4.4 用因式分解法解一元二次方程 课件 (共21张PPT) 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

(共21张PPT)
第4章 一元二次方程
九年级上册
4.4 用因式分解法解一元二次方程
课前小测
1.因式分解的方法有哪些？
（3）十字相乘法.
（2）公式法：a2-b2=（a+b）（a-b）；a2±2ab+b2=（a±b）2；
（1）提公因式法；
2.把下列各式因式分解：
（1）4x2-x
=（2x+1）（x-2）
=（x-2）（x-3）
=（x-2）2
（5）2x2-3x-2
（4）x2-5x+6
（3）x2-4x+4
（2）9x2-4
=x（4x-1）
=（3x+2）（3x-2）
=（3x）2-22
情境引入
问题1：解方程 x 2+7x=0 你有几种解法？
用配方法和公式法都可以求出它的解．
公式法：解：这里 a = 1， b =7， c = 0 .
∵ b2 - 4ac =72 - 4× 1× 0 = 49 > 0，
情境引入
还有更简便的求解方法吗
合作探究
探究：用因式分解法解一元二次方程
1.观察： x 2+7x=0
问题1：这个方程的两边有什么特征？
所以x1 = 0， x2 = -7 .
从而x = 0，或 x + 7 = 0 .
把方程左边的多项式进行因式分解，得x（ x + 7） = 0 .
问题2：下面这种解法可以吗？
方程的右边为 0，左边可以分解成两个一次因式的积.
合作探究
探究：用因式分解法解一元二次方程
问题3:与上面配方法和公式法解原方程，求得的根都是一致的.这种解法的根据是什么？
若a=0或b=0，则ab=0；反之若ab=0，则a=0或b=0.
得到两个一元一次方程. 这两个一元一次方程的根都是原一元二次方程的根.
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
[例1]
典例分析
用因式分解法解方程：
1.（1） 15x 2 + 6x = 0； （2） 4x 2 - 9 = 0； （3）x2-4x-5=0 .
解：（1）把方程的左边进行因式分解，得
3x（5x + 2） = 0 .
从而 x = 0，或 5x + 2 = 0 .
所以 x1 = 0， x2 =
.
（2）把方程的左边进行因式分解，得
（2x + 3）（2x - 3） = 0，
从而 2x + 3 = 0，或 2x - 3 = 0 .
所以 x1 =
， x2 =
.
典例分析
.
（3）把方程的左边进行因式分解，得
（x -5）（x +1） = 0，
从而 x -5= 0，或 x+1 = 0 .
所以 x1 = 5 ， x2 =-1.
2. 4x 2 - 9 = 0 有更加简单的方法吗？
可以用直接开平方法化为x 2 =
,解得
.
[例1]
用因式分解法解方程：
1.（1） 15x 2 + 6x = 0； （2） 4x 2 - 9 = 0； （3）x2-4x-5=0 .
[例1]
典例分析
3.小亮在解方程x 2 + 7x = 0时，把方程两边同除以x，得
x + 7 = 0 .
所以 x = -7 .
怎么少了一个根？你知道小亮的解法错在什么地方吗？
方程的两边都乘（或除以）同一个整式时，要保证整式不为0,否则容易漏根.
[例2]
典例分析
1.用因式分解法解方程：
（2x + 1）2 =（x - 3）2 .
， x2 = -4 .
解：移项，得（2x + 1）2 -（x - 3）2 = 0 .
把方程的左边进行因式分解，得（2x + 1 + x - 3）（ 2x + 1 - x + 3）= 0 .
即 （ 3x - 2）（ x + 4）= 0 .
从而3x - 2 = 0，或 x + 4 = 0 .
所以 x1 =
[例2]
典例分析
2.对于（2x + 1）2 =（x - 3）2 ，大刚想到的解法是：
把原方程两边开平方，得 2x + 1 = x - 3 .
所以 x = -4 .
怎么也少了一个根？你知道大刚的解法错在什么地方吗？
因为（x - 3）2≥0，所以可以用直接开平方法，得2x + 1 =±（x - 3），方程两边开平方时不能漏掉“±”.
[例2]
典例分析
3. 对于（2x + 1）2 =（x - 3）2，你还有其他的求解方法吗？
（2）如上面，用直接开平方法求解；
（3）整理成一般式，用配方法或求根公式求解.
归纳小结
1.因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)将方程整理，使右边等于0;
(2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积的形式;
(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程;
（4）解两个一元一次方程，所得的根就是原方程的根.
归纳小结
2.在解方程时，尽量选择最简单的方法，如果有括号不要急于去括号，先观察方程按照如下顺序选择解法
（1）直接开平方法，
（2）通过移项让右侧为0，看能否用因式分解法，
（3）公式法或配方法.
随堂检测
用因式分解法解一元二次方程 课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
1.方程(x－16)(x＋8)＝0的根是( )
A．x1＝－16，x2＝8 B．x1＝16，x2＝－8
C．x1＝16，x2＝8 D．x1＝－16，x2＝－8
2．若实数x，y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0．则x2+y2的值为（　　）
A．1 B．2 C．2 或﹣1 D．﹣2或﹣1
B
B
随堂检测
3．用因式分解法解下列方程：
①（x+2）2﹣9=0 ； ②（2x﹣3）2=3（2x﹣3）；
③x2﹣6x+9=0 ； ④（x+5）（x﹣1）=7．
解 ：①分解因式，得
（x+2+3）（x+2﹣3）=0，
∴x+5=0或x﹣1=0
∴x1=﹣5，x2=1；
②移项，得
（2x﹣3）2﹣3（2x﹣3）=0
提公因式，得
（2x﹣3）（2x﹣3﹣3）=0，
∴2x﹣3=0或2x﹣6=0
∴x1=
，x2=3；
随堂检测
解： ③由公式法，得
（x﹣3）2=0，
∴x﹣3=0.
∴x1=x2=3.
④变形为：
x2+4x﹣5=7，
移项，得
x2+4x﹣5﹣7=0，
x2+4x﹣12=0
∴（x+6）（x﹣2）=0，
∴x+6=0或x﹣2=0
∴x1=﹣6，x2=2．
3．用因式分解法解下列方程；
①（x+2）2﹣9=0 ； ②（2x﹣3）2=3（2x﹣3）；
③x2﹣6x+9=0 ； ④（x+5）（x﹣1）=7．
课堂小结
因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)将方程整理，使右边等于0;
(2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积的形式;
(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程;
（4）解两个一元一次方程，所得的根就是原方程的根.
作业布置
详见教材练习题
P141 T1-2
谢
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