22.1.4y=ax2+bx+c的图象与性质课 过关练习 2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册

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22.1.4y=ax2+bx+c的图象与性质课 过关练习
2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．已知二次函数y＝ax ＋bx的图像如图所示，那么a、b的符号为（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＞0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＜0
2．已知二次函数，若，是该二次函数图象上的两点，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，则的值是（ ）
A． B．3 C．0 D．9
4．如图，在同一直角坐标系下，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．将抛物线y＝先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线所对应的函数式为（　　）
A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2﹣3
C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2+3
6．二次函数，自变量x与函数y的对应值如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的对称轴是y轴 B．当时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是 D．抛物线的开口向下
7．把抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得拋物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
8．用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图是二次函数（是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④当时，，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
10．若抛物线与抛物绒的顶点重合，且与轴的交点的坐标为，则抛物线的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．当时，二次函数有最大值，则的值为 ．
12．已知函数y1＝x2与函数y2＝－x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是 ．
13．抛物线的顶点坐标 ．
14．二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第 象限．

15．对于二次函数y＝ax2﹣3x﹣4（a＞0），若自变量x分别取两个不同的值x1，x2时，所对应的函数值y相等，则当x取x1+x2时，所对应的y的值是 ．
16．已知二次函数的图象与x轴交于和， 其中，与轴交于正半轴上一点．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ．
17．二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2+bx=0的根是 ．
三、解答题
18．以直线为对称轴的抛物线过点（3，0)，(0，3)，求此抛物线的解析式
19．已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）当0≤x≤3时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
20．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．
21．已知抛物线．
(1)该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________；
(2)将该抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到新的二次函数图象，请写出相应的解析式，并用列表，描点，连线的方法画出新二次函数的图象；
… …
… …
(3)新图象上两点，，它们的横坐标满足，且，试比较，，三者的大小关系．
22．如图，直线y＝x－1与抛物线y＝ax＋x＋c交于点A、B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为6，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若直线PQ∥y轴， 与抛物线、直线AB、x轴分别交于点P、Q、D，且点D位于线段OC之间，求线段PQ长度的最大值；
（3）连接BP、CQ，当四边形PQCB是平行四边形时，求点D的坐标．
23．已知抛物线．
(1)求该抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
(2)当时，抛物线上有两点，，若时，直接写出k的取值范围；
(3)若，，都在抛物线上，是否存在实数m，使得恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C B C B C B B
1．B
【分析】根据二次函数图象的开口向下，可得 ，再由二次函数图象的顶点坐标位于第一象限内，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象的开口向下，
∴ ，
∵二次函数图象的顶点坐标位于第一象限内，
∴ ，即，
∴ ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的符号的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
2．D
【分析】将点，坐标代入二次函数解析式即可得到一个不等式，再求出的取值范围．
【详解】解：，是函数的图象上的两点，且，
，
化简整理得，，
，
实数的取值范围是，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意列出不等式是解题的关键．
3．C
【分析】由对称轴是直线，且经过点，可知抛物线与轴的另一个交点是，代入抛物线即可．
【详解】解：因为抛物线对称轴是且经过点，
所以抛物线与轴的另一个交点是，
将代入抛物线解析式中，得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出抛物线与轴的另一个交点，难度不大．
4．C
【分析】根据一次函数和二次函数的图象来判断即可．
【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，得，由直线可知，，,故本选项正确；
D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟知一次函数和二次函数的图象是解题的关键．
5．B
【分析】利用二次函数图象平移规律， “左加右减，上加下减”的法则可进行求解.
【详解】解：将抛物线y＝先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y＝（x﹣2）2﹣3．
故选B．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象平移的法则.
6．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大，函数有最小值，即可求解．
【详解】解：由数据可得：当和3时，对应y的值相等，
∴函数的对称轴为：直线，
∴顶点为，
∵数据从到1对应的y值不断减小，
∴抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小，函数有最小值，
故选项A，B，D都错误．
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换， 根据二次函数图像左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】解：抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所以平移后抛物线的解析式为
故选∶B．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的三种表达形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
运用配方法即可将其化为顶点式．
【详解】解：
故选：C．
9．B
【分析】根据抛物线的开口向下可确定a的符号，根据图象知， ，故由a的符号可确定b的符号，根据抛物线与y轴交点的位置可确定c的符号，从而可判定①；由抛物线的对称轴为直线x=1，可得，从而可判定②；根据抛物线的对称轴及抛物线与x轴的交点A的位置，由抛物线的对称性可判定抛物线与x轴的另一个交点的位置范围是在(-1,0)和原点之间，从而可对③作出判断；由抛物线与x轴的两个交点的位置可对④作出判断．
【详解】解：抛物线的开口向下，所以a<0，
根据图象知， ， 所以b>0，
抛物线与y轴交点在y轴的正半轴上，故c>0，从而①正确；
由于抛物线的对称轴为直线x=1，可得，即b+2a=0，从而②正确；
根据抛物线的对称轴及抛物线与x轴的交点A的位置，由抛物线的对称性可知，
抛物线与x轴的另一个交点的位置范围是在点(-1,0)和原点之间，
当x= 1时，y=a-b+c，故点(-1,a-b+c)在x轴的下方，所以③正确；
由抛物线与x轴的两个交点的位置可知，当时，y的值可正可负，故④不正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合思想，几个常见式子符号的判断：看抛物线的开口方向定a的符号；看抛物线的对称轴是在y轴的左边还是右边定b的符号；看抛物线与y轴交点的位置定c的符号；看抛物线与x轴的交点定的符号．
10．B
【分析】根据题意求得抛物线的顶点坐标，进而设顶点式为y=a（x-1）2-3，代入（0，1），利用待定系数法即可求得．
【详解】∵y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物绒y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），
∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物绒y=2x2-4x-1的顶点重合，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-3），
∴设此抛物线为y=a（x-1）2-3，
∵与y轴的交点的坐标为（0，1），
∴1=a-3，解得a=4，
∴此抛物线为y=4（x-1）2-3=4x2-8x+1，
故选B．
【点睛】考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键,其步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.
11．6
【分析】现将二次函数解析式化为顶点式，从而得到当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，即可求解．
【详解】解：，
抛物线的对称轴为：直线，
，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，，
当时，，
当时，，
所以的值为6
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，能将二次函数的解析式化为顶点式是解题的关键．
12．/-2【分析】先求得两个图象的交点坐标，再找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x值即可．
【详解】解：由题意得x2= －x＋3，
整理得，
因式分解得，
解得，
∵y1＜ y2，
∴函数y1＝x2图像在函数y2＝－x＋3的图象的下方，自变量x的取值范围在两交点横坐标之间，
∴自变量x的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，解一元二次方程，解方程的能力是初中数学学习中极为重要的基本功，在中考中极为常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意数形结合思想的应用．
13．
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，把二次函数的解析式改成顶点式，即可求得顶点坐标．转化成顶点式是解题的关键．
【详解】∵，
∴抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
14．一
【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．
【详解】根据题意得：抛物线的顶点坐标为（﹣m，n），且在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0，即m＜0，n＜0，
则一次函数y＝mx+n不经过第一象限．
故答案为：一．
【点睛】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键．
15．-4
【分析】先求出抛物线的对称轴，找出x与x1+x2的关系，带入方程中计算即可.
【详解】∵自变量x分别取两个不同的值x1，x2时，所对应的函数值y相等，
∴抛物线的对称轴是x=（x1+x2），
∴（x1+x2）＝﹣，则x1+x2=，
则当x取x1+x2时
y＝a×（）2﹣3×﹣4＝﹣4，
故答案为﹣4．
【点睛】此题重点考查学生对二次函数的值的实际应用能力，掌握对称轴的公式是解题的关键.
16．②④
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据图象与坐标轴的交点坐标判断出a是负数是解题的关键，结论④的判断有点难度，先根据与x轴的交点坐标求出是关键．
根据与坐标轴的交点判断出，然后把交点坐标代入函数解析式求出a、b、c的关系式，再判断出对称轴在到0之间，然后对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为和，，与y轴交于正半轴，
，
，
，
，，故①错误，③错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
，
，故②正确；
∵抛物线与x轴的交点有一个为，
，
，
，（已证），
，，
，，
，故④正确，
综上所述，正确的结论有②④．
故答案为②④．
17．0，2
【分析】将点A，B代入二次函数解析式，求得的值，再代入，解出答案．
【详解】∵经过点A（-1,0），B（3,0）
∴，解得
∴即为
解得：或
故答案为：或．
【点睛】熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，及提取公因式法解一元二次方程是解题的关键．
18．
【分析】由对称轴可设抛物线的解析式为，把(3，0）,(0，3)代入即可求出a，b的值，即可求得解析式．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
抛物线过点（3，0），(0，3)，
∴
解得
∴抛物线的解析式为．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握和运用待定系数法求函数解析式是解决本题的关键．
19．（1）详见解析；（2）≤≤0
【分析】（1）按照列表，取点，连线的步骤画图即可；
（2）根据图象即可得出答案.
【详解】解：（1）列表如下：
-2 -1 0 1 2 3
5 0 -3 -4 -3 0
函数图象如下图所示：
（2）由图象可知，当0≤x≤3时，≤≤0．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
20．（1）；（2）
【分析】（1）由条件可分别求得、的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由条件可写出平移后的抛物线的解析式，联立，可得到关于的一元二次方程，根据根的判别式可求得的范围．
【详解】解：（1）点为直线与轴的交点，
，
又点横坐标为2，代入可求得，
，
抛物线顶点在轴上，
可设抛物线解析式为，
把、两点坐标代入可得，
解得，
抛物线解析式为；
（2）当抛物线平移后顶点坐标为时，其解析式为，即，
联立，可得，
消去整理可得，
平移后的抛物线总有不动点，
方程有实数根，
△，即，
解得，
即当时，平移后的抛物线总有两个不动点．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、一元二次方程等知识点．在（1）中确定出、两点的坐标是解题的关键，在（2）中确定出抛物线总有两个不动点的条件是解题的关键．
21．(1)，
(2)，图象见详解，
(3)
【分析】（1）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可；
（2）根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出函数解析式即可，再根据要求作出函数图象；
（3）根据函数图象，利用数形结合的思想求解即可．
【详解】（1）解：
对称轴为直线，顶点坐标为：
（2）解：向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，
平移后的抛物线的顶点坐标为，
平移后的抛物线的解析式为，
即，
… …
… …
如图：
（3）解：由图可知，时，，
时，，
．
【点睛】本题考查了画二次函数的图象，待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象的平移，掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（1）；（2）；（3）D或
【分析】（1）根据直线解析式求得点A、B两点坐标，然后代入抛物线解析式求解即可；
（2）设P，求得线段的长度，配方法求解即可；
（3）由平行四边形的性质可得，根据（2）中的式子，求解一元二次方程即可．
【详解】（1）直线y＝x－1与抛物线交于点A、B两点，点A在y轴上，则A（0，－1），∴c＝－1，
点B的横坐标为6，则y＝×6－1＝2，∴B（6，2）．把x＝6，y＝2代入得：，
∴抛物线的表达式；
（2）设P、则Q，
；
∵，当时，PQ最大＝
（3）当PQ//BC//y轴且PQ＝BC时，四边形PQCB是平行四边形，
即，解得，
∴D或
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先将抛物线的一般式化为顶点式，得出顶点坐标即可；
（2）根据时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线，离对称轴越远函数值越大，据此求解即可；
（3）由可得抛物线开口向下时，才可能存在符合条件的m值存在，根据抛物线的对称轴为直线，离对称轴越远函数值越小进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴该抛物线的顶点坐标为：．
（2）解：时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越大，
∴要使，则，
∴此时k的取值范围是；
综上分析可知，k的取值范围是．
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，抛物线开口向上，则抛物线此时有最小值，不可能满足；
当时，则离对称轴越远函数值越小，
∵，
∴，即,
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
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