4.2 第1课时　解二次项系数是1的一元二次方程 课件 (共19张PPT) 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

(共19张PPT)
第4章 一元二次方程
九年级上册
4.2 用配方法解一元二次方程
第1课时　解二次项系数是1的一元二次方程
课前小测
1.什么是平方根？
如果 x2=a, 那么
，x 就是 a 的平方根 .
2.如果X2=3，则x=_____. 如果（x-1）2=4，则x-1=______.
3.正数有____个平方根，它们互为__________;负数______平方根，0的平方根是_______.
4.完全平方公式？
（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2
2
相反数
没有
0
情境引入
观察下面的一元二次方程：
x2=5， ①
（x + 5）2 = 9， ②
问题1：根据平方根的意义，你会解方程 ①② 吗？方程 ①② 有几个根？
x2=5
由平方根的意义，直接开平方得：
所以 x1=
，x2=
.
② （x + 5）2 = 9
直接开平方得：
.
所以 x1=-2，x2=-8.
一元二次方程可以有两个实数根. 通常用 x1， x2分别表示未知数为 x 的一元二次方程的两个根.
情境引入
总结方法：
如果等式左边是一次式的平方的形式，等式右边是个常数，如（x+m）2=n，可以由平方根的意义，直接开平方求解，这个方法咱们叫作直接开平方法.
合作探究
探究：用配方法解二次项系数是1一元二次方程
1.观察：
（x + 5）2 = 9， ②
x2 + 10x + 25 = 9， ③
问题1：比较方程 ③ 与情景导入的方程 ②，你发现它们有什么联系？根据这种联系，你会解方程 ③ 吗？
所以 x1=-2，x2=-8.
③的左边是个完全平方式，可以变形为（x + 5）2.
x2 + 10x + 25 = 9，即 （x + 5）2=9
直接开平方得
合作探究
探究：用配方法解二次项系数是1一元二次方程
问题2：比较方程 ③ 与④，你发现它们有哪些相同和不同？对于解方程 ④，由此能得到什么启示？
x2 + 10x + 25 = 9， ③
x2 + 10x = -16 . ④
方程 ④ 与方程 ③ 的二次项和一次项都相同，如果在方程 ③ 的两边都加上25，
便可把方程④ 转化成方程③.
在方程④的两边都加上25，得
x2 + 10x + 25 = -16+25
即 （x + 5）2 = 9 .
由平方根的意义，得
x + 5 = ± 3 .
所以， x1 = -5 + 3 = -2，
x2 = -5 - 3 = -8 .
有两步非常关键，第一步是利用等式的基本性质两边同加 25，使方程的左边成为一个完全平方式. 第二步是通过开平方，将一元二次方程转化为一元一次方程.
合作探究
探究：用配方法解一元二次方程
问题3：想一想，为什么在方程 ④ 的两边都加上 25 之后，方程 ④ 的左边就成为一个完全平方式？
因为二次项的系数为1，且 25 等于一次项系数10的一半的平方.
合作探究
探究：用配方法解二次项系数是1一元二次方程
方法归纳：
当一元二次方程的二次项系数为1时，可先把常数项移到方程的右边，然后在方程两边都加上_____________________，就把方程的左边就配成了一个_____________，从而可以由平方根意义求解方程，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
一次项系数一半的平方
完全平方式
由于平方都是非负数，所以只需要加上一次项系数的绝对值的一半的平方即可，可以忽略一次项系数的符号.
合作探究
探究：用配方法解二次项系数是1一元二次方程
1. 在下面的横线上各填上一个数，使各式成为完全平方式：
（1） x2 + 14x +________ =（x +_______）2；
（2） x2 - 20x +_________ =（x +_______）2；
（3） x2 +
（4） x 2 - 0.2x + ________=（x +_______ ）2 .
x + ________=（x +______ ）2；
49
7
100
10
0.01
0.1
[例1]
典例分析
解：移项，得
解方程 ： x2-4x-12=0.
x2-4x=12.
x2-4x+22=12+4.
即 （x-2）2=16.
x-2=±4.
所以 x1=6，x2=-2.
直接开平方，得
两边都加上22，得

移项要变号

一定记得：
方程两边同时加
典例分析
[例2]
解方程：x 2 - 3x + 2 = 0.
解 移项，得
配方，方程两边都加上
得
即
由平方根的意义，得
所以 x 1 = 2， x 2 = 1 .
x2 - 3x = -2 .
，
= -2 +
x 2 - 3x +
.
）2 =
（x -
.
= ±
x -
移项要变号
一定记得：
方程两边同时加
归纳小结
归纳小结：
你能总结用配方法解形如x 2 + bx + c = 0的方程的步骤吗？
（3）用直接开平方法解方程.
（2）配方：将方程左边配方（等式两边同时加上一次项系数一半的平方）；
（1）移项：把常数项移到方程右边（移项要变号）；
挑战自我
你会用配方法解方程（x + 1）2 + 2（x + 1） = 8吗？你能找到几种解法？
（1）先化为一般形式后再用配方法求解;
（2）把（x + 1）看作一个以（x + 1）为未知数的一元二次方程，配方法解出
（x + 1）的值，得到两个一元一次方程，再求x，这个方法称为换元法.
原方程的解为x1=1，x2=-5
随堂检测
　解二次项系数是1的一元二次方程
课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
1. 用适当的数填空，使等式两边成立：
①____= ②____=
③____= ④____=
2.将方程的左边变成平方的形式是( )
A． B． C． D．
9
3
0.3
0.09
C
随堂检测
3.解方程（1）3x2－27=0; ；
解：（1）3x2-27=0
x2-9=0
X2=9
X=
X1=3，x2=-3.
，
，
即，
课堂小结
1.直接开平方法：适合ax2=c或（x+m）2=n.
2.配方法（二次项系数是1）步骤：
（1）移项：把常数项移到方程右边（移项要变号）；
（2）配方：将方程左边配方（等式两边同时加上一次项系数一半的平方）；
（3）用直接开平方法解方程.
作业布置
详见教材练习题
P132 T2.
谢
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