21.4《二次函数的应用》小节复习题（含答案）沪科版数学九年级上册
文档属性
| 名称 | 21.4《二次函数的应用》小节复习题（含答案）沪科版数学九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-14 00:44:41 | ||
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文档简介
21.4《二次函数的应用》小节复习题
【题型1 销售问题】
1.某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动个百分点（即销售价格），经过市场调研发现，这种商品的日销售量（单位：件）与销售价格浮动的百分点之间的函数关系为．若该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利．
(1)求该公司生产销售每件商品的成本为多少元；
(2)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润=（销售价格-成本）日销售量．）
(3)该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于时，扣除捐赠后的日销售利润随的增大而减小，直接写出的取值范围．
2.2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
3.为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
4.现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植棵甲果树（为正整数），每年所获得的利润（元）与之间的函数关系式为，且当时，；种植棵乙果树（为正整数），已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分组成，人工成本与的平方成正比，物资成本与成正比，其他成本不变为80元．若乙果树每棵每年可收入800元，种植乙果树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据：
（棵） 10 40
（元） 4920 7920
(1)求出关于，关于的函数关系式；
(2)若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大？最大是多少？
【题型2 拱门问题】
1.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1是某高铁站的一个检票口，其大致示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线（点O与点Q关于抛物线的对称轴对称），，四边形区域为检票区域，点A与点B在抛物线上，已知检票闸机高，均与垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、N、D、Q在一条水平直线上，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（a为常数，且）．
(1)求a的值和抛物线的对称轴；
(2)已知闸机与之间的区域为应急通道，闸机与之间的区域为人工检票通道，闸机与之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为（即，求自动检票通道的总宽度．（闸机宽度忽略不计）
2.合肥老城西大门有一处城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（四边形为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立直角坐标系．
(1)求出上半部分抛物线的函数表达式；
(2)有一辆宽3.2米，高4.6米的货车需要通过该城门进入城区（城门处为单向行驶道），请通过计算判断该货车能否安全通行．
(3)由于城门年久失修，需要搭建一个矩形巩固门（矩形），该巩固门关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中为三根承重钢支架，点D在抛物线上，B、C在地面上，已知钢支架每米200元，问搭建这样一个矩形巩固门，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
3.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小．
4.如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．
(1)拱门上的点的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离 2 3 6 8 10 12
竖直高度 4 5.4 7.2 6.4 4 0
根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系．
(2)一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为，“新拱门”的跨度为，则__________填“”、“”或“”）．
【题型3 投球问题】
1.2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米．建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；
(3)运动员在第二次击球时仍然在点P处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为，网球在距球网右侧水平距离2米时，离地面的高度不低于4米，且网球落在对方区域内（含边界），求m的最大值．
2.如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ．
3.某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明．
4.如图，为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为m，球网距离球场左、右边界均为9m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为m，当排球运动到水平距离球网3m时达到最大高度m，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)当时，
①求抛物线的表达式；
②求排球是否能过球网？是否出边界？
(2)若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），直接写出的取值范围．
【题型4 拱桥问题】
1.图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为轴建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当该河段水位再涨达到最高时，有一艘货船它露出水面高，船体宽，需要从拱桥下通过，请通过计算判断该货船是否能顺利通行．
(3)为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小于（此时水面是指（2）中最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．请设计悬挂方案，并说明悬挂的灯笼数量最多可以是多少个．
2.如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
3.一座拱桥其中一段的横截面为抛物线型，如图所示，线段表示水面，桥墩跨度为，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：左右两边的桥墩相同，高度，抛物线的顶点到轴的距离是．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)节日为了庆祝，决定在该桥上共挂三串彩灯，第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上，另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面，求挂设的三串彩灯，，长度和的最大值．
4.赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在河面上，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面为横坐标建立坐标，水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米．
(1)请你求出二次函数的表达式．
(2)在二次函数的对称轴上，是否存在一点，使得的值最小，若有，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似的看成长14米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明．
【题型5 隧道问题】
1.现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线段表示水平的路面，点为的中点，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度米，该抛物线的顶点到的距离为9米．
(1)求该隧道截面所在抛物线的函数表达式；
(2)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米，宽度为3米的长方形电子显示屏，确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求．
2.如图1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道．如图2是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其中O为的中点，隧道的净高度米．（参考数据：）
(1)求该抛物线的解析式．
(2)如果一货运汽车装载货物后的高度为4.6米，宽度为2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由．
3.白鹿原隧道被称为“中国最大断面黄土隧道”，它的截面近似看作抛物线，某数学课题学习小组，为了研究隧道的截面，建立如图坐标系，已知隧道的净宽约为18米，净高（即抛物线最高点到地面的距离）约为12米．在隧道施工过程中，需要一个“凸”字形的支架支撑隧道的顶部，支架的下部分和上部分都分别由矩形和矩形组成，已知下部分矩形的长米，上部分矩形的长宽比（即），点A，D，E，H都在抛物线上．根据以上信息解决问题．
(1)求隧道截面抛物线的解析式；
(2)请确定支撑点的位置（即点的坐标）．
4.天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
【题型6 喷水问题】
1.某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米，与的数量变化有一定规律．
【提出问题】
喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米与距喷水的柱子的水平距离米，与之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据：
（米） … 0 1 2 3 4 …
（米） … 2 2 …
【解决问题】
(1)在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
(2)已知与之间存在已学过的某种函数关系，请结合表中所给数据和所画出的图象，求出与之间的函数关系式；
(3)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过．如果游船宽度为米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于米，问游船能否顺利通过？说明理由．
(4)如图2，若从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏．这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏？（结果保留）
2.项目学习实践
项目主题：合理设置智慧洒水车喷头
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习．
任务一：测量建模
利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米；
（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式；
任务二：推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标；
任务三：实践探究
如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米．
（3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由．
3.为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分．
(1)求a的值．
(2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时消防车该如何行进，才能使喷出的水流灭掉该起火点？
(3)若火势蔓延到距离地面米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？（提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移）
4.在节假日期间，濮阳龙湖论语广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀．随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边18米．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为．
(1)若，
①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？
②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值；
(2)当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线上，喷出的水不能触及岸边．请直接写出此时的取值范围．
【题型7 跳跃问题】
1.学科实践
【任务驱动】：2024年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于4月19日至21日在中国陕西省西安市成功举办，中国国家跳水队以8金1银总奖牌9枚完美收官，进一步激发各地跳水运动员训练的热情，数学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查．
【研究步骤】：如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与y轴交于点，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点开始做翻腾、打开动作．正常情况下，运动员在距水面高度米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
【问题解决】：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务．
（1）直接写出运动员在空中最高处点的坐标及入水处点的坐标．
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与轴的水平距离为米，问该运动员此次跳水会不会失误？说明理由．
（）在该运动员入水处点正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的解析式为．若该运动员出水处点在之间（包括，两点），请求出的取值范围．
2.中考体育考试规定男生立定跳远满分为，如图①，小勇立定跳远为，小聪发现小勇立定跳远时脚的运动轨迹可近似看作抛物线，通过电子仪器测量得到小勇跳远时脚离地面的最高距离为，如图②，以小勇起跳点为原点建立平面直角坐标系，小勇落地点为A，最高点为B．
(1)求小勇跳远时抛物线的表达式；
(2)体育老师告诉小勇他的跳远姿势不对，调整跳远姿势后，小勇恰好跳到了处，并在处通过电子仪器测得小勇脚离地面的高度为．
①求小勇跳到最高处时脚离地面的高度；
②若男生立定跳远及格线为，求小勇在立定跳远过程中到及格线时脚离地面的高度．
3.如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此 抛物线篮球可准确落入篮圈．
(1)求篮圈中心到地面的距离为多少米．
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
(3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案）
4.某游戏爱好者设计了一款“袋鼠跳”的游戏．其中某一环节的游戏规则为：袋鼠需按同一角度、方向和力度完成两段连续跳跃（两段跳跃的运动轨迹呈现的抛物线形状相同），若跳跃后到达点处即可通关，否则不能通关．如图，袋鼠运动轨迹近似为抛物线的一部分，已知袋鼠第一段（）跳跃轨迹的最高点到地面的距离为，与起跳点的水平距离为，点与起跳点的水平距离为；点与点的水平距离为，点到地面的距离为．以起跳点为原点，地面所在水平方向为轴，过点垂直于轴的方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该袋鼠第一段（）跳跃的运动轨迹所在抛物线的函数表达式；
(2)请判断该袋鼠是否能通关，并说明理由．
【题型8 实物问题】
1.【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
在大自然里，有很多数学的奥秘．如图是一片美丽的心形叶片，图是一棵生长的幼苗，它们的叶片形状都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
(1)如图，建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分．已知该图象过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标．
【探究二】探究心形叶片的宽度
(2)如图，在的条件下，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点求叶片此处的宽度．
【探究三】探究幼苗叶片的长度
(3)小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的抛物线．已知直线点为叶尖与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度．
2.某校为准备建校二十周年庆典活动，在操场上布置一个舞台，需要搭一条抛物线型灯链，最初的设计方案如图1所示，灯链两端连接等高的，两点，点、分别位于点、正下方的地面处，且、的水平距离为米．点在线段上，且米．以为原点，以所在直线为轴，垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，点为抛物线与轴交点，图描画的是部分抛物线图象，点，点．
(1)求图2中第二象限内的抛物线表达式；（不必写出自变量的取值范围）
(2)为使灯链造型更加美观，对方案进行修改：以轴为对称轴构造段抛物线的轴对称图形，形成一个“类组合抛物线”．
①直接写出第一象限内的抛物线表达式；（不必写出自变量的取值范围）
②若在组合抛物线灯链上挂两个灯笼，且两灯笼离地面的高度均为米，求两个灯笼之间的最大水平距离．
3.如图，这是型滑板场地轨道示意图，两侧和是各自所在抛物线的一部分，分别为其所在抛物线的最低点，且轨道和所在抛物线的形状相同，其中 ．为了确保场地安全，需在轨道左侧和右侧进行加固，安装统一规格的支架，两侧的支架完全一致，其中左侧的支架由四段构成，右侧的支架由四段构成．以线段所在直线为轴，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求轨道所在抛物线的函数表达式．
(2)支架的要求为垂直于线段所在的直线，平行于线段所在的直线，且．请通过计算，确定轨道两侧需要的支架材料的最短长度．
4.问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；
(3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．
【题型9 情境问题】
1.综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________.
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
2.综合与实践问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下(忽略空气阻力)，物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度与距投放点的水平距离之间的函数表达式为．其中，表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离(单位：米)，表示投放物资时无人机的水平初速度(单位：米/秒)，取为米/秒．
实践探究：如图，号无人机在空中以米/秒的速度向平坦地面投放物资，号无人机在号无人机竖直上方米处以米/秒的速度，投放物资，已知号，号无人机及物资，的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系，物资的运动路径即为抛物线，物资的运动路径即为抛物线．
问题解决：
(1)请结合图中相关数据，求抛物线的函数表达式；
(2)请求出两物资落点间的水平距离；
(3)多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题．
①若，号无人机同时投放物资A，B，请直接写出两物资相撞时与水平地面的竖直距离；
②由于实际投放需求，，号无人机需同时投放物资，，且物资落点不变，为避免，两物资相撞，在保持，号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求号无人机投放物资的水平初速度的取值范围（两无人机不能在同一点同时投放）．
3.综合与实践
【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图，运动会火炬手小明需要用火种点燃的箭头，然后射向距离发射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，且垂直平分这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为d（单位：m），距地面的竖直高度为h（单位：m）．获得的数据如表：
0 10 20 30 40 50 60 70
k
【问题解决】
(1)k的值为 ．
(2)在平面直角坐标系中，描点，并用平滑的曲线将8个点依次连接；
(3)求出h与d的函数解析式；
(4)小明射出的箭的运动轨迹与线段有公共点时，说明这支箭就可以射入点火台内了，请判断小明射出的箭是否射入了点火台内？说明理由．
4.问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．玥玥同学设计的方案如下：
第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段上取点（不与重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了玥玥的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩9米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完9米材料，需确定与的长．为此，如图3建立平面直角坐标系．解决问题：
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当9米材料恰好用完时，分别求与的长；
(3)种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．求符合设计要求的矩形周长的最大值．
【题型10 图表问题】
1.为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具．
采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为．
设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中．
确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
2.随着城市短距离出行需求的变化，共享滑板车成为一种新兴的出行方式．某共享出行公司在A、B两个区域投放共享滑板车，相关信息如下：
信息1 A区域初始投放了100辆共享滑板车，B区域初始投放了20辆．将一辆滑板车从A区域调配到B区域，包含车辆运输与系统重置在内，成本为100元；公司基于运营数据和区域需求预测，规定每次只能从A区域向B区域调配滑板车，且调配数量不能超过20辆
信息2 B区域共享滑板车的日租借率会随着从A区域调配来的滑板车数量变化．当从A区域调配x辆滑板车到B区域时，B区域共享滑板车的日租借率为，但受限于B区域的停车空间和市场容量，日租借率最高不超过
信息3 每辆共享滑板车成功租借一次，公司可获得10元收入
问题1 在信息一的条件下，若从A区域调配x辆滑板车到B区域，用含x的式子表示调配这些滑板车的总成本y（元），并写出x的取值范围
问题2 在满足信息二的条件下，求B区域共享滑板车的公司日租借收入W关于x的函数关系式，并求出公司日租借收入W的最大值．
问题3 公司为激励运维团队在滑板车调配工作中的积极性，制定了两种奖励方案： 方案一：每调配一辆滑板车，奖励负责调配的运维人员40元． 方案二：一次性给予运维团队800元奖励． 请计算并分析在不同调配数量下，选择哪种方案对运维团队更有利？
3.综合与实践
项目式学习：安全用电，防患未然
项目背景 近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约的火灾都在充电时发生．某校八年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
素材1 调查分析：图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2是其喷射截面示意图，在中，米，喷嘴O到地面的距离米．
素材2 模型构建：由于干粉灭火器只能扑灭明火，不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头，如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线． 学校的停车棚左侧靠墙建造，如图4，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知消防喷淋头的出水口M到墙面的水平距离为2米，到地面高度为米，即米，米，水喷射到墙面D处，且米．
素材3 问题解决：已知车棚宽度为8米，电动车的电池距离地面高度为米．创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池．
任务解决
任务1 （1）求图2中地面有效保护直径的长度；
任务2 （2）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （3）按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为多少米？
任务3 （4）喷淋头N距离喷淋头M至少为多少米？
4.根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人： （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．
素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为6m，绳子最高点为2m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高（m）1.701.731.751.80人数2241
素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：（1）跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适： （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
问题解决
（1）任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．
（2）任务2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
（3）任务3：方案优化改进，据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整，班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m．此时中段长绳将贴地形成一条线段（线段），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．
参考答案
【题型1 销售问题】
1.（1）解：设该公司生产销售每件商品的成本为元，由题意得
，
解得：，
答：该公司生产销售每件商品的成本为元；
（2）解：由题意得
，
整理得：，
解得：，，
当时，
（元），
当时，
（元），
答：当实际销售价格定为元或元时，日销售利润为660元；
（3）解：设捐赠后的日销售利润为元，由题意得
，
对称轴为直线，
当价格浮动的百分点大于时，扣除捐赠后的日销售利润随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
，
解得：，
，
．
2.（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，
由题意得，，
解得，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）解：由题意得，
，
∵，
∴当，即时，W最大，最大值为4500．
3.（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件；
故答案为：；
（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得：，
整理可得：，
解得：，
由于要让利于游客，舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则
，
∵，
∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元，
答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
4.（1）解：∵当时，元，
∴，
∴，
∴；
由题意得：，
由表格可得：当时，，当时，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设每年的总利润为W元，则，
由题意：，
∴
，
∵，
∴当时，W有最大值，但x为正整数，抛物线的对称轴为直线，
∴当或18时，W有最大值，W的最大值为14548元，
∴当种植17棵或18甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元．
【题型2 拱门问题】
1.（1）解：根据题意可得，
把代入到中得，解得．
∴抛物线的函数关系式为，
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）解：令，得，解得，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∴．
∵，
∴，
即自动检票通道的总宽度为．
2.（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：由（1）可得，抛物线的对称轴为直线，
∵一辆宽3.2米，高4.6米的货车需要通过该城门进入城区，
∴当时，，
该货车能安全通行；
（3）解：，
设点的横坐标为，的长度为，则，
对称轴为直线，则，即，，
，
当，最大，，
（元），
答：最多需要花费2600元．
3.（1）解：由题意知：，，
方案一中抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
把代入得，，
解得：，
，
方案一中抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，令，
可得：，
解得：或，
，
，
，
．
4.（1）解：由表格得：
，
顶点坐标为，
，
，
解得：，
．
（2）解：由表格得
当时，，
原拱门中：（）；
新拱门中：
当时，
解得：，，
（），
，
．
故答案：．
【题型3 投球问题】
1.（1）解：网球飞行过程中在点处达到最高，
设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下：
∵，
当时，，
网球越过球网，
当时，，
网球落在对方区域；
此次击球越过球网并落在对方区域内；
（3）解：把代入，得：，
，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
，
的最大值为．
2.
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可，
【详解】解：由题意，，
得，
将代入，
得：，
解得：，
∴，
令，得，
解得：，，
∴为，
故答案为：．
3.（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，即
（2）解：能，理由如下：
当时，，
当时，，
解得（舍去），，
∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处，
∴小明抛出的乒乓球能投入箱子.
4.（1）解：①因为排球飞行到距离球网时达到最大高度，，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得，
∴；
②当时， ，
∴可以过球网，
当时，，
∴排球不出边界；
（2）解：设击出的排球轨迹为，
当该轨迹经过球网的顶端坐标时，
，
解得，
∴，
令得，即此时；
当该轨迹经过右边界的坐标时，
，
解得，
∴，
令得，即此时；
∴若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），h的取值范围是．
【题型4 拱桥问题】
1.（1）解：由题意可知点B的坐标为，
设函数关系式为，代入得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
（2）解：如图，设圆心为M，设圆的半径为r米，由题意得于点C，于点T，连接，
则米，
∴，解得米，
根据题意可知，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴能顺利通行，船航行线路是船的中心线沿航行；
（3）解：∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，
∴当悬挂点的纵坐标，
即悬挂点的纵坐标的最小值是，
当时，，
∴，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：；
方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼，
方案二：从距顶点处开始挂灯笼，如图4，
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
2.解：建立平面直角坐标系，如图所示：
则抛物线顶点坐标为，，即，
设该抛物线的表达式为，
将代入得，
解得，
该抛物线的表达式为．
3.（1）解：∵线段表示水面，桥墩跨度为，抛物线的顶点到轴的距离是．
∴，抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线的函数表达式，
∵高度，
∴把代入，
得，
解得，
∴该抛物线的函数表达式，
（2）解：由（1）得，对称轴为直线，
∵第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上，
设点，
∵点，关于对称轴对称，
则，
∴，
∵另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面，
∴，
∴
∵，
∴当时，有最大值，最大值为31.6米．
4.（1）解：水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米．
，
可设二次函数的表达式为，
将代入得，，解得：，
二次函数的表达式为
（2）解：存在，理由如下：
如图，由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小．
由题意得，
设直线的解析式为，则有，
解得，
直线的解析式为．
抛物线的对称轴，
将代入，得，
；
（3）解：水面离桥拱顶点的高度为7米，即水面。
将代入得：
，
，
水面宽度：，
船高2.5米，水面, 桥拱。
船顶高度：，
桥拱在(船半宽)处的高度：，
，且，
游船能正常通过．
【题型5 隧道问题】
1.（1）解：由题意得抛物线的顶点为，
设该隧道截面所在抛物线的函数表达式为，
，
．
将代入，得，
解得．
该隧道截面所在抛物线的函数表达式为，
（2）解：满足安装设计要求，过程如下．
依题意米，米．
如图，延长交抛物线于点．
当米时，则．
把代入，得．
点到地面距离为（米）．
，
满足安装设计要求．
2.（1）解：∵O为的中点，，
∴，
∴，
设抛物线解析式为，
则，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，，，
∴，
∴，
∴当时，，
∴左侧车道不能通过，
当时，，
∴右侧车道能通过，
∴该货车应按右侧车道行驶能通过．
3.（1）解：由题意得，抛物线最高点到地面的距离约为12米，
∴，，
设抛物线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵矩形和矩形，
∴设抛物线的对称轴交于点，交于点，交于点，如图，
∴，
∴，
当时，，
∴米，，
∵，
∴设，，则，
∴点的纵坐标为，横坐标为，
∴点，
∵点在抛物线上，
∴，
整理得，
解得或(舍去)，
∴点．
4.（1）解：由题意得，顶点为，即，
设抛物线的解析式为：
代入点得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：能安全通过，理由如下：
如图，
由题意得：，
将代入，
则，
∵，
∴能安全通过．
【题型6 喷水问题】
1.（1）解：描点、连线、图象如图；
；
（2）解：该函数是二次函数，由和可知，抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴水柱最高点距离湖面的高度是米；
由图象可得，顶点，
设二次函数的关系式为，
把代入可得，
∴；
将和代入抛物线关系式，左边等于右边，所有的点都在二次函数图象上，
∴可以确认该函数是二次函数，
∴与之间的函数关系式为；
（3）解：游船宽度米，在抛物线的正下方通过，令，
代入（2）中所得抛物线解析式得，
由已知，顶棚到水面的高度为2米，顶棚到水柱的垂直距离不小于米，
∴，
∵，
∴不能正常通过；
（4）解：当时，即，
解得（舍去）或，
∵喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，
∴圆的半径至少为（米），
∴至少需要准备栏杆（米），
∴公园至少需要准备米的护栏．
2.解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
，
解得：，
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
（2）∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，
当时，
解得，（舍去），
∴
∴点B的坐标为；
（3）∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米，
则（米）
∴点F的坐标为，
当时，，
当时，y随x的增大而减小，
∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．
3.（1）解：根据题意得喷水口在抛物线上，
代入中，
得，
解得：；
（2）解：∵，
∴抛物线解析式为：，
∵该楼距离地面米处出现一个起火点，
∴代入抛物线中，
得：，
整理：，
解得：，都大于0，
∴消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点；
（3）解：∵伸缩臂与水平方向的夹角为，且，
设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米．
则长伸缩臂后新抛物线的解析式为：，
根据题意得：
当时， ，即，
解得：，
当时， ，伸缩臂长为米，
∵，符合题意．
当时， ，伸缩臂长为米，
∵， 不符合题意，舍去．
故伸缩臂应伸长米．
4.（1）解：∵
∴，
①∵喷出的水恰好达到岸边
∴抛物线过，
∵抛物线过原点，
∴抛物线的对称轴是直线，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴当时，，
∴抛物线水线最大高度是米；
②∵抛物线水线最大高度达4米，
∴抛物线顶点的纵坐标为，
当 时，，
解得：，
∴抛物线的顶点是，
∴，
∵抛物线过原点，
∴，
解得，
∴，
∴，．
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴，
解得：，
∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边，
∴，即，
解得．
【题型7 跳跃问题】
1.解：（1）∵，
∴点A的坐标为，
当时，，
解得或(舍去)，
点B的坐标为
（2）∵运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y轴的水平距离为3米，
∴运动员调整好入水姿势的点的横坐标为3，
∴当时，，
∴调整点的坐标为，
∴运动员此时距离水面高度为（米）
∵，
∴运动员此次跳水不会失误；
（3）∵，，
∵.
∵人水处点，
∴，①
当抛物线经过点M时，，②
由①②联立方程组，解得；
当抛物线经过点N时，，③
由①③联立方程组，解得
∵出水处点D在之间(包括M，N两点)，
∴
2.（1）解：由题意可知，
∵点为最高点，则
∴，
设小勇跳远时抛物线的表达式，
将代入表达式可得：，解得：，
∴小勇跳远时抛物线的表达式为：，
即：；
（2）①由题意可知，调整跳远姿势后，小勇跳远时抛物线过，，
设调整跳远姿势后，小勇跳远时抛物线为，
将代入表达式可得：，解得：，
∴，
当时，有最大值0.625，
∴小勇跳到最高处时脚离地面的高度；
②当时，，
∴求小勇在立定跳远过程中到及格线时脚离地面的高度．
3.（1）解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为，
在中，令得，
篮圈中心的纵坐标为3.05，
篮圈中心到地面的距离为3.05米；
（2）解：设球出手时，他跳离地面的高度是米，则出手点坐标为，
，
解得，
球出手时，他跳离地面的高度是0.2米；
（3）解：在中，令得：，
解得（舍去）或，
，
两名运动员之间的距离不能超过1米．
4.（1）解：由题意知，袋鼠第一段（）跳跃的运动轨迹所在抛物线的顶点为，且抛物线过点，
设该抛物线的解析式为，将点代入得：
，
解得：，
袋鼠第一段（）跳跃的运动轨迹所在抛物线的函数表达式为；
（2）该袋鼠不能通关，理由如下：
当时，，
，
第一次跳跃的抛物线起点为，终点为，第二次跳跃的抛物线起点也是，
第二次跳跃的抛物线是由第一次跳跃的抛物线向右平移个单位，在向上平移个单位得到，第二次跳跃的抛物线顶点为，
又 ，
根据题意，该袋鼠第二次跳跃的运动轨迹所在抛物线的函数表达式为，
当时，，
该袋鼠跳跃后不能到达点处，故该袋鼠不能通关．
【题型8 实物问题】
1.解：心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且图象过原点，将代入得：
，解得：，
抛物线的解析式为，
顶点的坐标为；
抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，
当时得：，
解得：，，
点的坐标为，
点，关于直线对称，
，
直线与轴的正半轴的夹角，
，
可设的解析式为，将点的坐标代入得：，解得：，
的解析式为，
联立得：，
解得：，
点的坐标为，
，
；
作抛物线的对称轴于点，则，
直线与水平线的夹角为，
，
设点的横坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
，
顶点的坐标为，
点的纵坐标为，
点在抛物线上，
，
解得：，
点的坐标为，
．
2.（1）解：中点的横坐标为，
抛物线对称轴为，设第二象限内的抛物线表达式为，
将、，
代入，，
解得，，
∴第二象限内的抛物线表达式为．
（2）①∵第二象限内的抛物线表达式为，轴为对称轴，
∴第一象限内的抛物线表达式；，
②对于左侧抛物线，当时，
即，解得，．
对于右侧抛物线，当时，
即，解得，．
∴两个灯笼之间的最大水平距离为（米）．
3.（1）解：由题意，可得点，且为轨道AB所在抛物线的顶点，
可设该抛物线的表达式为，代入点，
，
解得，
轨道AB所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：由（1）得．
由题意，易得．
，
，
．
设点，则点，
．
设轨道两侧需要的支架材料的长度为，
．
当时，的最小值为．
答：轨道两侧需要的支架材料的最短长度为15.5m．
4.（1）解：∵矩形的边，，
∴，，，，
∴，，；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和的顶点坐标分别为，，
分别设抛物线和的表达式为，，
将代入，
解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，
解得；
则抛物线的表达式为；
（3）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∵是矩形，
∴，
∴轴，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得：或（在对称轴右侧，舍），
∴，
由抛物线对称性可得．
【题型9 情境问题】
1.解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为
（2）
当时，
（3）设开了条通道则：
对称轴为
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少
，即：
又最多开通9条
为正整数，
最小值为7 ，
最少开7条通道．
2.（1）解：∵，号无人机的速度为：，
∴，
根据图可得：时，，
代入，得，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：．
（2）解：根据题意可得：号无人机的速度为：，高度为：，
结合题意可得，
当时，，
解得：（负值已舍去），
当时，，
解得：（负值已舍去），
∵，
故两物资落点间的水平距离为米．
（3）解：①当两物资相撞时，，
即，
解得：，
将代入，得
解得：，
故两物资相撞时与水平地面的竖直距离为米；
②由（2）可得：物资的落点坐标为，物资的落点坐标为，
将，，代入，得，
整理得：，
∵，
故随的减小而增大，
∵物资，的落点不变，要使得物资，不相撞，
即两个抛物线无交点，
故可降低物资的投放高度，使其低于物质的投放高度，
当物资的投放高度与物质的投放高度一致时，即，
代入，得，
解得：（负值已舍去），
∵无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，即，
代入，得，
解得：（负值已舍去），
∴号无人机投放物资的水平初速度的取值范围为．
3.（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，
根据表格数据与时的函数值相等，
∴对称轴为直线，
∴与时的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，．
故答案为：．
（2）解：描点，用平滑的曲线依次连接如图所示．
（3）解：依题意可知，抛物线的顶点坐标为
∴设二次函数的解析式为：，
当时，，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
（4）解：小王不能将这支箭射入圣火台，理由：
∵水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，垂直平分，
当时，
，
当时，
，
∵，，
∴箭的轨迹在点火台的上方，
∴小王不能将这支箭射入圣火台．
4.（1）解：所在直线是的垂直平分线，且，
．
点的坐标为，
，
点的坐标为，
点是抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
点在抛物线上，
，
解得：．
抛物线的函数表达式为．
（2）解：由点在抛物线上，
不妨设点的坐标为，
，交轴于点，
，
．
在中，，
．
，
根据题息，得，
，
解得：（不符合题意，舍去），
．
，
答：的长为6米，的长为3米．
（3）解：如图矩形灯带为，
根据题意，得，，，
设直线和的表达式分别为：，
故，
解得，
故直线和的表达式分别为：，
设点，
则矩形周长，
根据抛物线的性质，得抛物线的最大值为，
故矩形周长的最大值为米．
【题型10 图表问题】
1.（1）解：由题意，得：，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
（2）由题意，可知：，
∴关于轴对称，
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
故这根材料的长度够用．
2.解：问题1：调配这些滑板车的总成本为：；
问题2：∵日租借率最高不超过，
∴，
解得：，
，
抛物线的对称轴为直线，
∴当时，W随x的增大而增大，
∴公司日租借收入W的最大值为：
；
问题3：当时，，
当时，，
当时，，
∴当调配数量不足20辆时，选择方案二运维团队更有利；当调配数量为20辆时，选择方案一或方案二都相同；当调配数量超过20辆时，选择方案一运维团队更有利．
3.解：（1）∵，，
∴，
在中，由勾股定理得米，
∴米，
∴图2中地面有效保护直径的长度为；
（2）由题意得，点M的坐标为，，
设该水柱外层所在抛物线的函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴该水柱外层所在抛物线的函数解析式为；
（3）在中，当时，解得或，
∴，
∴米，
∴喷淋头M的地面有效保护直径为米；
（4）设喷淋头N在喷淋头M的右侧，且二者相距t米，
则喷淋头N的水柱外层所在抛物线的函数解析式为，
当抛物线恰好经过时，
则，
解得或（舍去），
∴喷淋头N距离喷淋头M至少为米．
4.解：（1）如图建立平面直角坐标系：
设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：，
∵经过点，
，
解得：，
∴长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：；
（2）最右侧同学所在的横坐标为： ，
当时，，
∵长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的，
∴最右侧同学屈膝后的身高为：，
，
∴绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学；
（3）当绳子摇至最低处时，抛物线解析式可表示为，
∵出手高度降低至，
∴抛物线下降，
∴下移后的抛物线解析式为：，
当时，，
∴方案能解决同学反映的问题．
【题型1 销售问题】
1.某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动个百分点（即销售价格），经过市场调研发现，这种商品的日销售量（单位：件）与销售价格浮动的百分点之间的函数关系为．若该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利．
(1)求该公司生产销售每件商品的成本为多少元；
(2)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润=（销售价格-成本）日销售量．）
(3)该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于时，扣除捐赠后的日销售利润随的增大而减小，直接写出的取值范围．
2.2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
3.为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
4.现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植棵甲果树（为正整数），每年所获得的利润（元）与之间的函数关系式为，且当时，；种植棵乙果树（为正整数），已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分组成，人工成本与的平方成正比，物资成本与成正比，其他成本不变为80元．若乙果树每棵每年可收入800元，种植乙果树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据：
（棵） 10 40
（元） 4920 7920
(1)求出关于，关于的函数关系式；
(2)若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大？最大是多少？
【题型2 拱门问题】
1.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1是某高铁站的一个检票口，其大致示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线（点O与点Q关于抛物线的对称轴对称），，四边形区域为检票区域，点A与点B在抛物线上，已知检票闸机高，均与垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、N、D、Q在一条水平直线上，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（a为常数，且）．
(1)求a的值和抛物线的对称轴；
(2)已知闸机与之间的区域为应急通道，闸机与之间的区域为人工检票通道，闸机与之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为（即，求自动检票通道的总宽度．（闸机宽度忽略不计）
2.合肥老城西大门有一处城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（四边形为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立直角坐标系．
(1)求出上半部分抛物线的函数表达式；
(2)有一辆宽3.2米，高4.6米的货车需要通过该城门进入城区（城门处为单向行驶道），请通过计算判断该货车能否安全通行．
(3)由于城门年久失修，需要搭建一个矩形巩固门（矩形），该巩固门关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中为三根承重钢支架，点D在抛物线上，B、C在地面上，已知钢支架每米200元，问搭建这样一个矩形巩固门，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？
3.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小．
4.如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．
(1)拱门上的点的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离 2 3 6 8 10 12
竖直高度 4 5.4 7.2 6.4 4 0
根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系．
(2)一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为，“新拱门”的跨度为，则__________填“”、“”或“”）．
【题型3 投球问题】
1.2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米．建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；
(3)运动员在第二次击球时仍然在点P处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为，网球在距球网右侧水平距离2米时，离地面的高度不低于4米，且网球落在对方区域内（含边界），求m的最大值．
2.如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ．
3.某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明．
4.如图，为排球运动场地示意图，球网在场地中央且高度为m，球网距离球场左、右边界均为9m．排球发出后其运动路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为m，当排球运动到水平距离球网3m时达到最大高度m，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)当时，
①求抛物线的表达式；
②求排球是否能过球网？是否出边界？
(2)若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），直接写出的取值范围．
【题型4 拱桥问题】
1.图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为轴建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当该河段水位再涨达到最高时，有一艘货船它露出水面高，船体宽，需要从拱桥下通过，请通过计算判断该货船是否能顺利通行．
(3)为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼．如图3，为了安全，灯笼底部距离水面不小于（此时水面是指（2）中最高水位的水面）；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．请设计悬挂方案，并说明悬挂的灯笼数量最多可以是多少个．
2.如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
3.一座拱桥其中一段的横截面为抛物线型，如图所示，线段表示水面，桥墩跨度为，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：左右两边的桥墩相同，高度，抛物线的顶点到轴的距离是．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)节日为了庆祝，决定在该桥上共挂三串彩灯，第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上，另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面，求挂设的三串彩灯，，长度和的最大值．
4.赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在河面上，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面为横坐标建立坐标，水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米．
(1)请你求出二次函数的表达式．
(2)在二次函数的对称轴上，是否存在一点，使得的值最小，若有，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似的看成长14米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明．
【题型5 隧道问题】
1.现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线段表示水平的路面，点为的中点，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度米，该抛物线的顶点到的距离为9米．
(1)求该隧道截面所在抛物线的函数表达式；
(2)如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米，宽度为3米的长方形电子显示屏，确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求．
2.如图1，这是郑栾高速的始祖山隧道，它位于新郑市和禹州市交界地带上，是一座上下行分离的四车道高速公路长隧道．如图2是单向隧道的示意图，洞宽米，其中两侧分别设人行检修道米，左侧设侧向宽度米，右侧设侧向宽度米，行车道宽米．假设隧道的轮廓为抛物线，建立如图2所示的平面直角坐标系，其中O为的中点，隧道的净高度米．（参考数据：）
(1)求该抛物线的解析式．
(2)如果一货运汽车装载货物后的高度为4.6米，宽度为2.25米．隧道内两个行车道用实线隔开（实线的宽度忽略不计），不允许车辆随意变道．试通过计算说明这辆货车能否安全通过这个隧道？如果能，请指出该货车应按哪个车道行驶；如果不能，请说明理由．
3.白鹿原隧道被称为“中国最大断面黄土隧道”，它的截面近似看作抛物线，某数学课题学习小组，为了研究隧道的截面，建立如图坐标系，已知隧道的净宽约为18米，净高（即抛物线最高点到地面的距离）约为12米．在隧道施工过程中，需要一个“凸”字形的支架支撑隧道的顶部，支架的下部分和上部分都分别由矩形和矩形组成，已知下部分矩形的长米，上部分矩形的长宽比（即），点A，D，E，H都在抛物线上．根据以上信息解决问题．
(1)求隧道截面抛物线的解析式；
(2)请确定支撑点的位置（即点的坐标）．
4.天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
【题型6 喷水问题】
1.某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米，与的数量变化有一定规律．
【提出问题】
喷出的抛物线形水线距离湖面高度为米与距喷水的柱子的水平距离米，与之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小敏对某个方向喷水的路径测量和计算得出如下数据：
（米） … 0 1 2 3 4 …
（米） … 2 2 …
【解决问题】
(1)在建立如图1所示的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
(2)已知与之间存在已学过的某种函数关系，请结合表中所给数据和所画出的图象，求出与之间的函数关系式；
(3)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目，使公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过．如果游船宽度为米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于米，问游船能否顺利通过？说明理由．
(4)如图2，若从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈圆形护栏．这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏？（结果保留）
2.项目学习实践
项目主题：合理设置智慧洒水车喷头
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习．
任务一：测量建模
利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米；
（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式；
任务二：推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标；
任务三：实践探究
如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米．
（3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由．
3.为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分．
(1)求a的值．
(2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时消防车该如何行进，才能使喷出的水流灭掉该起火点？
(3)若火势蔓延到距离地面米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？（提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移）
4.在节假日期间，濮阳龙湖论语广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀．随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边18米．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为．
(1)若，
①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？
②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值；
(2)当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线上，喷出的水不能触及岸边．请直接写出此时的取值范围．
【题型7 跳跃问题】
1.学科实践
【任务驱动】：2024年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于4月19日至21日在中国陕西省西安市成功举办，中国国家跳水队以8金1银总奖牌9枚完美收官，进一步激发各地跳水运动员训练的热情，数学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查．
【研究步骤】：如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与y轴交于点，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点开始做翻腾、打开动作．正常情况下，运动员在距水面高度米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
【问题解决】：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务．
（1）直接写出运动员在空中最高处点的坐标及入水处点的坐标．
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与轴的水平距离为米，问该运动员此次跳水会不会失误？说明理由．
（）在该运动员入水处点正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的解析式为．若该运动员出水处点在之间（包括，两点），请求出的取值范围．
2.中考体育考试规定男生立定跳远满分为，如图①，小勇立定跳远为，小聪发现小勇立定跳远时脚的运动轨迹可近似看作抛物线，通过电子仪器测量得到小勇跳远时脚离地面的最高距离为，如图②，以小勇起跳点为原点建立平面直角坐标系，小勇落地点为A，最高点为B．
(1)求小勇跳远时抛物线的表达式；
(2)体育老师告诉小勇他的跳远姿势不对，调整跳远姿势后，小勇恰好跳到了处，并在处通过电子仪器测得小勇脚离地面的高度为．
①求小勇跳到最高处时脚离地面的高度；
②若男生立定跳远及格线为，求小勇在立定跳远过程中到及格线时脚离地面的高度．
3.如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此 抛物线篮球可准确落入篮圈．
(1)求篮圈中心到地面的距离为多少米．
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
(3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案）
4.某游戏爱好者设计了一款“袋鼠跳”的游戏．其中某一环节的游戏规则为：袋鼠需按同一角度、方向和力度完成两段连续跳跃（两段跳跃的运动轨迹呈现的抛物线形状相同），若跳跃后到达点处即可通关，否则不能通关．如图，袋鼠运动轨迹近似为抛物线的一部分，已知袋鼠第一段（）跳跃轨迹的最高点到地面的距离为，与起跳点的水平距离为，点与起跳点的水平距离为；点与点的水平距离为，点到地面的距离为．以起跳点为原点，地面所在水平方向为轴，过点垂直于轴的方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该袋鼠第一段（）跳跃的运动轨迹所在抛物线的函数表达式；
(2)请判断该袋鼠是否能通关，并说明理由．
【题型8 实物问题】
1.【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
在大自然里，有很多数学的奥秘．如图是一片美丽的心形叶片，图是一棵生长的幼苗，它们的叶片形状都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
(1)如图，建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分．已知该图象过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标．
【探究二】探究心形叶片的宽度
(2)如图，在的条件下，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点求叶片此处的宽度．
【探究三】探究幼苗叶片的长度
(3)小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的抛物线．已知直线点为叶尖与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度．
2.某校为准备建校二十周年庆典活动，在操场上布置一个舞台，需要搭一条抛物线型灯链，最初的设计方案如图1所示，灯链两端连接等高的，两点，点、分别位于点、正下方的地面处，且、的水平距离为米．点在线段上，且米．以为原点，以所在直线为轴，垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，点为抛物线与轴交点，图描画的是部分抛物线图象，点，点．
(1)求图2中第二象限内的抛物线表达式；（不必写出自变量的取值范围）
(2)为使灯链造型更加美观，对方案进行修改：以轴为对称轴构造段抛物线的轴对称图形，形成一个“类组合抛物线”．
①直接写出第一象限内的抛物线表达式；（不必写出自变量的取值范围）
②若在组合抛物线灯链上挂两个灯笼，且两灯笼离地面的高度均为米，求两个灯笼之间的最大水平距离．
3.如图，这是型滑板场地轨道示意图，两侧和是各自所在抛物线的一部分，分别为其所在抛物线的最低点，且轨道和所在抛物线的形状相同，其中 ．为了确保场地安全，需在轨道左侧和右侧进行加固，安装统一规格的支架，两侧的支架完全一致，其中左侧的支架由四段构成，右侧的支架由四段构成．以线段所在直线为轴，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求轨道所在抛物线的函数表达式．
(2)支架的要求为垂直于线段所在的直线，平行于线段所在的直线，且．请通过计算，确定轨道两侧需要的支架材料的最短长度．
4.问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；
(3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．
【题型9 情境问题】
1.综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________.
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
2.综合与实践问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下(忽略空气阻力)，物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度与距投放点的水平距离之间的函数表达式为．其中，表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离(单位：米)，表示投放物资时无人机的水平初速度(单位：米/秒)，取为米/秒．
实践探究：如图，号无人机在空中以米/秒的速度向平坦地面投放物资，号无人机在号无人机竖直上方米处以米/秒的速度，投放物资，已知号，号无人机及物资，的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系，物资的运动路径即为抛物线，物资的运动路径即为抛物线．
问题解决：
(1)请结合图中相关数据，求抛物线的函数表达式；
(2)请求出两物资落点间的水平距离；
(3)多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题．
①若，号无人机同时投放物资A，B，请直接写出两物资相撞时与水平地面的竖直距离；
②由于实际投放需求，，号无人机需同时投放物资，，且物资落点不变，为避免，两物资相撞，在保持，号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求号无人机投放物资的水平初速度的取值范围（两无人机不能在同一点同时投放）．
3.综合与实践
【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图，运动会火炬手小明需要用火种点燃的箭头，然后射向距离发射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，且垂直平分这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为d（单位：m），距地面的竖直高度为h（单位：m）．获得的数据如表：
0 10 20 30 40 50 60 70
k
【问题解决】
(1)k的值为 ．
(2)在平面直角坐标系中，描点，并用平滑的曲线将8个点依次连接；
(3)求出h与d的函数解析式；
(4)小明射出的箭的运动轨迹与线段有公共点时，说明这支箭就可以射入点火台内了，请判断小明射出的箭是否射入了点火台内？说明理由．
4.问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．玥玥同学设计的方案如下：
第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段上取点（不与重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了玥玥的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩9米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完9米材料，需确定与的长．为此，如图3建立平面直角坐标系．解决问题：
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当9米材料恰好用完时，分别求与的长；
(3)种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．求符合设计要求的矩形周长的最大值．
【题型10 图表问题】
1.为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具．
采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为．
设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中．
确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
2.随着城市短距离出行需求的变化，共享滑板车成为一种新兴的出行方式．某共享出行公司在A、B两个区域投放共享滑板车，相关信息如下：
信息1 A区域初始投放了100辆共享滑板车，B区域初始投放了20辆．将一辆滑板车从A区域调配到B区域，包含车辆运输与系统重置在内，成本为100元；公司基于运营数据和区域需求预测，规定每次只能从A区域向B区域调配滑板车，且调配数量不能超过20辆
信息2 B区域共享滑板车的日租借率会随着从A区域调配来的滑板车数量变化．当从A区域调配x辆滑板车到B区域时，B区域共享滑板车的日租借率为，但受限于B区域的停车空间和市场容量，日租借率最高不超过
信息3 每辆共享滑板车成功租借一次，公司可获得10元收入
问题1 在信息一的条件下，若从A区域调配x辆滑板车到B区域，用含x的式子表示调配这些滑板车的总成本y（元），并写出x的取值范围
问题2 在满足信息二的条件下，求B区域共享滑板车的公司日租借收入W关于x的函数关系式，并求出公司日租借收入W的最大值．
问题3 公司为激励运维团队在滑板车调配工作中的积极性，制定了两种奖励方案： 方案一：每调配一辆滑板车，奖励负责调配的运维人员40元． 方案二：一次性给予运维团队800元奖励． 请计算并分析在不同调配数量下，选择哪种方案对运维团队更有利？
3.综合与实践
项目式学习：安全用电，防患未然
项目背景 近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约的火灾都在充电时发生．某校八年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
素材1 调查分析：图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2是其喷射截面示意图，在中，米，喷嘴O到地面的距离米．
素材2 模型构建：由于干粉灭火器只能扑灭明火，不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头，如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线． 学校的停车棚左侧靠墙建造，如图4，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知消防喷淋头的出水口M到墙面的水平距离为2米，到地面高度为米，即米，米，水喷射到墙面D处，且米．
素材3 问题解决：已知车棚宽度为8米，电动车的电池距离地面高度为米．创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池．
任务解决
任务1 （1）求图2中地面有效保护直径的长度；
任务2 （2）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； （3）按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为多少米？
任务3 （4）喷淋头N距离喷淋头M至少为多少米？
4.根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：（1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人： （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．
素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为6m，绳子最高点为2m，摇绳同学的出手高度均为1m，如图2； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高（m）1.701.731.751.80人数2241
素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：（1）跳绳时，人的跳起高度在0.25m及以下较为舒适： （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．
问题解决
（1）任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式．
（2）任务2：确定排列方案．该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持0.45m的间距．请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
（3）任务3：方案优化改进，据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整，班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至0.85m．此时中段长绳将贴地形成一条线段（线段），而剩余的长绳则保持形状不变，如图4．请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题．
参考答案
【题型1 销售问题】
1.（1）解：设该公司生产销售每件商品的成本为元，由题意得
，
解得：，
答：该公司生产销售每件商品的成本为元；
（2）解：由题意得
，
整理得：，
解得：，，
当时，
（元），
当时，
（元），
答：当实际销售价格定为元或元时，日销售利润为660元；
（3）解：设捐赠后的日销售利润为元，由题意得
，
对称轴为直线，
当价格浮动的百分点大于时，扣除捐赠后的日销售利润随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
，
解得：，
，
．
2.（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，
由题意得，，
解得，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）解：由题意得，
，
∵，
∴当，即时，W最大，最大值为4500．
3.（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件；
故答案为：；
（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得：，
整理可得：，
解得：，
由于要让利于游客，舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则
，
∵，
∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元，
答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
4.（1）解：∵当时，元，
∴，
∴，
∴；
由题意得：，
由表格可得：当时，，当时，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设每年的总利润为W元，则，
由题意：，
∴
，
∵，
∴当时，W有最大值，但x为正整数，抛物线的对称轴为直线，
∴当或18时，W有最大值，W的最大值为14548元，
∴当种植17棵或18甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元．
【题型2 拱门问题】
1.（1）解：根据题意可得，
把代入到中得，解得．
∴抛物线的函数关系式为，
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）解：令，得，解得，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∴．
∵，
∴，
即自动检票通道的总宽度为．
2.（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：由（1）可得，抛物线的对称轴为直线，
∵一辆宽3.2米，高4.6米的货车需要通过该城门进入城区，
∴当时，，
该货车能安全通行；
（3）解：，
设点的横坐标为，的长度为，则，
对称轴为直线，则，即，，
，
当，最大，，
（元），
答：最多需要花费2600元．
3.（1）解：由题意知：，，
方案一中抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
把代入得，，
解得：，
，
方案一中抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，令，
可得：，
解得：或，
，
，
，
．
4.（1）解：由表格得：
，
顶点坐标为，
，
，
解得：，
．
（2）解：由表格得
当时，，
原拱门中：（）；
新拱门中：
当时，
解得：，，
（），
，
．
故答案：．
【题型3 投球问题】
1.（1）解：网球飞行过程中在点处达到最高，
设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下：
∵，
当时，，
网球越过球网，
当时，，
网球落在对方区域；
此次击球越过球网并落在对方区域内；
（3）解：把代入，得：，
，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
，
的最大值为．
2.
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可，
【详解】解：由题意，，
得，
将代入，
得：，
解得：，
∴，
令，得，
解得：，，
∴为，
故答案为：．
3.（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，即
（2）解：能，理由如下：
当时，，
当时，，
解得（舍去），，
∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处，
∴小明抛出的乒乓球能投入箱子.
4.（1）解：①因为排球飞行到距离球网时达到最大高度，，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得，
∴；
②当时， ，
∴可以过球网，
当时，，
∴排球不出边界；
（2）解：设击出的排球轨迹为，
当该轨迹经过球网的顶端坐标时，
，
解得，
∴，
令得，即此时；
当该轨迹经过右边界的坐标时，
，
解得，
∴，
令得，即此时；
∴若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），h的取值范围是．
【题型4 拱桥问题】
1.（1）解：由题意可知点B的坐标为，
设函数关系式为，代入得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
（2）解：如图，设圆心为M，设圆的半径为r米，由题意得于点C，于点T，连接，
则米，
∴，解得米，
根据题意可知，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴能顺利通行，船航行线路是船的中心线沿航行；
（3）解：∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，
∴当悬挂点的纵坐标，
即悬挂点的纵坐标的最小值是，
当时，，
∴，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：；
方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼，
方案二：从距顶点处开始挂灯笼，如图4，
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
2.解：建立平面直角坐标系，如图所示：
则抛物线顶点坐标为，，即，
设该抛物线的表达式为，
将代入得，
解得，
该抛物线的表达式为．
3.（1）解：∵线段表示水面，桥墩跨度为，抛物线的顶点到轴的距离是．
∴，抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线的函数表达式，
∵高度，
∴把代入，
得，
解得，
∴该抛物线的函数表达式，
（2）解：由（1）得，对称轴为直线，
∵第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上，
设点，
∵点，关于对称轴对称，
则，
∴，
∵另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面，
∴，
∴
∵，
∴当时，有最大值，最大值为31.6米．
4.（1）解：水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米．
，
可设二次函数的表达式为，
将代入得，，解得：，
二次函数的表达式为
（2）解：存在，理由如下：
如图，由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小．
由题意得，
设直线的解析式为，则有，
解得，
直线的解析式为．
抛物线的对称轴，
将代入，得，
；
（3）解：水面离桥拱顶点的高度为7米，即水面。
将代入得：
，
，
水面宽度：，
船高2.5米，水面, 桥拱。
船顶高度：，
桥拱在(船半宽)处的高度：，
，且，
游船能正常通过．
【题型5 隧道问题】
1.（1）解：由题意得抛物线的顶点为，
设该隧道截面所在抛物线的函数表达式为，
，
．
将代入，得，
解得．
该隧道截面所在抛物线的函数表达式为，
（2）解：满足安装设计要求，过程如下．
依题意米，米．
如图，延长交抛物线于点．
当米时，则．
把代入，得．
点到地面距离为（米）．
，
满足安装设计要求．
2.（1）解：∵O为的中点，，
∴，
∴，
设抛物线解析式为，
则，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，，，
∴，
∴，
∴当时，，
∴左侧车道不能通过，
当时，，
∴右侧车道能通过，
∴该货车应按右侧车道行驶能通过．
3.（1）解：由题意得，抛物线最高点到地面的距离约为12米，
∴，，
设抛物线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵矩形和矩形，
∴设抛物线的对称轴交于点，交于点，交于点，如图，
∴，
∴，
当时，，
∴米，，
∵，
∴设，，则，
∴点的纵坐标为，横坐标为，
∴点，
∵点在抛物线上，
∴，
整理得，
解得或(舍去)，
∴点．
4.（1）解：由题意得，顶点为，即，
设抛物线的解析式为：
代入点得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：能安全通过，理由如下：
如图，
由题意得：，
将代入，
则，
∵，
∴能安全通过．
【题型6 喷水问题】
1.（1）解：描点、连线、图象如图；
；
（2）解：该函数是二次函数，由和可知，抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴水柱最高点距离湖面的高度是米；
由图象可得，顶点，
设二次函数的关系式为，
把代入可得，
∴；
将和代入抛物线关系式，左边等于右边，所有的点都在二次函数图象上，
∴可以确认该函数是二次函数，
∴与之间的函数关系式为；
（3）解：游船宽度米，在抛物线的正下方通过，令，
代入（2）中所得抛物线解析式得，
由已知，顶棚到水面的高度为2米，顶棚到水柱的垂直距离不小于米，
∴，
∵，
∴不能正常通过；
（4）解：当时，即，
解得（舍去）或，
∵喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，
∴圆的半径至少为（米），
∴至少需要准备栏杆（米），
∴公园至少需要准备米的护栏．
2.解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
，
解得：，
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
（2）∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，
当时，
解得，（舍去），
∴
∴点B的坐标为；
（3）∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米，
则（米）
∴点F的坐标为，
当时，，
当时，y随x的增大而减小，
∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．
3.（1）解：根据题意得喷水口在抛物线上，
代入中，
得，
解得：；
（2）解：∵，
∴抛物线解析式为：，
∵该楼距离地面米处出现一个起火点，
∴代入抛物线中，
得：，
整理：，
解得：，都大于0，
∴消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点；
（3）解：∵伸缩臂与水平方向的夹角为，且，
设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米．
则长伸缩臂后新抛物线的解析式为：，
根据题意得：
当时， ，即，
解得：，
当时， ，伸缩臂长为米，
∵，符合题意．
当时， ，伸缩臂长为米，
∵， 不符合题意，舍去．
故伸缩臂应伸长米．
4.（1）解：∵
∴，
①∵喷出的水恰好达到岸边
∴抛物线过，
∵抛物线过原点，
∴抛物线的对称轴是直线，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴当时，，
∴抛物线水线最大高度是米；
②∵抛物线水线最大高度达4米，
∴抛物线顶点的纵坐标为，
当 时，，
解得：，
∴抛物线的顶点是，
∴，
∵抛物线过原点，
∴，
解得，
∴，
∴，．
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴，
解得：，
∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边，
∴，即，
解得．
【题型7 跳跃问题】
1.解：（1）∵，
∴点A的坐标为，
当时，，
解得或(舍去)，
点B的坐标为
（2）∵运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y轴的水平距离为3米，
∴运动员调整好入水姿势的点的横坐标为3，
∴当时，，
∴调整点的坐标为，
∴运动员此时距离水面高度为（米）
∵，
∴运动员此次跳水不会失误；
（3）∵，，
∵.
∵人水处点，
∴，①
当抛物线经过点M时，，②
由①②联立方程组，解得；
当抛物线经过点N时，，③
由①③联立方程组，解得
∵出水处点D在之间(包括M，N两点)，
∴
2.（1）解：由题意可知，
∵点为最高点，则
∴，
设小勇跳远时抛物线的表达式，
将代入表达式可得：，解得：，
∴小勇跳远时抛物线的表达式为：，
即：；
（2）①由题意可知，调整跳远姿势后，小勇跳远时抛物线过，，
设调整跳远姿势后，小勇跳远时抛物线为，
将代入表达式可得：，解得：，
∴，
当时，有最大值0.625，
∴小勇跳到最高处时脚离地面的高度；
②当时，，
∴求小勇在立定跳远过程中到及格线时脚离地面的高度．
3.（1）解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为，
在中，令得，
篮圈中心的纵坐标为3.05，
篮圈中心到地面的距离为3.05米；
（2）解：设球出手时，他跳离地面的高度是米，则出手点坐标为，
，
解得，
球出手时，他跳离地面的高度是0.2米；
（3）解：在中，令得：，
解得（舍去）或，
，
两名运动员之间的距离不能超过1米．
4.（1）解：由题意知，袋鼠第一段（）跳跃的运动轨迹所在抛物线的顶点为，且抛物线过点，
设该抛物线的解析式为，将点代入得：
，
解得：，
袋鼠第一段（）跳跃的运动轨迹所在抛物线的函数表达式为；
（2）该袋鼠不能通关，理由如下：
当时，，
，
第一次跳跃的抛物线起点为，终点为，第二次跳跃的抛物线起点也是，
第二次跳跃的抛物线是由第一次跳跃的抛物线向右平移个单位，在向上平移个单位得到，第二次跳跃的抛物线顶点为，
又 ，
根据题意，该袋鼠第二次跳跃的运动轨迹所在抛物线的函数表达式为，
当时，，
该袋鼠跳跃后不能到达点处，故该袋鼠不能通关．
【题型8 实物问题】
1.解：心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且图象过原点，将代入得：
，解得：，
抛物线的解析式为，
顶点的坐标为；
抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，
当时得：，
解得：，，
点的坐标为，
点，关于直线对称，
，
直线与轴的正半轴的夹角，
，
可设的解析式为，将点的坐标代入得：，解得：，
的解析式为，
联立得：，
解得：，
点的坐标为，
，
；
作抛物线的对称轴于点，则，
直线与水平线的夹角为，
，
设点的横坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
，
顶点的坐标为，
点的纵坐标为，
点在抛物线上，
，
解得：，
点的坐标为，
．
2.（1）解：中点的横坐标为，
抛物线对称轴为，设第二象限内的抛物线表达式为，
将、，
代入，，
解得，，
∴第二象限内的抛物线表达式为．
（2）①∵第二象限内的抛物线表达式为，轴为对称轴，
∴第一象限内的抛物线表达式；，
②对于左侧抛物线，当时，
即，解得，．
对于右侧抛物线，当时，
即，解得，．
∴两个灯笼之间的最大水平距离为（米）．
3.（1）解：由题意，可得点，且为轨道AB所在抛物线的顶点，
可设该抛物线的表达式为，代入点，
，
解得，
轨道AB所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：由（1）得．
由题意，易得．
，
，
．
设点，则点，
．
设轨道两侧需要的支架材料的长度为，
．
当时，的最小值为．
答：轨道两侧需要的支架材料的最短长度为15.5m．
4.（1）解：∵矩形的边，，
∴，，，，
∴，，；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和的顶点坐标分别为，，
分别设抛物线和的表达式为，，
将代入，
解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，
解得；
则抛物线的表达式为；
（3）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∵是矩形，
∴，
∴轴，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得：或（在对称轴右侧，舍），
∴，
由抛物线对称性可得．
【题型9 情境问题】
1.解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为
（2）
当时，
（3）设开了条通道则：
对称轴为
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少
，即：
又最多开通9条
为正整数，
最小值为7 ，
最少开7条通道．
2.（1）解：∵，号无人机的速度为：，
∴，
根据图可得：时，，
代入，得，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：．
（2）解：根据题意可得：号无人机的速度为：，高度为：，
结合题意可得，
当时，，
解得：（负值已舍去），
当时，，
解得：（负值已舍去），
∵，
故两物资落点间的水平距离为米．
（3）解：①当两物资相撞时，，
即，
解得：，
将代入，得
解得：，
故两物资相撞时与水平地面的竖直距离为米；
②由（2）可得：物资的落点坐标为，物资的落点坐标为，
将，，代入，得，
整理得：，
∵，
故随的减小而增大，
∵物资，的落点不变，要使得物资，不相撞，
即两个抛物线无交点，
故可降低物资的投放高度，使其低于物质的投放高度，
当物资的投放高度与物质的投放高度一致时，即，
代入，得，
解得：（负值已舍去），
∵无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，即，
代入，得，
解得：（负值已舍去），
∴号无人机投放物资的水平初速度的取值范围为．
3.（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，
根据表格数据与时的函数值相等，
∴对称轴为直线，
∴与时的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，．
故答案为：．
（2）解：描点，用平滑的曲线依次连接如图所示．
（3）解：依题意可知，抛物线的顶点坐标为
∴设二次函数的解析式为：，
当时，，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
（4）解：小王不能将这支箭射入圣火台，理由：
∵水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，垂直平分，
当时，
，
当时，
，
∵，，
∴箭的轨迹在点火台的上方，
∴小王不能将这支箭射入圣火台．
4.（1）解：所在直线是的垂直平分线，且，
．
点的坐标为，
，
点的坐标为，
点是抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
点在抛物线上，
，
解得：．
抛物线的函数表达式为．
（2）解：由点在抛物线上，
不妨设点的坐标为，
，交轴于点，
，
．
在中，，
．
，
根据题息，得，
，
解得：（不符合题意，舍去），
．
，
答：的长为6米，的长为3米．
（3）解：如图矩形灯带为，
根据题意，得，，，
设直线和的表达式分别为：，
故，
解得，
故直线和的表达式分别为：，
设点，
则矩形周长，
根据抛物线的性质，得抛物线的最大值为，
故矩形周长的最大值为米．
【题型10 图表问题】
1.（1）解：由题意，得：，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
（2）由题意，可知：，
∴关于轴对称，
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
故这根材料的长度够用．
2.解：问题1：调配这些滑板车的总成本为：；
问题2：∵日租借率最高不超过，
∴，
解得：，
，
抛物线的对称轴为直线，
∴当时，W随x的增大而增大，
∴公司日租借收入W的最大值为：
；
问题3：当时，，
当时，，
当时，，
∴当调配数量不足20辆时，选择方案二运维团队更有利；当调配数量为20辆时，选择方案一或方案二都相同；当调配数量超过20辆时，选择方案一运维团队更有利．
3.解：（1）∵，，
∴，
在中，由勾股定理得米，
∴米，
∴图2中地面有效保护直径的长度为；
（2）由题意得，点M的坐标为，，
设该水柱外层所在抛物线的函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴该水柱外层所在抛物线的函数解析式为；
（3）在中，当时，解得或，
∴，
∴米，
∴喷淋头M的地面有效保护直径为米；
（4）设喷淋头N在喷淋头M的右侧，且二者相距t米，
则喷淋头N的水柱外层所在抛物线的函数解析式为，
当抛物线恰好经过时，
则，
解得或（舍去），
∴喷淋头N距离喷淋头M至少为米．
4.解：（1）如图建立平面直角坐标系：
设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：，
∵经过点，
，
解得：，
∴长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：；
（2）最右侧同学所在的横坐标为： ，
当时，，
∵长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的，
∴最右侧同学屈膝后的身高为：，
，
∴绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学；
（3）当绳子摇至最低处时，抛物线解析式可表示为，
∵出手高度降低至，
∴抛物线下降，
∴下移后的抛物线解析式为：，
当时，，
∴方案能解决同学反映的问题．