为，
∴k的取值范围公共部分是，
∴点B是线段和的公共端点，点C是线段的端点，
∴和只会被经过一次，
∵，6不在在内，
∴图象L不可能经过两次，
∵，4在内，且不是线段和的端点，
∴图象L经过两次的是，
故选：C
4.①②④
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数的图象等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得出，即可判断①正确；利用分割图形求面积法即可得出四边形的面积为，即可判断②正确；设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，求出的长度，可得出与的关系无法确定，即可判断③错误；连接，由点是的中点可得，结合，可得，从而可得，即可判断④正确．
【详解】解：∵点均在反比例函数的图象上，且轴，轴，
∴，，
∴，结论①正确；
∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴，
∴，
∴，
即四边形的面积不会发生变化，结论②正确；
设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，
，，
与的关系无法确定，结论③错误；
如图，连接，
点是的中点，
，
，，
，即，
，
∴点一定是的中点，结论④正确；
综上，正确的结论有①②④，
故答案为：①②④．