22.2 二次函数与一元二次方程 过关练习 2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册

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22.2 二次函数与一元二次方程 过关练习
2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．如图是二次函数的部分图象,由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
2．已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（ ）
A．-3，-1 B．-3，0 C．-1，0 D．3
3．如图，给出了抛物线图象的一部分，是抛物线与轴的一个交点，那么抛物线与轴的另一个交点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
4．二次函数（，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：
x 0 1 2 3
y 1 2 1
则一元二次方程（，a，b，c是常数）的两个根，的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．根据下列表格对应值：
x 3 4 5
判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）．
A． B． C． D．
6．若二次函数的图像与x轴有两个交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＞1
7．抛物线与坐标轴交点个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．抛物线与x轴两交点间的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c－m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④m＞－2，其中，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．抛物线的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；其中正确的判断是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
二、填空题
11．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2＋c＜mx＋n的解集是 ．
12．求抛物线与y轴的交点坐标为 ．
13．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是 ．
14．如图所示二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣1，3），B（4，6），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是 ．
15．如图，若抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 .
16．已知抛物线与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则m的取值范围是 ．
17．抛物线（是常数）的顶点在第四象限，且． 下列四个结论：
①；
②；
③若，则当时，随的增大而增大；
④若抛物线的顶点为，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的结论是 ．（填写序号）．
18．在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点A在抛物线上，将点B向右平移3个单位长度，得到点C．
（1）抛物线的顶点坐标为 （用含a的代数式表示）；
（2）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围 ．
三、解答题
19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于 C．

(1)求点A、点C的坐标:
(2)作轴交抛物线于D，连接，，求的面积
20．如图，已知抛物线经过点．

(1)求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围．
21．【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．如图1，抛物线的顶点为轴于点，它与轴交于点，则的长为抛物线关于轴的跨径，的长为抛物线关于轴的矢高，的值为抛物线关于轴的矢跨比．
(1)【特例】如图2，已知抛物线与轴交于点（点在点右侧）抛物线关于轴的矢高是______，跨径是______，矢跨比是______；
(2)【应用】如图3是某地一座三连拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为，请求出边跨的矢跨比．
22．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 的顶点、分别在轴的正半轴和轴的负半轴上，二次函数的图象经过、两点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数的图象探索：当时，的取值范围．
23．已知抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与x轴的交点A，B的坐标；
(3)求的面积．
24．已知二次函数的表达式为．
(1)将其化成的形式；
(2)求图象与两坐标轴交点的坐标；
(3)在平面直角坐标系中画出图象；
(4)观察图象，当_________时，随的增大而减小；
(5)观察图象，当时，直接写出的取值范围：_________．
25．如图，二次函数的图象经过点且与轴交于点，点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称，一次函数的图象经过点及点．

(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集．
26．已知二次函数．
(1)若二次函数的图象经过点，求t的值；
(2)当时，求y的最小值（用含t的代数式表示）；
(3)若x可取全体实数，当时，y的最小值为．设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为，求线段的长度．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D D B B A C A
1．C
【分析】根据二次函数图像性质，可知的解集位于x轴的上方，分别求出与x轴交点坐标即可解决问题.
【详解】根据二次函数图像性质，可知的解集位于x轴的上方，有图像可知，对称轴为x=2，抛物线与x轴的交点为（5,0），由此可知抛物线与x轴另一个交点为（-1,0），所以的解集是.
故答案是C.
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是求出抛物线与x轴的交点坐标.
2．A
【分析】根据抛物线与x轴交点的横坐标，即可得方程的解．
【详解】∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为与，
∴的两根为：，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，找出抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
3．B
【分析】抛物线y=ax2+2ax+a2+2的对称轴为x= - = -1，可求得抛物线和x轴的另一个交点坐标．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+2ax+a2+2的对称轴为x= -=-1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点到x=-1的距离为2，
∴抛物线y=ax2+2ax+a2+2与x轴的另一个交点坐标为（1，0）．
故选B．
【点睛】本题考查抛物线和x轴的交点问题，注：抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等．
4．D
【分析】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程两个根的范围．
【详解】解：函数的图象与x轴的交点就是方程的根，函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0．
由表中数据可知：当时，对应的值在与之间或与之间，
∴，时，y的值最接近0，
∴，的取值范围是：，．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握函数的图象与x轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在．
5．D
【分析】先根据图表数据确定出代数式的值为0的x的取值范围即可．
【详解】解：由图表可知，时，．
故选D．
【点睛】本题主要考查了根据图表法求一元二次方程的近似根，正确理解图表是解答本题的关键．
6．B
【分析】根据二次函数与x轴交点个数由所决定，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数与x轴交点个数，熟练掌握二次函数与x轴交点个数是由决定的是解题的关键．
7．B
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点：对于二次函数，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．先计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，于是可判断抛物线的图象与坐标轴的交点个数．
【详解】解：令，则，
∵，
∴抛物线与x轴有两个点，
∵时，，
∴抛物线与y轴的交点为，
∴抛物线的图象与坐标轴的交点个数是3个，
故选：B．
8．A
【分析】用十字相乘法将抛物线解析式进行因式分解，令，即可求出两个交点的横坐标，从而求出交点间的距离.
【详解】解：，
当时
则，
解得：，．
与x轴的交点坐标为，．
则抛物线与x轴两交点间的距离为．
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点坐标求法，令，解一元二次方程即可得到交点的横坐标．
9．C
【详解】解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；
∵图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，
∴b＜0，
∵图象与y轴交于x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，故②正确；
当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，故③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点纵坐标为﹣2，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，则m＞﹣2，故④正确．
故选C．
10．A
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用数形结合思想．根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可．
【详解】解：图象开口向上，
，
对称轴为直线，
，
，
，①正确；
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一个交点为，
∴方程的两个根是，；故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y的值随x增大而增大；
∴当时，y的值随x增大而增大；
故③正确，
综上可知，正确的有①②③．
故选:A．
11．
【分析】根据不等式ax2＋c＜mx＋n的解集即为直线y＝mx＋n图象在抛物线y＝ax2＋c图象上方时自变量的取值范围，进行求解即可．
【详解】解：∵不等式ax2＋c＜mx＋n的解集即为直线y＝mx＋n图象在抛物线y＝ax2＋c图象上方时自变量的取值范围，
∴不等式ax2＋c＜mx＋n的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用图象法解一元二次不等式，理解不等式ax2＋c＜mx＋n的解集即为直线y＝mx＋n图象在抛物线y＝ax2＋c图象上方时自变量的取值范围是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可．
【详解】解：把代入得，
所以抛物线与y轴的交点坐标为；
故答案为：．
13．/
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，由抛物线图象可得，对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为，则抛物线与x轴的另一个交点是，根据二次函数的图象写出当时，x的取值范围即可．
【详解】解：由题意可得：对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为，抛物线与x轴的另一个交点是，
当时，．
故答案为：．
14．
【分析】根据﹤y2，则二次函数的图象在一次函数图象的下方，再由A、B点的坐标即可解答．
【详解】解： ∵﹤y2，则二次函数的图象在一次函数图象的下方，
∴的取值范围在两交点之间，
∵（﹣1，3），B（4，6）
∴由图象可知：的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是理解二次函数与不等式的关系，并会通过观察图象确定x的取值范围．
15．
【分析】观察图象当时，直线在抛物线上方，此时二次函数值小于一次函数值，当或时，直线在抛物线下方，二次函数值大于一次函数值，将不等式变形，观察图象确定x的取值范围，即为不等式的解集.
【详解】解：设，，
∵
∴，
∴
即二次函数值小于一次函数值，
∵抛物线与直线交点为，，
∴由图象可得，x的取值范围是.
【点睛】本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键.
16．
【分析】设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），根据一元二次方程的判别式和根与系数的关系解答即可．
【详解】解：由于抛物线与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，
故设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），
则x1、x2是一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴x1+x2=－m， x1·x2=m－2，
由题意，得：即，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题、一元二次方程的根与系数关系、一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式，熟练掌握抛物线与x轴的交点问题与一元二次方程根的关系是解得的关键．
17．①②④
【分析】①抛物线（a、b、c是常数）的顶点在第四象限， 可得抛物线开口向上， 可判断①符合题意． ②由， 可得， 可判断②符合题意． ③求解， 可得当时，随的增大而增大，错误，判断③不符合题意． ④抛物线的顶点为，可得有两个相等的实数根，证明，可得有两个不相等的实数根，判断④符合题意．
【详解】解：①抛物线（a、b、c是常数）的顶点在第四象限，
∴，
∵，
∴图象经过，
∴抛物线开口向上，
∴， ∴，故①符合题意．
②∵，
∴，
∴，故②符合题意．
③∵，
∴， ∴，
∴当时，随的增大而增大，错误，故③不符合题意．
④∵抛物线的顶点为，
∴抛物线的对称轴为直线，，
∴有两个相等的实数根，
∵，
∴，
∴，
∵，
整理得：，而函数图象开口向上，
∴有两个不相等的实数根，故④符合题意．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
18． 或
【分析】（1）根据直线与轴、轴交于A、．可得，，根据抛物线过，可得，根据一般式配方成顶点式即得抛物线的顶点坐标；
（2）根据点向右平移3个单位长度，得到点，分①当抛物线与相交时，抛物线对称轴左侧部分在点B上方时, 得到；抛物线对称轴右侧部分在点C下方时，得到a不存在；②当抛物线顶点在上时，得到；即可．
【详解】解：（1）∵直线与轴、轴交于A、．
∴时，，，
时，，
∴，，
∵抛物线过，
∴，，
∴，
∴顶点为；
故答案为：；
（2）∵向右平移3个单位长度，得到点C，
∴，
∵，抛物线开口向下，抛物线与线段恰有一个公共点，
①当抛物线与线段相交时，
若抛物线过点，
，
实际此时抛物线在点上方，
∴，；
若抛物线过点C，
，
实际此时抛物线在点C下方，
∴a不存在；
∴；

②当抛物线顶点在上时．
此时顶点为，
∴，解得．

∴综上所述，或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数综合，熟练掌握一次函数与一元一次方程的关系，点的平移规律，待定系数法，结合图象解不等式或方程，分类讨论，解题的关键．
19．(1)、
(2)的面积是6
【分析】（1）根据待定系数法代入坐标求解即可；
（2）求得的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
【详解】（1）抛物线解析式为，
当时，，故，
当时，，解得或2
故，
∴、；
（2）令，则，
解得，，
，
，
∴．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数待定系数法求坐标，三角形的面积等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．(1)抛物线的顶点坐标为
(2)或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质．
（1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，再化为顶点式求顶点坐标；
（2）分别确定时x对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解．
【详解】（1）把代入得：
，
解得，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）∵，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当时，或，
∴当时，x的取值范围是或．
21．(1)9；6；
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据待定系数法求解析式及二次函数的图像和性质是解题即可．
（1）根据求得矢高和跨径的值，结合给定的矢跨比的定义，即可求解；
（2）依题意建立坐标系，设根据主跨的矢跨比为和跨径为420米，求得主跨抛物线表达式为根据题意设可得边跨的抛物线与x轴交和，可求得边跨抛物线表达式为进一步求得顶点坐标，即可求得边跨的矢跨比．
【详解】（1）解：抛物线的顶点为，
抛物线的顶点到轴的距离是9，
拋物线关于轴的矢高是9，
在中，当时，，
解得，
，
抛物线关于轴的跨径是6，
矢跨比是；
（2）设以主跨的对称轴为y轴的坐标系，如图，
依题意主跨的矢跨比为，设矢高是a，则跨径是，设主跨的抛物线表达式为
∵主跨的跨径为420米，
∴，解得，
∵根据跨径为420，抛物线与x轴交点，
∴，解得，
则主跨的抛物线表达式为
∵主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，
∴设边跨的抛物线表达式为
∵边跨的跨径为280米，
∴边跨的抛物线与x轴交和，
∴，解得，
则边跨的抛物线表达式为
即其顶点坐标为，
边跨的矢跨比为，
22．（1）；（2）当或时，
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数与不等式，解题的关键是正确的求出二次函数的解析式．
（1）把，代入得方程组，解出，的值，即可求出二次函数的解析式，
（2）令，解得的值，结合图象可知即可求出答案．
【详解】解：（1）由题意得，代入得
，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）令，
得，
解得，，
结合图象可知：
当或时，．
23．(1)
(2)点，点
(3)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与图形面积综合．
（1）将点和点代入即可求出解析式；
（2）令，解出的x的值即可得到点A、B的坐标；
（3）根据点坐标求得，代入面积公式计算即可．
【详解】（1）解：把点和点代入得
解得，
所以抛物线的解析式为：．
（2）把代入，
得，
解得，
∵点A在点B的左边，
∴点，点．
（3）解：连接，
由题意得，
24．(1)；
(2)图象与两坐标轴交点的坐标为；
(3)图象见解析；
(4)；
(5)．
【分析】（1）利用配方法化顶点式即可得解；
（2）求与x轴的交点，把 代入函数解析即可求出与x轴的交点，把代入函数解析式即可求出与y轴的交点；
（3）先列出表表格，再画出函数图象即可；
（4）观察图象，即可求解；
（5）观察图象，即可求解．
【详解】（1）解： ；
∴将化为顶点式为；
（2）解：对于，令 ，则，
∴ ，
∴方程没有实数解，
∴二次函数的图象与x轴没有交点；
令 ，则 ，
∴二次函数的图象与y轴的交点为，
∴图象与两坐标轴交点的坐标为；
（3）解：列表得，
0 1
3 1 3
描点并连线得，
（4）解：由图象可知，当 时， y随x的增大而减小，
故答案为∶；
（5）解：观察图象，当 时，直接写出y的取值范围，
故答案为∶ ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
25．(1)，
(2)或
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质．
（1）先将点代入，再将对称轴直线代入公式即可得出和的值，根据点的对称性确定点坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据图象和、的交点坐标可直接求出的解集．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，
，
二次函数图象的对称轴直线，
，
，，
二次函数的解析式为；
，
点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称，
，
设一次函数代解析式为，
，
，
一次函数的解析式为；
（2）解：由图象可得，不等式的解集或．
26．(1)
(2)若，y的最小值为3；若，y的最小值为；若，y的最小值为
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握二次函数对称性和增减性，一元二次方程的根与系数的关系，用分类讨论的数学思想，是解答本题的关键．
（1）把代入二次函数解析式，解方程即得；
（2）根据图象开口向上，对称轴是直线和，分，，三种情况解答；
（3）根据，结合（2）的后两种情况，运用一元二次方程根与系数的关系解答并验证即得．
【详解】（1）∵经过点，
∴，
解得，；
（2）∵，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线的对称轴为直线，
①若，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y取得最小值，为3；
②若，
∴当时，y取得最小值，为;
③若，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最小值，即．
综上可知，若，y的最小值为3；若，y的最小值为；若，y的最小值为．
（3）由（2）知，当时，y取最小值，解得，．
，
．
由题意，可知为一元二次方程的两个根．
由韦达定理，得，
．
当时，y取得最小值，即，解得，，不合．
综上，．
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