22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 过关练习 2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册

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22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 过关练习
2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（　　）
A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大
C．图象的顶点坐标是（1，4） D．图象与x轴的另一个交点是（4，0）
3．关于二次函数y＝(x+1)2的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下 B．经过原点
C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是(﹣1，0)
4．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标
5．当函数y=（x-1）2-2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．x为任意实数
6．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为(　　)
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0
7．顶点为( 5,0)且平移后能与函数的图象完全重合的抛物线是( )
A． B． C． D．
8．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝－2(x－1)2＋3 B．y＝－2(x＋1)2＋3
C．y＝－(2x＋1)2＋3 D．y＝－(2x－1)2＋3
9．若二次函数y＝－(x－m)2＋1，当x≤2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是( )
A．m＝2 B．m>2 C．m≥2 D．m≤2
10．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．如果二次函数y=a(x+3)2有最大值，那么a 0，当x= 时，函数的最大值是 ．
12．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为 ．
13．已知二次函数y=3(x-a)2的图象上，当x>2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ．
14．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 .
15．把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
三、解答题
16．已知二次函数y=﹣2x2+5x﹣2．
（1）写出该函数的对称轴，顶点坐标；
（2）求该函数与坐标轴的交点坐标．
17．把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=(x+1)2-1的图象.
（1）试确定a，h，k的值；
（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标.
18．已知二次函数图象的顶点是(－1，2)，且过点(0，)．
(1) 求二次函数的表达式；
(2) 求证：对任意实数m，点M(m，－m2)都不在这个二次函数的图象上.
19．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y=3x2都相同，顶点与抛物线y=(x+2)2相同.
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)将上面的抛物线向右平移4个单位会得到怎样的抛物线解析式？
(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线解析式.
20．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A（1，﹣4），且过点 B（3，0）．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标．
21．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线顶点为A，且经过点B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求当时，的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D A B B C B C B
1．C
【分析】根据二次函数的性质y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)进行求解即可.
【详解】∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5，
∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．
2．D
【分析】利用二次函数的图像与性质，判断选项的正误即可.
【详解】由函数图像可知，对称轴是直线x＝1故选项A正确；
当x＜0时，函数y随x增大而增大，故选项B正确；
图象的顶点坐标是（1，4），故选项C正确；
图象与x轴的另一个交点是（3，0），故选项D错误.
故选D
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握性质是解题的关键.
3．D
【分析】根据抛物线的性质由a=得到图象开口向上，将x=0代入求出相应的y值即可判断是否经过原点，由抛物线的性质可判断对称轴右侧图象的变化情况，根据顶点式即可得到顶点坐标，由此即可得答案.
【详解】二次函数y＝(x+1)2中a=>0，所以抛物线开口向上，
当x=0时，y=，所以图象不经过原点，
因为抛物线开口向上，所以在对称轴右侧的部分是上升的，
由解析式可知顶点坐标为(-1，0)，
所以选项A、B、C是错误的，D是正确的，
故选D.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记其y=a(x-h)2+k的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键．当a＞0时，抛物线的开口向上，当a＜0时，抛物线(a≠0)的开口向下．
4．A
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点的坐标进行选择即可．
【详解】∵抛物线中，a＜0，
∴开口向下，
∴顶点坐标（5，3）．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点的坐标是解题的关键．
5．B
【分析】利用二次函数的增减性求解即可，画出图形，可直接看出答案．
【详解】解：对称轴是：x=1，且开口向上，如图所示，
∴当x＜1时，函数值y随着x的增大而减小；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
6．B
【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．
【详解】顶点坐标（m，m+1）在第一象限，则有
解得：m>0，
故选：B．
7．C
【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由条件可以得出a，再将顶点坐标代入解析式就可以求出结论．
【详解】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且平移后能与函数的图象完全重合，∴a，∴y（x﹣h）2+k，∴y（x+5）2．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，在解答时运用抛物线的性质求出a值是关键．
8．B
【分析】由题意可知：该抛物线的解析式为y=-2（x-h）2+k，然后将顶点坐标代入即可求出解析式．
【详解】解：由题意可知：该抛物线的解析式为y=-2（x-h）2+k，
又∵顶点坐标（-1，3），
∴y=-2（x+1）2+3，
故答案为y=-2（x+1）2+3．
故选B．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，若两抛物线形状与开口方向相同，则它们二次项系数必定相同．
9．C
【分析】首先判断该二次函数图象的开口方向和顶点坐标，得出其增减性，然后求m的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数y＝－(x－m)2＋1的二次项系数是－1，
∴该二次函数图象的开口方向是向下；
又∵该二次函数图象的顶点坐标是（m，1），
∴当x≤m时，y随x的增大而增大，
∵当x≤2时，y随x的增大而增大，
∴m≥2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，能够根据二次函数解析式判断其开口方向、顶点坐标和增减性是解题的关键．
10．B
【详解】选项A，由图像可知二次函数开口向下，可得a＜0，对称轴在y轴的右侧，可得c＜0；一次函数经过一、二、三象限，可得a＞0，c＞0，所以A选项错误；
选项B，由图像可知二次函数开口向下，可得a＜0，对称轴在y轴的左侧，可得c＞0；一次函数经过一、二、四象限，可得a＞0，c＞0，所以B选项正确；
选项C，由图像可知二次函数开口向上，可得a＞0，对称轴在y轴的左侧，可得c＞0；一次函数经过一、三、四象限，可得a＞0，c＜0，所以C选项错误；
选项D，由图像可知二次函数开口向上，可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，可得c＜0；一次函数经过一、二、四象限，可得a＞0，c＞0，所以D选项错误；
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数及一次函数的图像的性质，所用到的知识点：二次函数和一次函数的常数项是图像与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图像经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图像开口向上；二次项系数小于0，图像开口向下．
11． ＜ x=-3 0
【分析】由二次函数的开口方向和顶点坐标可求得答案．
【详解】解：∵y=a(x+3)2有最大值，
∴抛物线开口向下，
∴a<0，当x= 3时，y=0，
即当x= 3时，函数的最大值是0，
故答案为<； 3；0．
12．
【详解】试题分析：抛物线的顶点坐标为（0，0），向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（3，2），根据顶点式可确定所得抛物线解析式．
试题解析：解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（3，2），又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：，即．故答案为．
点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
13．a≤2
【详解】由二次函数的解析式得到对称轴为x=a，函数图象的开口向上，
∴在对称轴x=a的右边函数值y随着x的增大而增大，
故只要a≤2时，x＞2，y随x的增大而增大，
所以a的取值范围为a≤2．
故答案为a≤2．
14．
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后比较三个点离直线x=2的远近得到y1，y2，y3的大小关系．
【详解】∴抛物线的对称轴为直线x=-2，
∵A（-4，y1），B（-3，y2），C（3，y3），
∴点A到对称轴的距离是2个单位，
点B到对称轴的距离是1个单位，
点C到对称轴的距离是5个单位，
∴点C离直线x=-2最远，点B离直线x=-2最近，
∵a＜0,
∴抛物线开口向下，有最大值，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值.其顶点坐标是(h，k)，对称轴为x=h.
15．或（答出这两种形式中任意一种均得分）
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．
故答案为y=2（x+1）2﹣2．
考点：二次函数图象与几何变换．
16．（1）抛物线的对称轴直线x=，顶点坐标为（，）；（2）抛物线交y轴于（0，﹣2），交x轴于（2，0）或（，0）．
【分析】（1）把二次函数y=-2x2+5x-2化为顶点式的形式，根据二次函数的性质写出答案即可；
（2）令x=0可求图象与y轴的交点坐标，令y=0可求图象与x轴的交点坐标；
【详解】（1）∵y=﹣2（x2﹣x+﹣）﹣2=﹣2（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴直线x=，顶点坐标为（，）．
（2）对于抛物线y=﹣2x2+5x﹣2，
令x=0，得到y=﹣2，
令y=0，得到﹣2x2+5x﹣2=0，
解得：x=2或，
∴抛物线交y轴于（0，﹣2），交x轴于（2，0）或（，0）．
17．（1） （2）开口向上，对称轴是x=1的直线，顶点（1，-5）
【分析】（1）二次函数的平移，可以看作是将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k，然后再按二次函数图象的平移法则，确定函数解析式，即可得到结论；
（2）直接根据函数解析式，结合二次函数的性质，进行回答即可.
【详解】（1）∵二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y= (x+1)2-1，
∴可以看作是将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k，
而将二次函数y= (x+1)2-1先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数为：y= (x-1)2-5，
∴a=，b=1，k=-5；
（2）二次函数y= (x-1)2-5，开口向上，对称轴为x=1的直线，顶点坐标为（1，-5）.
18．(1)y=(x+1)2+2(2)见解析
【详解】试题分析：（1）可设此二次函数的表达式为y=a（x+1）2+2，把点（0，）代入即可解得a值，所以y=-（x+1）2+2，作图即可；
（2）把点M（m，-m2）代入二次函数解析式，通过等式左右是否相等判断是否在二次函数图象上．
试题解析： (1)依题意可设此二次函数的表达式为y=a(x+1)2+2，
又点(0，)在它的图象上，
所以=a+2，解得，a= ，
所求为y= (x+1)2+2，或y= x2 x+.
(2)证明：若点M在此二次函数的图象上，
则 m2= (m+1)2+2，
得m2 2m+3=0，
方程的判别式：4 12= 8<0，该方程无实根，
所以，对任意实数m，点M(m， m2)都不在这个二次函数的图象上.
点睛：本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式和图象上的点与解析式的关系.根据判别式的值得出点是否在函数的图象上，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
19．(1)y=3(x+2)2 (2)y=3(x-2)2 (3)y=-3(x-2)2
【详解】（1）直接利用a值及顶点坐标，即可得出答案；
（2）利用二次函数平移的性质得出平移后解析式；
（3）利用二次函数的性质得出符合题意的答案．
解：(1)∵一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y=3x2都相同,顶点与抛物线y=(x+2)2相同，
∴这条抛物线的解析式为：y=3(x+2)2；
(2)将抛物线向右平移4个单位会得到的抛物线解析式为：y=3(x 2)2；
(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，
则符合此条件的抛物线解析式为：y= 3(x 2)2.
20．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）1，（4，0）．
【详解】（1）有顶点就用顶点式求二次函数的解析式；
（2）由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0，得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，而后让较大的值也加上距离即可.
解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，-4），
∴设二次函数解析式为y=a（x-1）2-4，
把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：
0=4a-4，解得a=1，∴二次函数解析式为y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3；
（2）令y=0，得x2-2x-3=0，解方程，得x1=3，x2=-1.
∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（-1，0），
∴二次函数图象上的点（-1，0）向右平移1个单位后结果坐标原点.
故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标所得（4，0）.
21．（1）；（2）或
【分析】（1）根据题意求得的坐标，进而待定系数法求解析式即可；
（2）根据图象，找到直线在抛物线上方时，自变量的范围即可求解．
【详解】（1）直线交x轴于点A，交y轴于点B，
令，令，
抛物线顶点为A，且经过点B．
设抛物线的解析式为
将代入
即
解得
抛物线的解析式为
即
（2）根据图象，找到直线在抛物线上方时，自变量的范围，
求当时，自变量的范围为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据函数图象求自变量的取值范围，数形结合是解题的关键．
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