第22章 二次函数 章末综合闯关试题 2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册

文档属性

名称 第22章 二次函数 章末综合闯关试题 2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
格式 docx
文件大小 791.8KB
资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2025-08-13 12:00:38

图片预览

文档简介

中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数 章末综合闯关试题
2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1.抛物线顶点坐标是( ).
A. B. C. D.
2.把函数y=﹣3x2的图象向右平移2个单位,所得到的新函数的表达式是(  )
A.y=﹣3x2﹣2 B.y=﹣3(x﹣2)2 C.y=﹣3x2+2 D.y=﹣3(x+2)2
3.二次函数的图象与x轴交点的情况是( )
A.没有交点 B.有一个交点 C.有两个交点 D.与m的值有关
4.若抛物线y=ax2+2x﹣10的对称轴是直线x=﹣2,则a的值为(  )
A.2 B.1 C.-0.5 D.0.5
5.抛物线和直线在同一坐标系内的图像如图,其中正确的是( )
A.B.
C.D.
6.对于二次函数的性质,下列叙述正确的是( )
A.当时,y随x增大而减小 B.抛物线与直线有两个交点
C.当时,y有最小值3 D.与抛物线形状相同
7.已知抛物线y=3x2+bx+c与直线y=﹣1只有一个公共点M,与平行于x轴的直线l交此抛物线A,B两点若AB=4,则点M到直线l的距离为( )
A.11 B.12 C. D.13
8.已知二次函数的部分图象如图所示,图象经过点,其对称轴为直线.下列结论中正确的是( )
A.
B.若点,均在二次函数图象上,则
C.关于x的一元二次方程有两个相等的实数根
D.满足的x的取值范围为
9.已知二次函数(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程的两实数根是
A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2
C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3
10.如图,二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为,对称轴为,结合图象给出下列结论:
①;
②;
③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1;
④若点,,均在二次函数图象上,则;
⑤(m为任意实数).
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
11.若是关于x的二次函数,则m的值为 .
12.已知二次函数y=3(x-a)2的图象上,当x>2时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是 .
13.若函数的图象与坐标轴有两个不同的交点,则m的值为 .
14.二次函数的图象如图所示,若关于x的一元二次方程有实数根,则m的最大值为 .
15.如图,抛物线与直线交于A(-1,P),B(3,q)两点,则不等式的解集是 .

16.如图,过点D(1,3)的抛物线y=-x2+k的顶点为A,与x轴交于B、C两点,若点P是y轴上一点,则PC+PD的最小值为 .
三、解答题
17.已知函数.
(1)当为何值时,是关于的二次函数?
(2)当为何值时,是关于的一次函数?
18.如图所示,抛物线经过两点,交轴于点C,D为抛物线的顶点,连接,为的中点.请在轴上找一点,使的值最小,并求的最小值.
19.新定义:[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为实数)的“图象数”,如:y=-x2+2x+3的“图象数”为[-1,2,3]
(1)二次函数y=x2-x-1的“图象数”为 .
(2)若图象数”是[m,m+1,m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.
20.小明进行实心球训练,他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况,建立了如图所示的平面直角坐标系,实心球从y轴上的点A处出手,运动路径可看作抛物线,在点B处达到最高位置,落在x轴上的点C处.小明某次试投时的数据如图所示.
(1)根据图中信息,求出实心球路径所在抛物线的表达式.
(2)若实心球投掷距离(实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度)不小于9.6m,成绩为满分,请通过计算,判断小明此次试投的成绩是否能达到满分.
21.已知关于x的方程x2 + ax + a - 2 = 0
(1)若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一根;
(2)求证:二次函数y = x2 + ax + a - 2的图象与x轴有两个交点.
22.某校为配合疫情防控需要,每星期组织学生进行核酸抽样检测;防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况,调查了某天上午学生进入操场的累计人数y(单位:人)与时间x(单位:分钟)的变化情况,发现其变化规律符合函数关系式:数据如下表.
时间x(分钟) 0 1 2 3 … 8
累计人数y(人) 0 150 280 390 … 640 640
(1)求a,b,c的值;
(2)如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测,检测点有4个,每个检测点每分钟检测5人,求排队人数的最大值(排队人数-累计人数-已检测人数);
(3)在(2)的条件下,全部学生都完成核酸检测需要多少时间?如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测,从一开始就应该至少增加几个检测点?
23.一水果店售卖一种水果,以8元/千克的价格进货,经过往年销售经验可知:以12元/千克售卖,每天可卖60千克;若每千克涨价0.5元,每天要少卖2千克;若每千克降价0.5元,每天要多卖2千克,但不低于成本价.设该商品的价格为元/千克时,一天销售总质量为千克.
(1)求与的函数关系式.
(2)若水果店货源充足,每天以固定价格元/千克销售,试求出水果店每天利润与单价的函数关系式,并求出当为何值时,利润达到最大.
24.如图,已知抛物线与轴交于,两点(点在点的左侧),与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上存在一点,使得的值最小,此时点的坐标为______;
(3)点是第一象限内抛物线上的一个动点(不与点,重合),过点作轴于点,交直线于点,连接,直线把△BDF的面积分成两部分,使,请求出点的坐标.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C D A D B D B C
1.D
【分析】根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标.
【详解】抛物线的顶点坐标是,
故选:D.
【点睛】本题考查了求二次函数的性质,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.
2.B
【分析】根据二次函数图象左加右减,上加下减的平移规律进行解答.
【详解】二次函数y=﹣3x2的图象向右平移2个单位,
得:y=﹣3(x﹣2)2.
故选:B.
【点睛】本题考查的是函数图象的平移,用平移规律“左加右减,上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.
3.C
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系,只要计算出一元二次方程的根的判别式,根据判别式的符号即可判断.
【详解】解:令得一元二次方程,
∵,
∴二次函数的图象与x轴有两个不同的交点,
故选:C.
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,当Δ>0时,二次函数与x轴有两个不同的交点;当Δ=0时,二次函数与x轴有一个交点;当Δ<0时,二次函数与x轴没有交点;掌握这个知识点是解题的关键.
4.D
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴方程得到,然后求出a即可.
【详解】解:∵抛物线y=ax2+2x﹣10的对称轴是直线x=﹣2,
∴,
∴;
故选:D.
【点睛】本题考查了二次函数的图象:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当a>0;对称轴为直线;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点.
5.A
【分析】先由二次函数图像得到字母系数的正负,再与一次函数的图像相比较看是否一致,逐一判断即可.
【详解】解:A.由二次函数图象的开口方向可知,根据对称轴在y轴的右侧,可知a、b异号,,此时直线应经过一、三、四象限,与图中一次函数图象一致,符合要求;
B.由二次函数图象的开口方向可知,根据对称轴在y轴的右侧,可知a、b异号,,此时直线应经过一、三、四象限,与图中一次函数图象不一致,故可排除;
C.由二次函数图象的开口方向可知,根据对称轴在y轴的右侧,可知a、b异号,,此时直线应经过一、二、四象限,与图中一次函数图象不一致,故可排除;
D.由二次函数图象的开口方向可知,根据对称轴在y轴的右侧,可知a、b异号,,此时直线应经过一、二、四象限,与图中一次函数图象不一致,故可排除;
故选D.
【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系,解题的关键是能够根据函数图象判断解析式中系数的正负.
6.D
【分析】将该抛物线表达式化为顶点式,记录判断A、C;联立和,得到方程,各级一元二次函数根的判别式,即可判断B;根据二次函数平移的性质,即可判断D.
【详解】解:∵,
∴该二次函数的对称轴为直线,
∵,函数开口向下,
∴当时,y随x增大而减小,故A错误,不符合题意;
B、当时,,
整理得:
∴,
∴方程无实数根,则抛物线与直线没有交点,故B错误,不符合题意;
C、∵,,函数开口向下,
∴当时,y有最大值3,故C错误,不符合题意;
D、∵可由向右平移2个单位长度,向上平移3个单位长度得到,
∴与抛物线形状相同,故D正确,符合题意;
故选:D.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是熟练掌握的对称轴为,顶点坐标为;时,函数开口向上,在对称轴左边,y随x的增大而减小,在对称轴右边,y随x的增大而增大,时,函数开口向下,在对称轴左边,y随x的增大而增大,在对称轴右边,y随x的增大而减小.
7.B
【分析】根据题意可知,抛物线的顶点M(),则抛物线解析式为:,由AB=4,利用抛物线的对称性,得点A的横坐标为,代入解析式,求出纵坐标,然后求出点M到直线l的距离.
【详解】解:∵抛物线y=3x2+bx+c与直线y=﹣1只有一个公共点M,
∴点M为抛物线的顶点,其坐标为:(,),
则抛物线解析式为:,
∵抛物线与平行于x轴的直线l交此抛物线A,B两点,且AB=4,
∴点A的横坐标为:,点B的横坐标为:,
把代入抛物线,得:

∴直线l为:,
∴点M到直线l的距离为:11﹣(﹣1)=12;
故选择:B.
【点睛】本题考查了二次函数的性质,以及抛物线与直线的交点问题,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质,正确求出直线l的方程.
8.D
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等,熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键.由对称轴为直线可得,再将代入可判断A,找出关于直线对称的点为,再根据二次函数的性质可判断B,根据图象可得:时,x的值不相等,即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,可判断C,不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分,可判断D.
【详解】解:∵对称轴为直线,
∴,
∵当时,,
∴,故A错误,
∵抛物线开口向下,
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小,
∵关于直线对称的点为,
又∵,
∴,故B错误,
根据图象可得:时,x的值不相等,即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,
不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分,
∵关于直线对称的点为,
∴x的取值范围为,故D正确;
故选:D
9.B
【详解】试题分析:∵二次函数(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),
∴.∴.故选B.
10.C
【分析】根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断.
【详解】解:∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为,
∴当x=1时,,
故结论①正确;
根据函数图像可知,
当,即,
对称轴为,即,
根据抛物线开口向上,得,
∴,
∴,
即,
故结论②正确;
根据抛物线与x轴的一个交点为,
对称轴为可知:抛物线与x轴的另一个交点为(-3,0),
∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1,
故结论③正确;
根据函数图像可知:,
故结论④错误;
当时,,
∴当时,,
即,
故结论⑤错误,
综上:①②③正确,
故选:C.
【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质,正确理解二次函数与方程的关系.
11.2
【分析】此题主要考查了二次函数定义,关键是掌握二次函数定义,要抓住二次项系数不为0这个关键条件.利用二次函数定义进行解答即可.
【详解】解:由题意可知,,
解得:.
故答案为:2.
12.a≤2
【详解】由二次函数的解析式得到对称轴为x=a,函数图象的开口向上,
∴在对称轴x=a的右边函数值y随着x的增大而增大,
故只要a≤2时,x>2,y随x的增大而增大,
所以a的取值范围为a≤2.
故答案为a≤2.
13.-2或-1或0或1
【分析】由题意函数与坐标轴有两个交点,要分两种情况:①函数为一次函数时;②函数为二次函数,分两种情况进行讨论,即当抛物线经过原点时,此时抛物线与x轴还有一个除原点以外的交点;若抛物线不经过原点,则抛物线必与x轴有一个交点,此时Δ=0,求出m的值即可.
【详解】解:∵函数的图象与坐标轴有两个不同的交点,
①当函数为一次函数时,则m+1=0 即m=-1,
此时y=-2x-,与坐标轴有两个交点;
②当函数为二次函数时m+1≠0,即m≠-1,分两种情况:
当抛物线经过原点时,y==0,即m=0,
此时=x(x-2),
则一个交点在原点,与x轴的另一个交点为(2,0);
当抛物线不经过原点时,△=(-2)2-4×(m+1)×m=0,
解得:m=-2或1.
综上,m=-1或0或-2或1时,函数与坐标轴有两个交点,
故答案为:-2或-1或0或1.
【点睛】此题主要考查一元二次方程与函数的关系,函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根,若方程无根说明函数与x轴无交点,其图象在x轴上方或下方,两者互相转化,要充分运用这一点来解题.
14.7
【分析】先根据抛物线的开口向上可知a>0,由顶点纵坐标为-7得出b与a关系,再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式,求出m的取值范围即可.
【详解】解:一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则二次函数y=ax2+bx的图象与直线y=-m有交点,由图象得,-m≥-7,解得m≤7,
∴m的最大值为7,
故答案为:7.
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点,解题的关键是用函数图象来处理方程根的问题.
15.或.
【分析】由可变形为,即比较抛物线与直线之间关系,而直线PQ:与直线AB:关于与y轴对称,由此可知抛物线与直线交于,两点,再观察两函数图象的上下位置关系,即可得出结论.
【详解】解:∵抛物线与直线交于,两点,
∴,,
∴抛物线与直线交于,两点,
观察函数图象可知:当或时,直线在抛物线的下方,

∴不等式的解集为或.
故答案为或.
【点睛】本题考查了二次函数与不等式,根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键.
16.
【分析】由两点之间线段最短可知,当D、P、B在同一直线上时就可使PC+PD的值最小,解答即可.
【详解】解:连接PB,
对于抛物线y=-x2+k,
对称轴是y轴,
∴PC=PB,
∴当D、P、B在同一直线上时,PC+PD的值最小,最小值为BD的长,
∵抛物线y=-x2+k过点D(1,3),
∴把x=1,y=3代入y=-x2+k,解得:k=4,
把y=0代入y=-x2+4,解得:x=2或x=-2,
所以点B的坐标为(-2,0),
所以BD=,
故答案为:.
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点,轴对称-最短路线问题,找到P点是本题的关键.
17.(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的定义,二次函数的一般形式中,二次项系数,解此题易出现只关注满足指数的要求,而忽略对二次项系数的限制,从而导致错误.
(1)根据二次函数的定义得出,即可得出;
(2)根据一次函数的定义得出,即可得出.
【详解】(1)解:∵函数是关于的二次函数,
∴,
∴;
(2)解:∵函数是关于的一次函数,
∴,
∴.
18.点位置见解析图中;
【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的顶点坐标、求中点坐标、利用对称的性质、两点之间线段最短以及勾股定理等知识点求一个动点到两个定点的最小距离,掌握以上知识点是解答本题的关键.
先利用待定系数法求出抛物线的解析式,然后求出顶点、中点的坐标,最后根据对称的性质作关于轴的对称点,依据勾股定理和两点之间线段最短求出的最小值.
【详解】解:抛物线经过点,,
,解得,
抛物线的解析式为,

顶点的坐标为,
,,
中点的坐标为,其关于轴的对称点坐标为,
连接与轴交于点,则最小,且最小值为.
19.(1)[, 1, 1];(2)m1= 1,m2=.
【分析】(1)利用“图象数”的定义求解;
(2)根据新定义得到二次函数的解析式为y=mx2+(m+1)x+m+1,然后根据判别式的意义得到△=(m+1)2 4m(m+1)=0,从而解m的方程即可.
【详解】解:(1)二次函数y=x2-x-1的“图象数”为[, 1, 1];
故答案为[, 1, 1];
(2)二次函数的解析式为y=mx2+(m+1)x+m+1,
根据题意得:△=(m+1)2 4m(m+1)=0,
解得:m1= 1,m2=.
【点睛】本题考查了新定义及抛物线与x轴的交点问题,把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题关键.
20.(1)
(2)小明此次试投的成绩能达到满分,理由见解析
【分析】(1)由题意得,抛物线的顶点坐标为,点A的坐标为,设抛物线解析式为,利用待定系数法代入求解即可;
(2)令,即,解方程求解即可得出结论.
【详解】(1)由题意得,抛物线的顶点坐标为,点A的坐标为,
设抛物线解析式为,
∵抛物线经过点A,

解得,
∴抛物线解析式为;
(2)令,即,
解得或(舍去),


所以,小明此次试投的成绩能达到满分.
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用,正确理解题意,熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.
21.(1),另一个根为;(2)见解析
【分析】(1)把x=1代入方程x2 + ax + a - 2 = 0中,即可求得a的值;把a的值代入方程x2 + ax + a - 2 = 0中,解方程即可;
(2)计算判别式,根据判别式即可证明结果.
【详解】(1)把x=1代入方程x2 + ax + a - 2 = 0中,得:1+a+a-2=0
解得:
把的值代入方程x2 + ax + a - 2 = 0中,得方程
解方程得:
即方程的另一个根为;
(2)令y=0,即x2 + ax + a – 2=0

∴方程x2 + ax + a – 2=0总有两个不相等的实数根
∴二次函数y = x2 + ax + a - 2的图象与x轴有两个交点.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式,熟练掌握这些知识是解决本题的关键.
22.(1),,
(2)490人
(3)从一开始应该至少增加3个检测点
【分析】(1)根据题意列方程,待定系数法求解析式即可求解;
(2)根据排队人数=累计人数-已检测人数,首先找到排队人数和时间的关系,再根据二次函数和一次函数的性质,找到排队人数最多时有多少人;8分钟后入校园人数不再增加,检测完所有排队同学即完成所有同学体温检测;
(3)设从一开始就应该增加m个检测点,根据不等关系“要在20分钟内让全部学生完成体温检测”,建立关于m的一元一次不等式,结合m为整数可得到结果.
【详解】(1)(1)将,,代入,
得,
解之得,,;
(2)设排队人数为w,由(1)知,
由题意可知,,
当时,,
∴时,排队人数的最大值是490人,
当时,,,
∵随自变量的增大而减小,
∴,
由得,排队人数最大值是490人;
(3)在(2)的条件下,全部学生完成核酸检测时间(分钟)
设从一开始增加n个检测点,则,解得,n为整数,
∴从一开始应该至少增加3个检测点.
【点睛】本题是二次函数综合题,考查了二次函数的应用,二次函数的性质,一次函数的性质,一元一次不等式的应用,理解题意,求出y与x之间的函数关系式是本题的关键
23.(1)
(2),
【分析】(1)设该商品的价格为元/千克,根据“以12元/千克售卖,每天可卖60千克;若每千克涨价0.5元,每天要少卖2千克;若每千克降价0.5元,每天要多卖2千克,但不低于成本价”,得到销售总质量与的函数关系式.
(2)根据利润=每千克利润×销售总质量,得到有关利润的二次函数求最值即可;
【详解】(1)由题意可得,
(2)由题意可得,
当时,利润达到最大
答:当为时,利润达到最大
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用,解题的关键是了解利润和售价,销售量之间的关系.
24.(1)
(2)
(3)
【分析】(1)将代入求解即可;
(2)点B是点A关于函数对称轴的对称点,连接交抛物线对称轴于点P,此时的值最小;
(3)设点,则点,由三角形的面积关系列出方程求解即可.
【详解】(1)∵抛物线与轴交于,,
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为;
(2)∵,
∴抛物线对称轴为直线,
∵点A,点B关于抛物线的对称轴l对称,
设交l于点P,则P即为所求的点,
当时,,则
设直线解析式为,
则,
∴,
∴直线解析式为,
当时,,
∴;
(3)如图,
设,则,
∴,,
∵,
∴,即,
∴,
化简得,
解得,(舍去),
∴,
∴.
【点睛】本题是二次函数的综合题,考查了利用待定系数法求解析式,点的对称性,图形的面积计算,勾股定理,熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)