4.5 一元二次方程根的判别式 课件(共22张PPT) 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

(共22张PPT)
第4章 一元二次方程
九年级上册
4.5 一元二次方程根的判别式
课前小测
1．一元二次方程的一般形式是什么？有哪些解法？
如果方程有括号，先不要去括号，看能否用直接开平方法，不能用再看能否用因式分解法，再不能用就去掉括号整理成一般式，用公式法或配方法.
ax2+bx+c = 0 (a≠0).直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法.
2.一元二次方程按照什么顺序来选择方法会更简便？
课前小测
3.解方程x2＋21x－22＝0（用你认为最简便的方法）：
解：（x+22）（x-1）=0，
x+22=0或x-1=0，
x1=-22，x2=1.
情境引入
问题：
求出方程的解：2x2－6x－1＝0（公式法）．
我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0.这是为什么？
情境引入
b2-4ac值的正负与方程的根有什么关系呢？
合作探究
探究：一元二次方程根的判别式
探究：一元二次方程根的判别式
问题1： 解方程x 2 + 2x + 5 = 0.
方法一：因为 22 - 4× 1× 5 < 0，所以无法用公式法解这个方程.
方法二：把方程ax2+bx+c = 0 (a≠0)配方，得（x+1）2 = -4 .
因为任何实数的平方都不可能是负数，所以任何实数都不会是原方程的根.
合作探究
探究：一元二次方程根的判别式
问题2：b2 - 4ac的值的正负与一元二次方程的根有什么关系呢？
我们知道,任何一个一元二次方程
ax2+bx+c = 0(a≠0)
配方法
∵a≠0，∴ 4a2＞0 ，
合作探究
所以
（1）当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根：
（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根：
（3）当b2-4ac<0时，
而
不可能是负数，
所以方程没有实数根.
探究：一元二次方程根的判别式
合作探究
探究：一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是否有实根，有实根时两个实根是否相等，均取决于一个含有该方程各项系数的代数式 b 2 - 4ac 的值的符号，因而把b 2 - 4ac叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0的根的判别式，通常用Δ表示，即Δ = b 2 - 4ac .
归纳小结
一元二次方程ax 2 + bx + c = 0
（1）当Δ > 0 时有两个不相等的实根；
一元二次方程ax 2+ bx + c = 0
（1）如果有两个不相等的实根，那么Δ > 0；
（2）如果有两个相等的实根，那么Δ = 0；
（3）如果没有实根，那么Δ < 0 .
上面结论的逆命题也是正确的. 你能说出它的逆命题吗？
（3）当Δ < 0 时没有实根.
（2）当Δ = 0 时有两个相等的实根；
典例分析
[例1]
不解方程，判断下列方程根的情况：
（1） 2x 2 + x - 4 = 0；
（2） 4y 2 + 9 = 12y；
（3） 5（ t 2 + 1） - 6t = 0 .
解 ：（1）这里 a = 2， b = 1， c = -4 .
∵Δ = b 2 - 4ac = 12 - 4× 2× -4） = 33 > 0，
∴ 方程有两个不相等的实根.
典例分析
不解方程，判断下列方程根的情况：
（1） 2x 2 + x - 4 = 0；
（2） 4y 2 + 9 = 12y；
（3） 5（ t 2 + 1） - 6t = 0 .
（2）把原方程化为一般形式，得
4y 2 - 12y + 9 = 0 .
这里 a = 4， b = -12， c = 9 .
∵Δ = b 2 - 4ac =（-12）2 - 4× 4× 9 = 0，
∴ 原方程有两个相等的实根.
（3）把原方程化为一般形式，得
5t 2 - 6t + 5 = 0 .
这里 a = 5， b = -6， c = 5 .
∵Δ = b 2 - 4ac =（-6）2 - 4× 5× 5 = -64 < 0，
∴ 原方程没有实根.
[例1]
典例分析
[例2]
已知关于 x 的一元二次方程kx 2 - 3x + 1 = 0有两个不相等的实根.
（1）求 k 的取值范围；
（2）选择一个 k 的正整数值，并求出方程的根.
解 （1）∵ 关于 x 的一元二次方程kx 2 - 3x + 1 = 0有两个不相等的实根，
∴ Δ =（-3）2 - 4k > 0，即 9 - 4k > 0 .
解不等式，得k <
∵ kx 2 - 3x + 1 = 0 是一元二次方程，∴ k≠ 0 .
故 k 的取值范围是 k <
且 k≠ 0 .
典例分析
[例2]
已知关于 x 的一元二次方程kx 2 - 3x + 1 = 0有两个不相等的实根.
（1）求 k 的取值范围；
（2）选择一个 k 的正整数值，并求出方程的根.
（2）取不等式 k <
的一个正整数解 k = 2，则方程为2x 2 - 3x + 1 = 0 .
解这个方程，得x1 = 1 ， x2=
.
例2中k是 一元二次方程kx 2 - 3x + 1 = 0的二次项系数，k的范围可以在数轴上表示出来，更加直观，范围内包含0，所以要强调不等于0.
挑战自我
有一边长为 3 的等腰三角形，它的另两边长分别是关于 x 的方程x 2 - 12x + k = 0的两根. 求 k 的值.
（2）若边长3为底边，则方程有两个相等的实数根. 由Δ =0，求得k=36.这时方程x 2 - 12x + 36 = 0的解为6,6.符合题意，故k=36.
（1）若边长3为等腰三角形的腰长，则3是方程x 2 - 12x + k = 0的一个根，代入求值得k=27.这时方程x 2 - 12x + k = 0的解为3和9，由于3,3,9不能构成三角形，所以舍去.
分析：分类讨论
随堂检测
一元二次方程根的判别式
课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
1.一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2.下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
3.若一元二次方程x2-ax+1=0的两实根相等，则 a 的值是( )
A. a=0 B. a=2或a=-2 C. a=2 D. a=2或a=0
A
B
B
随堂检测
4.当 k为何值时，关于 y 的方程（k - 1）y 2 - 2ky + k = 3，
（1）有两个不相等的实根；
（2）有两个相等的实根；
（3）没有实根.
解 ：把方程化为一般形式，得（k - 1）y 2 - 2ky + k - 3=0.
这里，a= k – 1，b= - 2k，c= k – 3，
Δ = b 2 - 4ac=（-2k）2 – 4（k – 1）（k – 3）=16 k – 12.
∴当
时，方程有两个不相等的实数根；
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ =16 k – 12 > 0，解得
随堂检测
4.当 k为何值时，关于 y 的方程（k - 1）y 2 - 2ky + k = 3，
（1）有两个不相等的实根；
（2）有两个相等的实根；
（3）没有实根.
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴ Δ =16 k – 12 =0 解得
∴当
时，方程有两个不相等的实数根；
（3）∵方程没有实数根，
∴ Δ =16 k – 12<0 解得
∴当
时，方程没有实数根.
课堂小结
1. b 2 - 4ac叫做一元二次方程 ax 2 + bx+ c = 0 的根的判别式，
通常用Δ表示，即Δ = b 2 - 4ac .
2.一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 (a≠0)
（1）当Δ > 0 时有两个不相等的实根；
（2）当Δ = 0 时有两个相等的实根；
（3）当Δ < 0 时没有实根.
反之，也成立.
作业布置
详见教材练习题
P145 T1-2
谢
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