4.7　一元二次方程的应用 课件(共43张PPT、2课时) 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

(共43张PPT)
第4章 一元二次方程
九年级上册
4.7 一元二次方程的应用
第1课时 面积问题与利润问题
课前小测
1.一元二次方程的解法有___________、_________________、______________、________________.
2.一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac____0时，有两个不相等的实数根；当b2-4ac____0时，有两个相等的实数根；当b2-4ac____0时，没有实数根.
3.如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1 +x2 =__________, x1x2=_________.
直接开平方法
因式分解法
公式法
配方法
>
=
<
情境引入
与我们学过的一元一次方程、二元一次方程组和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实生活与生产中数量关系的有效模型.本节课学习一元二次方程的应用.
合作探究
探究一：面积问题
一元二次方程应用题与一元一次方程应用题的步骤类似：
1审；2设；3列；4解；5答.
某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用
木栏围成,木栏长40m.
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m2吗？
（2）鸡场的面积能达到250m2吗？
如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
分析：可设鸡场的一边为x，另一边为_______
然后根据长方形的面积等于__________，
用含未知数的代数式表示出鸡场的面积.
x
典例分析
[例1]
要想知道鸡场的面积能否达到180平方米，只需要让鸡场的面积先等于180，然后看得出的方程有没有解，如果有，就证明可以达到180平方米，如果方程无解，说明不能达到.其他问题的方法一样
40-2x
长乘宽
40-2x
合作探究
探究一：面积问题
某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,
木栏长40m.
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m2吗？
（2）鸡场的面积能达到250m2吗？
如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
x
解：（1）①设鸡场的宽为xm，
解这个方程，得
x（40-2x）=180，
则长为_______m，
根据题意，得
（40-2x)
当
时，
即 x2-20x+90=0
）>25，不符合题意故舍去.
长=
答：鸡场的面积能达到180m2，这是鸡场的两边长分别为（
）m和（
）m.
合作探究
探究一：面积问题
②同理当面积为200m2时，根据题意，得
x（40-2x）=200
即 x2-20x+100=0
解这个方程，得 x1=x2=10.
当x=10时，长=20，符合题意.
（
答：鸡场的面积能达到180m2，这时鸡场的两边长分别为（
）m和
）m;当一边为10m时，另一边为20m时，鸡场的面积能达到200m2.
合作探究
探究一：面积问题
（2）同理当面积为250m2时，得
x（40-2x）=250.
整理，得 x2-20x+125=0.
∵△=（-20）2-4×125=-100＜0
∴原方程无解，
∴鸡场的面积不能达到250m2．
试一试
MN是一面长10m的墙，用长24m的篱笆，围成一个一面是墙,中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABCD,已知花圃的设计面积为45m2，花圃的宽应当是多少？
解:(1)设花圃的宽AB为xm,那么它的长BC是 ＿ ＿ ＿ ＿
当x1=3时，长=24-9=15>10，故舍去.
所以，花圃的宽是5m.
(24-3x)m
根据题意得
x（24-3x）=45.
即 x2-8x+15=0.
解这个方程，得 x1=3 ， x2=5 .
归纳小结
靠墙建矩形，问怎样设计能使面积等于已知数的题型，跟下册的二次函数关系非常密切，是重点易考题型.要注意靠墙的一边的长度不能超过墙长，要注意检验.
合作探究
探究二：利润问题
每件的利润=每件的售价-进价；
销售量.
总利润=
每件的利润
典例分析
[例1]
某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，每天可售出100件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经过市场调查，发现这种商品售价每降低1元，商场销售量平均每天可增加10件，若商场经营该商品一天要获利润2160元，且让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？
分析：设每件商品应降价x元，现在的总利润=现在每件的利润
现在的销售量.
利用现在每件的利润=现在每件的售价-进价，
表示出现在每件的利润为___________元
（100-x-80）
降低1元增加10件，可知降低x元增加______件，
10x
所以现在的销售量为___________
（100+10x），
则根据现在的总利润=现在每件的利润
现在的销售量列出方程解答即可．
典例分析
[例2]
某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，每天可售出100件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经过市场调查，发现这种商品售价每降低1元，商场销售量平均每天可增加10件，若商场经营该商品一天要获利润2160元，且让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？
解 ：设每件商品降价x元．根据题意，得
（100-x-80）×（100+10x）=2160，
解得：x1=2，x2=8，
由原题为了减少库存，应降价多点，故把x=2舍去，所以x=8，
答：每件商品应降价8元．
归纳小结
销售利润问题，是一元二次方程应用题的难点问题，也是重点.要正确理解销售量与利润的关系，能准确用未知数表示销售量和单件的利润是关键.
试一试
某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个．因受库存影响，每批次进货个数不得超过180个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价多少元？
解：设每个小家电的定价是x元，
根据题意，得
答：商店若准备获利2000元，则应进货100个，定价60元.
∴ x=60元，则180﹣10·8=100（个）.
∴x≥52.
∵180﹣10（x-52）≤180，
解得x1=50，x2=60.
随堂检测
面积问题与利润问题 课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
1.如图，在宽为20 m、长为36 m的矩形草地上修建两条同样宽且互相垂直的道路，剩余草地的面积是540 m2.则道路的宽为 .
2.将一根长为 64 cm 的铁丝剪成两段，再将每段分别围成正方形（如图），如果两个正方形的面积的和等于 160 cm2，两个正方形的边长为______和_____.
4cm
12cm
随堂检测
3.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元且使顾客得到最大的实惠，则应降价________元.
36
随堂检测
4.如图，一个农户要建一个矩形猪舍ABCD，猪舍的一边AD利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成．为了方便进出，在CD边留一个1米宽的小门．
（1）若矩形猪舍的面积为80平方米，求与墙平行的一边BC的长；
（2）若与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度，问BC边至少应为多少米？
分析：（1）设BC的长为xm，则AB的长为
m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可；
（2）根据“与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度”列出关于x的不等式组，通过解不等式组求得x的取值范围即可．
X
随堂检测
解：（1）设BC的长为xm，依题意得：
解得x1=10，x2=16（舍去）.
答：矩形猪舍的面积为80平方米，求与墙平行的一边BC的长为10m；
（2）依题意得：
解得
所以x最小为
．
答：若与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度，问BC边至少应
米．
随堂检测
5.某商店如果将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价，减小进货量的方法增加利润。已知这种商品每涨价0.5元，其每天销售量就减少10件，问应将售价定为多少元时，才能使每天所获利润为640元？
解：设将售价定为x元，根据题意，得
即
.
解这个方程得 x1=12，x2=16.
∵要提高售价，减少进货量，
∴x只取16 .
答: 售价为16元时，每天所获的利润为640元.
课堂小结
一元二次方程应用题与一元一次方程应用题的步骤类似：
1审；2设；3列；4解；5答.
一.面积问题
二.销售利润问题
注意:列方程解应用题，要验根，根的取值要满足题意.
作业布置
详见教材练习题
P152 T1-2
第4章 一元二次方程
九年级上册
4.7 一元二次方程的应用
第2课时　增长率问题与其他应用
课前小测
某品牌服装去年每套300元.（只列式子不计算结果）
（1）如果今年提价10％，今年的售价是多少元？
据说明年还要提价10％，那么明年的售价是多少元？
（2）如果今年降价10％，则今年的售价是多少元？
据说明年还要降价10％，那么明年的售价是多少元？
情境引入
某品牌服装去年每套300元
（1）今年增长率是x，则今年的售价是多少元？
（2）据说明年的增长率还是x ，那么明年的售价是多少元？
问题1：（只列式子不计算结果）
情境引入
某品牌服装去年每套300元，
（1）今年的降价率是x，则今年的售价是多少元？
（2）据说明年的降价率还是x，那么明年的售价是多少元？
问题2：（只列式子不计算结果）
合作探究
探究一：增长率问题
某养殖场 2010 年的产值为 500 万元， 2012 年的产值为 605 万元. 求
2010 2012 年该养殖场产值的年平均增长率.
你会解决这个问题吗？
可列方程______________________________.

而这2012年的年产值正好是605万元．
2012年的年产值为______________________________.
2011年的年产值为_____________________________，
分析：如果设该场2010－2012年产值的平均增长率为x，那么
500（1+x）
500（1+x）2
合作探究
探究一：增长率问题
解 设该场 2010 2012 年产值的年平均增长率为 x，根据题意，得
根据题意， 605 万元 > 500 万元，故年增长率 x > 0，而 x2= -2.1 < 0，因此
x2 = -2.1 不符合题意，应当舍去， x1= 0.1 符合题意.
所以，该养殖场 2010 2012 年产值的年平均增长率为 0.1，即 10% .
解这个方程，得
x1 = 0.1， x2 = -2.1 .
典例分析
[例1]
某种药品经过两次降价后，每盒售价为原售价的 64%，求该药品平均每次的降价率.
可列方程______________________________
而两次降价后的价格是
第二次降价后该药品每盒的售价为_________________，
那么第一次降价后该药品每盒的售价为______________，
分析：如果把降价之前的价格看作单位“1”.设该药品平均每次的降价率为x，
（1-x）
（1-x）2
请你把步骤写完整.
典例分析
[例1]
某种药品经过两次降价后，每盒售价为原售价的 64%，求该药品平均每次的降价率.
解 设该药品平均每次的降价率为 x，
根据题意，得
（1 - x）2 = 64% .
所以，该药品平均每次的降价率为 0.2，即 20% .
根据题意，降价率应满足 0 < x < 1，因而 x2 = 1.8 不符合题意，应当舍去，
而 x = 0.2 符合题意.
解这个方程，得
x1 = 0.2， x2 = 1.8 .
归纳小结
如果 a 表示原来的基数，m 表示平均增长率，n 表示增长的次数，A 为增长后的目标数,那么 a（1±m）2=A .本节课只研究n = 2 的情况.当m前面是“ - ”时表示负增长，即降低.
合作探究
探究二：数字问题
典例分析
[例2] 有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．
分析：设个位数字为 x ，
则十位数字为 ___________，
这个两位数为______________ ；
(x－2)
10(x－2)＋x
然后根据“这个两位数等于其各位数字之积的3倍”可列出关于x的方程.
[例2]
典例分析
当x＝4时，x－2＝2，
∴这个两位数是24.
解：设个位数字为x，则十位数字为(x－2)，这个两位数是[10(x－2)＋x].
根据题意，得10(x－2)＋x＝3x(x－2)，
整理，得3x2－17x＋20＝0，5分
解得x1＝4，x2＝
(不合题意，舍去).
归纳小结
两位数= 十位数字乘以10 + 个位数字；
三位数= 百位数字乘以100 + 十位数字乘以10 + 个位数字；…….
要注意检验.
随堂检测
增长率问题与其他应用 课堂评价测试
同学们要认真答题哦！
随堂检测
B
B
随堂检测
3.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为______.
4.在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手.有人统计了一下，大家一共握了45次手，参加这次聚会的同学共有多少人？若参加聚会有x名同学，可列方程______________________.
20%
随堂检测
5. 电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．
（1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；
（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？
解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，
根据题意列方程：150（1+x）2=216，
解得x1=-220%（不合题意，舍去），x2=20%．
答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率20%．
（2）二月份的销量是：150×（1+20%）=180（辆）
所以该经销商1至3月共盈利：（2800-2300）×（150+180+216）=500×546=273000（元）
答：1至3月共盈利273000元.
随堂检测
6. 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为5，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得736，求原来的两位数．
解：设原两位数字的个位数字为x，则十位数字为﹙5－x﹚，
原两位数为10﹙5－x﹚＋x，新两位数为10x＋﹙5－x﹚
根据题意得：[10x＋﹙5－x﹚] [10﹙5－x﹚＋x] ＝736
解得x1＝2，x2＝3
当x＝2时，5－x＝3，符合题意，原来的两位数是23．
当x＝3时，5－x＝2，符合题意，原来的两位数是32
答：原来的两位数是23或32.
课堂小结
1.增长率问题
如果a表示原来的基数，m表示平均增长率，n表示增长的次数，A为增长后的目标数,那么a（1±m）2=A.本节课只研究n=2的情况.当m前面是“-”时表示负增长，即降低.
2.两位数= 十位数字乘以10 + 个位数字；三位数= 百位数字乘以100 + 十位数字乘以10 + 个位数字；…….要注意检验.
作业布置
详见教材练习题
P154 T1-4
谢
谢