22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 过关练习 2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册

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22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 过关练习
2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．函数y＝ax－2 (a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
2．下列判断中唯一正确的是（ ）
A．函数的图象开口向上，函数的图象开口向下
B．二次函数，当时，随的增大而增大
C．与图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同
D．抛物线与的图象关于轴对称
3．已知a<-1，点（a-1，），（a，），（a+1，）都在函数y=x 的图象上，则（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
4．若函数 是二次函数且图像开口向上，则a=（　　）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3
5．如果抛物线 的开口向上，那么m的取值范围是 （ ）
A． B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
6．抛物线顶点坐标是
A． B．
C． D．
7．在同一坐标系中，抛物线，，的共同特点是（　 ）
A．关于y轴对称，开口向上 B．关于y轴对称，y随x增大而减小
C．关于y轴对称，y随x增大而增大 D．关于y轴对称，顶点在原点
8．已知抛物线y＝（x﹣2）2上任意两点A（x1，y1）与B（x2，y2），若x2＞x1＞2，则y1和y2的大小关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
9．抛物线y= （x 5）2不经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、四象限
C．第二、三象限 D．第三、四象限
10．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是( )
A． B． C． D．
二、填空题
11．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为 ．
12．已知是二次函数，且当时，随增大而增大，则 ．
13．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：
①它们的图象开口方向、大小相同；
②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；
③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；
④它们与坐标轴都有一个交点；
其中正确的说法有 ．
14．抛物线经过点（-2，1），则 ．
15．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 .
16．点A（﹣1，﹣2）在抛物线y＝﹣（x﹣1）2上，点A、B关于该抛物线的对称轴对称，则B点坐标为 ．
17．直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是 .
三、解答题
18．已知 是二次函数，且函数图象有最高点．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．
19．抛物线的顶点为，它的形状与相同，但开口方向与之相反．
（1）直接写出抛物线的解析式 ；
（2）求抛物线与轴的交点坐标．
20．二次函数的图象与直线y＝2x－1交于点P（1，m）．
(1)求a、m的值；
(2)写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴．
21．已知一次函数y=ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y=x2的图象经过A、B两点．
（1）请求出一次函数的表达式；
（2）设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B A B D B A C
1．A
【分析】由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，②当a＜0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择A．
【详解】解：∵在y=ax-2，
∴b=-2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，
∵①当a＞0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，
∵②当a＜0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系．
2．D
【分析】利用二次函数的图象与的关系逐项判断即可．
【详解】解：
、若当时，则函数的图象开口向下，函数的图象开口向上，故不正确；
、若时，则二次函数开口向上，当时，随的增大而减小，故不正确；
、由于两函数中二次项系数互为相反数，故两抛物线的开口方向相反，故不正确；
、因为和互为相反数，所以抛物线与的开口方向相反，对称轴、顶点坐标都相同，故其图象关于轴对称；
故选:D.
【点睛】考查了二次函数的图象以及性质，对开口方向即单调性的判断需注意的正负.
3．C
【分析】根据函数y=x2的图象的特点：函数y=x2的图象的开口向上，对称轴是y轴；在y轴的左侧y随x的增大而减小；在y轴的右侧y随x的增大而增大．
【详解】解：∵，
∴，
由函数的图象知：当时随着的增大而减小，
∴.
故选：C.
【点睛】主要考查了二次函数的图象性质及单调性的规律．解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题.
4．B
【详解】解：函数 是二次函数，
可得，解得a=4或a=-2，
又因为图像开口向上，所以a=4，
故选：B.
5．A
【详解】因为抛物线y=(m 1)x 的开口向上，
所以m 1>0，即m>1，故m的取值范围是m>1，
故选A．
6．B
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】为抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为.
故选B．
【点睛】考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．
7．D
【详解】∵函数y=2x2，y=x2，y=x2中，a取值范围分别为：a＞0，a＞0，a＜0，
∴抛物线的开口方向分别为：向上、向上、向下，即开口方向不同；
由函数y=2x2，y=x2，y=x2的解析式可知：顶点坐标都为（0，0）；
∴他们共同的特点是都关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点．
故选D．
8．B
【分析】先确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，A、B两点与对称轴的远近，判断y1与y2的大小关系即可；
【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴x2＞x1＞2，则y2＞y1，
故选B.
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键.
9．A
【分析】由抛物线解析式可判断开口方向，顶点位置，对称轴，与y轴交点等，根据函数的大致图象判断抛物线的位置，回答题目的问题．
【详解】由抛物可知开口向下，顶点为（5，0），对称轴是x=5，
与y轴交点是（0，-），
所以过第三、四象限，不经过第一、二象限．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，会用顶点式求顶点，对称轴以及与y轴交点坐标，准确判断抛物线的顶点、对称轴、开口方向、与y轴的交点坐标是解题的关键.
10．C
【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x h）2＋k，由条件可以得出a＝ ，再将顶点坐标代入解析式就可以求出结论．
【详解】设抛物线的解析式为y＝a（x h）2＋k，
∵该抛物线的形状与开口方向和抛物线y＝ x2相同，
∴a＝ ，
∴y＝ （x h）2＋k，
∵抛物线的顶点为(－5，0)，
∴y＝ （x＋5）2．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，在解答时运用抛物线的性质求出a的值是关键．
11．m＞1
【分析】直接利用二次函数的性质得出m－1的取值范围进而得出答案．
【详解】解：∵抛物线y=（m－1）x2有最低点，
∴m－1＞0，
解得：m＞1．
故答案为m＞1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．
【分析】是二次函数，那么x的指数为2；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，那么二次函数图象的开口向上，可得二次项的系数大于0．
【详解】解：由题意得：k2+k﹣4=2，解得：k=﹣3或k=2；
∵当时，随增大而增大，∴k+2＞0，解得：k＞﹣2；
∴k=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了二次函数的定义和性质．用到的知识点为：二次函数中未知数的最高次数是2；在对称轴的右侧y随x的增大而增大，那么二次项的系数大于0．
13．①
【分析】根据二次函数图像的特点得出答案
【详解】①因为y=3（x﹣1）2的二次项系数为3与y=3x2+1的二次项系数相同，所以开口向上且大小相同①正确.②y=3（x﹣1）2的对称轴是x=1所以错误.③y=3（x﹣1）2的开口向上且对称轴是x=1，所以当0＜x＜1时函数值y随x的增大而减小，所以错误.④y=3（x﹣1）2与坐标轴有两个交点，所以错误.
【点睛】熟练掌握二次函数图像的特点是解该题的关键.
14．
【详解】解：将点(-2，1)代入函数解析式可得：，则a=1．
故答案为：1
15．
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后比较三个点离直线x=2的远近得到y1，y2，y3的大小关系．
【详解】∴抛物线的对称轴为直线x=-2，
∵A（-4，y1），B（-3，y2），C（3，y3），
∴点A到对称轴的距离是2个单位，
点B到对称轴的距离是1个单位，
点C到对称轴的距离是5个单位，
∴点C离直线x=-2最远，点B离直线x=-2最近，
∵a＜0,
∴抛物线开口向下，有最大值，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值.其顶点坐标是(h，k)，对称轴为x=h.
16．（3，﹣2）．
【分析】先确定抛物线的对称轴方程，根据A、B关于抛物线的对称轴对称，即可得到点B的坐标．
【详解】解：抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵点B和点A（﹣1，﹣2）关于直线x＝1对称，
∴B（3，﹣2），
故答案为（3，﹣2）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，利用纵坐标相等的点关于对称轴对称是解题关键．
17．（-1，1）和（2，4）
【详解】由题意可得： ，解得： ， .
∴直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是：（-1，1）和（2，4）
故答案为：（-1，1）和（2，4）
18．（1）k=﹣3；（2）当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
【详解】试题分析：（1）根据二次函数的定义得出k2+k﹣4=2，再利用函数图象有最高点，得出k+2＜0，即可得出k的值；
（2）利用（1）中k的值得出二次函数的解析式，利用形如y=ax2（a≠0）的二次函数顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴即可得出答案．
试题解析：解：（1）∵是二次函数，∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，∴k=﹣3；
（2）当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
19．（1）；（2）
【分析】（1）由抛物线y=a（x+h）2的顶点为（-2，0），得出h=2，抛物线y=a（x+h）2的形状与y=3x2的相同，开口方向相反，得出a=-3，从而确定该抛物线的函数表达式；
（2）根据图象上点的坐标特征求得即可．
【详解】解：（1）∵抛物线y=a（x+h）2的顶点为（-2，0），
∴-h=-2，
∴h=2，
抛物线y=a（x+h）2的形状与y=3x2的相同，开口方向相反，
∴a=-3，
则该抛物线的函数表达式是y=-3（x+2）2；
（2）当时，，
抛物线与轴的交点坐标为．
【点睛】主要考查了待定系数法求二次函数的解析式．要求掌握二次函数图象的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题．
20．(1)a=1，
(2)当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小
(3)顶点坐标为(0，0)，对称轴直线x=0（或轴）
【分析】（1）把P代入y=2x-1，求得的值，然后将代入二次函数解析式即可求解；
（2）根据（1）的结论可写出二次函数解析式，根据解析式求得对称轴为，进而即可求解；
（3）根据函数解析式直接写出顶点坐标与对称轴．
【详解】（1）解： 把P代入y=2x-1中得：m=2×1-1=1，
则P(1，1)，
把P代入中得：1=a×1，
∴a=1；
（2）解： 由题（1）得，
∵a=1>0， 对称轴为直线x=0，
∴当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小；
（3）解：由可得，抛物线的顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0（或轴）
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，一次函数的性质，的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
21．（1）；（2）2．
【详解】试题分析：（1）将A、B的横坐标代入抛物线的解析式中，即可求得A、B的坐标，然后将它们代入直线的解析式中，可得方程组，解方程组即可求得a、b的值，从而得一次函数的表达式；（2）抛物线y=x2的顶点是原点O，设直线AB与x轴的交点为D，先根据直线AB的解析式求出D点坐标，然后根据△ADO的面积减去△OBD的面积=△OAB的面积即可求得．
△OAB的面积．
试题解析：解：（1）设A点坐标为（3，m）；B点坐标为（-1，n）．
∵A、B两点在y=x2的图象上，∴m=×9=3，
n=×1=．
∴A（3，3），B（-1，）．
∵A、B两点又在y=ax+b的图象上，可得，
，解得
∴一次函数的表达式是．
（2）如下图，设直线AB与x轴的交点为D，则D点坐标为（,0）,
S△ABC=S△ADC-S△BDC=××3-××1=2．

考点：二次函数与一次函数综合题．
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