22.3 实际问题与二次函数（拱桥和投球问题） 过关练习 2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册

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22.3 实际问题与二次函数（拱桥和投球问题） 过关练习
2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，有一抛物线拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面增加时，水面下降了（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数的图像形状相同的抛物线形，杯脚高，杯口宽为，则酒杯总高度为（　　）
A． B． C． D．
4．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的有（ ）
①此抛物线的解析式是
②篮圈中心的坐标是
③此抛物线的顶点坐标是
④篮球出手时离地面的高度是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：）与小球运动的时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论：
①小球在空中经过的路程是40；
②与之间的函数关系式为；
③小球运动的时间为6；
④当小球的高度时，．以上结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．从某一高度自由下落的小球离地面的高度与下落时间满足关系式，它的图象如图所示，点为其图象上一点．小球下落过程中的速度与小球离的距离满足关系式，已知该小球到达地面的速度超过时会对地面造成伤害，则下列说法错误的是（ ）
A．小球开始下落时离地面的高度为 B．小球落地
C．小球不会对地面造成伤害 D．第时小球的速度为
7．某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表：
0 1 2 3 4 5 6 7 …
0 8 14 18 20 20 18 14 …
有下列结论：
①足球距离地面的最大高度为；
②足球被踢出时落地；
③足球被踢出时，距离地面的高度是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动的高度可以是25m；
③小球运动时的高度大于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 米．
10．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米，距离点2米处的棚高为米，若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是 米．
11．湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ．
12．从地面向上抛出的小球，小球的高度（单位）与运动时间（单位：）之间的关系是，则小球运动过程中，小球高于地面的时长为 ．
13．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是 米．
14．如图，在水平地面上的点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为点B，网球的飞行路线是一段抛物线，小明在线段之间的点C的右侧竖直向上摆放若干个直径为米、高为米的无盖圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）已知米，米，网球飞行的最大高度米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放 个无盖圆柱形桶．
三、解答题
15．一个横截面为抛物线形的隧道底部宽，高，如图，车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧距道路边缘这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请你根据这些要求，建立适当的坐标系，利用所学的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制．
16．小博周末随家人采摘草莓，小博发现种植草莓的大棚使用钢结构骨架，它的横截面可以近似看作由矩形和抛物线构成，小博通过采摘园主获得了大棚的部分信息，并绘制了图象．
如图，大棚横截面下方是矩形，顶部是抛物线．取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E．若以O点为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系．E点为抛物线的顶点且，，．请你解决下列问题：
(1)求抛物线的解析式，并写出自变量取值范围；
(2)小博观察到顶棚内部采用另一种轻质材料制作的直角三角形支架进行加固．如图，若点G在横梁段的中点处，，垂足为点G，和关于成轴对称．一个横梁上需要两个这样的直角三角形，所需这种轻质材料总长是的和．若一个大棚有15个横梁，不考虑材料损耗，请你计算，制作这样的支架，一共需要多长这种轻质材料？
17．已知某桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面的宽为，最高点距离水面，如图所示，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)某次大雨后水面上涨至，测得最高点距离的高度为，求桥拱下水面的宽度．
18．九年级的一名高个子男生推铅球，铅球的运动轨迹可看作某条抛物线的一部分，已知这名男生的出手处A点离地面的高度为2米，当球运动到点B最高处5米时，离该男生站立地点O的水平距离为6米．以点O为原点建立如图所示的坐标系．
(1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
(2)求该男生把铅球推出去多远？
(3)有一个横截面为矩形的竹筐，长米，高米（不考虑竹筐的宽度），若铅球可落入筐内，请求竹筐的边到O点的水平距离m的取值范围．
19．足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员姆巴佩从距离球门底部中心点O正前方9米的A处射门，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式：
(2)已知球门高为米，通过计算判断姆巴佩的球能否射进球门（忽略其他因素）．
20．2024亚洲羽毛球精英巡回赛在陕西省体育馆开幕，运动员们为争夺荣誉而战，无论是快速的网前小球还是大力的后场扣杀，都赢得现场观众的阵阵喝彩．羽毛球爱好者小明在练习羽毛球时，站在与球网距离为的点O处练习发球，羽毛球的运动轨迹可近似的看成抛物线型．线段表示水平地面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知小明的发球高度，点A在y轴上，为占据发球优势，小明以下面两种方案练习发球：
方案一：小明以高远球的方式练习发球，当羽毛球的最大高度为时，此时羽毛球恰好位于球网正上方．
方案二：小明以网前球的方式练习发球，羽毛球过球网后落在距球网的位置．
(1)求方案一中羽毛球运动轨迹所在抛物线的函数表达式；
(2)小明在与小华的对战中，小华站在距球网的位置接球，为增加对方接球难度，小明需将球打到离小华越远的位置越容易获胜，则小明在点O处发球用哪种发球方式更容易获胜？（影响发球的其他因素均忽略不计）
21．问题背景 如图是足球比赛中某一时刻平面截面示意图，足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于球场点，守门员位于球场点，后卫位于球场点C（O，，三点共线），的延长线与球门线交于点，且点，，均在．足球轨迹正下方，已知米，米．通过监测，足球飞行的水平速度为．水平距离s（单位：米，水平距离水平速度时间）与离地高度（单位：米）的函数关系式为．守门员的最大防守高度都为米，后卫的最大防守高度为米．守门员和后卫在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员和后卫位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员或后卫的最大防守高度视为防守成功．
问题解决
(1)当足球飞行的水平距离时，求足球离地高度为多少米？
(2)当足球飞行多少秒时，足球离地达到最高？若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由．
(3)求后卫选择面对足球移动防守，计算成功防守的最小速度．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C C A C B B
1．A
【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解．
【详解】解：∵水面宽为，
∴的横坐标为
把代入
得：
∴
∴此时拱顶到水面的距离为
故选：A．
2．B
【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键．
根据题意得，抛物线顶点为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出，然后将代入求解即可．
【详解】用如图所示的方式建立平面直角坐标系，
根据题意得，抛物线顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
∴，
∵当水面增加时，
∴水面宽度为，
∴，
∴此时水面与抛物线右边的交点的横坐标为，
∴当时，．
∴当水面增加时，水面下降了．
故选：B．
3．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.
先确定抛物线的顶点坐标和对称轴，根据对称性确定点坐标，求出点到直线的距离即可求解.
【详解】解：抛物线的顶点坐标为
即，
∴对称轴为直线，
∵为，
∴当时，代入解析式得，
即，
∴点到的距离为，
∴酒杯总高度为，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了二次函数的应用，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解题的关键．对于A，设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值，据此将得到的解析式与A选项对照，即可得到其正误；对于B、C，根据函数图象判断，即可得到其正误；对于D，设这次跳投时，球出手处离地面，将代入计算即可求得结论．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴可设抛物线的函数关系式为．
，
∴篮圈中心在抛物线上，故选项②正确；
∴，解得，
∴此抛物线的解析式是，拋物线的顶点坐标是．故选项①正确，选项③错误；
设篮球出手时离地面的高度是.
令中，
可得．
可知篮球出手时离地面的高度是.故选项④错误．
则说法正确的有①②，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点，读懂函数图象是解题的关键．
根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；
故①错误；
②设函数解析式为：，
把代入得，
解得，
函数解析式为，
故②错误；
③令，，
解得：或6，
小球的运动时间为，
故③正确；
④把代入解析式得，，
解得：或，
小球的高度时，t为秒或秒，
故④错误；
综上，正确的只有一个，
故选A．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确地列出函数关系式是解题的关键．根据题意和二次函数的性质逐个选项进行判断，即可求解．
【详解】解：A、把代入得：，
解得：，
小球开始下落时离地面的高度为，
故A选项说法正确；
B、由上可知，，
把代入得：，
小球落地，
故B选项说法正确；
C、由题意得，小球落地时离的距离，
代入得：，
，
小球会对地面造成伤害，
故C选项说法错误；
D、把代入得：，
第时小球离地面的高度为，
第时小球离的距离，
代入中得：，
，
第时小球的速度为，
故D选项说法正确；
综上所述，故选：C．
7．B
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键，根据表格可得抛物线的对称轴为直线，过点，则设抛物线的解析式为，待定系数法求得解析式，进而逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线
∴当和时，
设抛物线的解析式为，把代入得，
∴，
∴足球距离地面的最大高度为，故①错误，
∵时，，
∴足球被踢出时落地，故②正确，
∵时，，故③错误，
∴正确的有②，共1个
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数图象的性质，顶点坐标的计算，函数值的计算是解题的关键．
根据时，解方程，可判定结论①；配方出顶点式，求出最大值，可判定结论②；把运动时的高度，运动时的高度计算出来比较即可判定结论③；由此即可求解．
【详解】解：当时，，
解得：或，
∴小球从抛出到落地需要，正确，故①符合题意；
，由于，
∴当时，小球运动的高度是20m，不可能为，故②错误，不符合题意；
当时，，当时，，
那么小球运动时的高度等于运动时的高度，故③错误，不符合题意，
∴正确的个数为1，
故选：B．
9．/
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解．
如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，求出抛物线解析式，然后把代入求解即可．
【详解】解：如图，以水面所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，
可设抛物线解析式为 ，
∴ 即 ，
∴抛物线解析式为 ，
当水面宽度为米时，即当 ， ，
∴水面上升的高度为米，
故答案为：．
10．
【分析】此题主要考查二次函数的性质及用待定系数法求出函数的解析式，比较简单，要学会设合适的函数解析式．先用待定系数法求出函数函数解析式，求出当时的自变量的值，即可求出答案．
【详解】解：由题意可得，抛物线经过，，
故，
解得：，
故抛物线解析式为：
由题意可得：当时，
，
解得：
∴米．
故答案为：
11．
【分析】本题考查了实际问题与二次函数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的的值，进而可求解．
【详解】解：依题意得：
当，，
当水位上升 时，则此时，
则：，
解得：或，
∴水面宽为：，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，可令h=25，则，求出后即可判断得解．
【详解】解：由题意，∵，
∴令，则．
∴或．
∴小球高于地面的时长为
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将原抛物线解析式化为顶点式，结合二次函数的图象与性质即可求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：由抛物线得，
∵，
∴当时，烟花可以达到的最大高度是米，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．先建立直角坐标系，求出函数解析式，根据二次函数的图像和性质即可得到答案．
【详解】解：先以所在直线为轴建立直角坐标系，二次函数的图像过，设抛物线的解析式为，
，
，
抛物线解析式为：，
当时，，
当时，，
桶高米，设可以摆放个桶
，
解得，
故至少要摆个桶，
故答案为：．
15．见解析，
【分析】本题考查了二次函数的应用，首先建立适当的平面直角坐标系，根据图中数据求抛物线解析式，然后求出当时，，再根据车辆顶部与隧道有不少于的空隙，得隧道车辆的高度限制为．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，
由已知可得，抛物线顶点坐标为，与x轴的一个交点为，
设抛物线的表达式为，
把代入表达式，得，
解得，
∴抛物线的表达式为，
当时，，
∴，
∴通过隧道车辆的高度限制为．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，矩形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可求出点B的坐标和点E的坐标，再把解析式设为顶点式，并利用待定系数法求解即可；
（2）证明四边形是矩形，得到，，则，可得，进而可得，即可求出，由勾股定理可得，由轴对称的性质可得，则，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵，点O为的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
设抛物线解析式为，
∵抛物线经过点B，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵点G在横梁段的中点处，
∴，
∴；
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
，
答：制作这样的支架，一共需要这种轻质材料．
17．(1)
(2)桥拱下水面的宽度为
【分析】本题考查二次函数的实际应用．
（1）利用待定系数法，根据建立的坐标系以及已知条件，求出点A，C的坐标，然后代入求解即可；
（2）根据水面高度先求出点E，F的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，再最后求出的长．
【详解】（1）解：由题意得， ，
∴点的坐标为，点A的坐标为，
设抛物线的表达式为，
把代入，得，
解得，
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：∵，，
∴ ，
由题意得，
解得，．
∴点E的坐标为，点的坐标为，
∴，
答：桥拱下水面的宽度为．
18．(1)；
(2)米
(3)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据题意，得到为顶点坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时的的值，即可得出结果；
（3）求出时的函数值，结合，即可得出结果．
【详解】（1）解：根据题意可知，，且为顶点坐标，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：令，得，
解得，（舍去）．
答：该男生把铅球推出去米远；
（3）解：令，得．
解得，（舍去）．
，
．
19．(1)
(2)射进球门，见解析
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，求函数值，熟练掌握待定系数法，明确进球的标准是解题的关键．
（1）设抛物线为， 把点代入解答即可．
（2）根据解析式，令，求得y值，与门高米，比较，大于门高，不进；反之，则进球．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为，
把点代入得：，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：根据题意，得，
令，得，小于门高米，
故本次射门进球了．
20．(1)
(2)方案一更优，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，由顶点坐标为，则可设抛物线为：，结合抛物线过，从而求出a后即可判断得解；
（2）依据题意，方案一的落地点为抛物线时的x值，从而计算求出米（舍去负根），又方案二的落地点为距球网3米处，故米，结合小华位于距球网4米处，即米，然后比较两种方式落地点与小华位置的距离：方案一落地点为，距离小华（米）；方案二落地点为 ，距离小华米，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意，顶点坐标为，
∴可设抛物线为：．
又∵抛物线过，
∴．
∴．
∴抛物线为．
（2）解：由题意，方案一的落地点为抛物线时的x值，
∴令．
∴（米）（舍去负根）．
又∵方案二的落地点为距球网3米处，
∴（米）．
又∵小华位于距球网4米处，即（米），
∴比较两种方式落地点与小华位置的距离：
方案一落地点为，距离小华（米）；
方案二落地点为，距离小华（米）．
∵米米，
∴方案一的落地点离小华更远，更难接球．
∴方案一更优．
21．(1)当足球飞行距离为9米时，足球的离地高度是4.2米
(2)当时，最大；若守门员选择原地接球，防守不成功，理由见解析
(3)后卫选择面对足球移动防守，成功防守的最小速度为
【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意是解答的关键．
（1）将代入求解即可；
（2）化为顶点式，进而可求得当时取得最大值；求得当时的h值，比较大小即可作出判断；
（3）求出当时的h值，比较大小即可作出判断，进而可求解．
【详解】（1）解：当时，；
答：当足球飞行距离为9米时，足球的离地高度是4.2米；
（2）解：，
∴当，即时，最大；
不成功，理由如下，米．
当时，
，
∵，
∴若守门员选择原地接球，防守不成功；
（3）解：由题意，可知时，，
后卫的最小速度为．
答：后卫选择面对足球移动防守，成功防守的最小速度为．
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