1.4　相反数与绝对值 教案 2025-2026学年数学青岛版（2024）七年级上册

1.4　相反数与绝对值
第1课时　相反数
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
借助数轴理解相反数的意义,掌握求有理数的相反数的方法.
1.借助数轴理解相反数的概念,并能求给定有理数的相反数.
2.通过运用相反数解决实际问题,体会相反数的意义和作用.
3.通过理解相反数的概念,渗透数形结合等思想方法,培养学生的概括能力和推理论证能力.
重点:理解相反数的意义,会求有理数的相反数.
难点:从数和形两个方面理解相反数,初步体会数形结合的思想方法.
1.从具体的场景出发,利用数轴引导学生感受相反数的意义.通过教师的层层设问,充分展示学生的思维过程,让学生学会“理性”思考,从而归纳出互为相反数的意义.让学生意识到数学“源于生活,又高于生活”.
2.在认识相反数的意义的过程中,通过数形结合,让学生领会归纳相反数意义的多样性、概括性.
(一)情境导入
成语故事《南辕北辙》讲了一个人从魏国要到楚国去,楚国在南边,他硬要往北边走.他的马越好,赶车的本领越大,盘缠带得越多,走得越远,就越到不了楚国.
1.如果点O表示魏国的位置,点A表示楚国的位置,我们假设楚国与魏国的距离为30 km,以魏国为原点,我们规定向南为正方向,而此人从魏国出发向北到了点B也走了30 km,请同学们把这3个点在数轴上表示出来.
2.你还能在数轴上表示出类似于A,B这样的点吗
(二)新知初探
探究一　互为相反数的概念
问题　观察下列一组数:+1和-1,+2.5和-2.5,+4和-4,并把它们在数轴上表示出来.
思考:
(1)上述各对数有什么相同之处 有什么不同之处
答:只有符号不同,其他都相同.
(2)各对数所对应的两个点的位置关系有什么规律
答:分别位于原点两侧,且到原点的距离相等.
(3)请再写出一组具有上述特点的数.
答:+5和-5.(答案不唯一)
小结:只有符号不同的两个数叫作互为相反数.
追问1　定义中“只有符号不同”这几个字该怎样解释
追问2　“-3是相反数”这句话对吗 0的相反数是多少
任务一　意图说明
通过观察各对数的特点及其对应点在数轴上的位置,让学生理解相反数从“数”的角度看只有符号不同,从“形”的角度看位于数轴两侧且到原点的距离相等.
探究二　相反数的表示和性质
1. 6的相反数是多少 8的相反数是多少 a的相反数是多少
答:6的相反数是-6,8的相反数是-8,a的相反数是-a.
追问1　如果a=+3,那么a的相反数怎样表示 如果a=-5,那么a的相反数又怎样表示
答:-(+3),-(-5)
追问2　你能说出-(+7),-(-2)分别表示什么意义吗 它们的结果分别是多少
答:-(+7)表示+7的相反数,结果是-7;-(-2)表示-2的相反数,结果是2.
追问3　在一个数前面加上“-”号表示求这个数的相反数,如果在这些数前面加上“+”号呢
答:表示它本身.
2.在数轴上,画出几组表示相反数的点,并观察这两个点具有怎样的特征.
答:位于原点两侧,且到原点的距离相等.
追问　数轴上到原点的距离相等的两个点所表示的数有什么特点 它们是什么关系
答:只是符号不同,它们互为相反数.
小结:在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的两侧,并且到原点的距离相等.
任务二　意图说明
通过求几个数的相反数归纳出相反数的表示方法即为在数的前面加上“-”号.通过在数轴上观察表示相反数的点的特点,理解相反数的几何意义.
探究三　例题讲解
例1.在数轴上表示下列各数及其相反数:
(1)2;(2)-3.
解:2的相反数是-2,-3的相反数是3.
例2.化简:
(1)-(+);　　　　(2) -(-7.6).
解:-(+)=-.(2) -(-7.6)=7.6.
[方法归纳] 1.正数的相反数是正数,负数的相反数是正数,0的相反数是0.
2.对于数字前面含有多个符号的数的化简,只要观察“-”号的个数即可.如果有奇数个“-”号,结果的符号就是“-”号;如果有偶数个“-”号,结果的符号就是“+”号.
任务三　意图说明
通过化简含多重符号的数进一步理解相反数的表示方法,巩固所学知识,培养学生灵活运用定义的能力.
(三)当堂达标(要求:限时5分钟,独立完成)
1.9的相反数是(D)
A. B.- C.9 D.-9
2.如图,数轴上点A表示的数的相反数是(A)
A.1 B.0 C.-1 D.-2
3.下列说法不正确的是(C)
A.到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数
B.所有的有理数都有相反数
C.正数和负数互为相反数
D.在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数
4.-100的相反数是　100　.
5.有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图.
(1)在数轴上分别用A,B两点表示-a,-b.
(2)若表示数b与-b的点相距20个单位长度,则b与-b表示的数分别是什么
(3)在(2)的条件下,若表示数a的点与表示数b的相反数的点相距5个单位长度,则a与-a表示的数是多少
解:(1)如图.
(2)b表示的数是-10,-b表示的数是10.
(3)a表示的数是5,-a表示的数是-5.
(四)课堂小结
1.相反数
(1)只有符号不同的两个数;
(2)a的相反数是-a,0的相反数是0;
(3)互为相反数的两个数到原点的距离相等.
2.多重符号的化简
(1)一个数前面有偶数个“-”号,结果为正数.
(2)一个数前面有奇数个“-”号,结果为负数.
(五)板书设计
从具体的场景出发,利用数轴引导学生感受相反数的意义.通过教师的层层设问,充分展示学生的思维过程,让学生学会“理性”思考,从而归纳出互为相反数的意义.让学生意识到数学“源于生活,又高于生活”.
第2课时　绝对值
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
借助数轴理解绝对值的意义,掌握求有理数的绝对值的方法.
1.从实际出发,借助数轴理解绝对值的意义,会求一个已知数的绝对值.
2.通过运用绝对值解决实际问题,体会绝对值的意义和作用.
3.在理解绝对值概念的过程中,渗透数形结合、分类讨论等思想.
重点:绝对值的概念与求法.
难点:理解绝对值的几何意义.
1.从实际生活情境出发,激发兴趣,知识建构循序渐进,思想方法有机渗透,知识形成过程清晰明了,创设平等、民主、和谐的课堂气氛,使学生广泛参与自主学习、合作交流.
2.课堂上留给学生一定的提问时间,从而暴露学生知识的缺陷,通过问题引导学生联想,大胆猜想,可以拓宽学生的知识面,增强知识的系统性,加深对课本知识的理解,培养学生的创新意识和发散思维.
(一)情境导入
两辆汽车从同一处点O出发,分别向东、西方向行驶10 km,到达A,B两处,它们的行驶路线相同吗 它们的行驶路程相同吗
它们的行驶路线不同,行驶路程相同.
在实际生活中,有时存在这样的情况,有些问题我们不需要考虑数的正负性,比如:在计算行驶路程时,与行驶方向无关,这时所走的路程只需要用正数来表示,这样就需要引进一个新的概念——绝对值.
(二)新知初探
探究一　绝对值的意义
1.思考并完成填空:
(1)在数轴上,表示数+5的点到原点的距离是　5　;
(2)在数轴上,表示数-5的点到原点的距离是　5　.
2.我们知道,互为相反数的两个数(0除外)只有符号不同,这两个数的相同部分在数轴上表示什么
答:表示有理数的点到原点的距离.
追问1　数轴上表示某数的点到原点的距离与它所表示的数的正负性有关系吗
答:没有关系.
小结:一般地,数轴上表示数a的点到原点的距离叫作这个数的绝对值,记作|a|.
追问2　当a分别取+5,-10,0时,a的绝对值分别表示什么意义
答:数轴上表示+5,-10,0的点到原点的距离.
追问3　当a分别取上述数时,a的绝对值怎样表示 结果又是多少
答:|+5|=5,|-10|=10,|0|=0.
任务一　意图说明
通过学生思考并填空引出绝对值的概念,教师引导学生挖掘绝对值概念的内涵,使学生在活动的过程中感悟知识的形成过程.
探究二　绝对值的性质
1.填空:
|4|=　4　;=　　;|9.8|=　9.8　;
|4|=　4　;=　　;|-9.8|=　9.8　;|0|=　0　.
追问　观察这些数,它们有什么特点 观察这些数的绝对值,它们与这些数有什么关系 把你得到的结论写出来.
答:正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
小结:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
追问1　如果一个数的绝对值是一个负数,那么这样的数存在吗
答:不存在.
追问2　一个数的绝对值一定是什么数
答:非负数.
2.若字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值等于什么吗
(1)当a是正数时,|a|=　a　;
(2)当a是负数时,|a|=　-a　;
(3)当a=0时,|a|=　0　.
小结:|a|=
任务二　意图说明
通过层层设问,引导学生分别归纳总结正数、负数的绝对值与数本身的关系,渗透分类讨论的数学思想.
探究三　例题讲解
例3.求绝对值等于7的数.
解:如图,到原点的距离为7的点有两个,即表示+7的点A和表示-7的点B,所以绝对值等于7的数是+7和-7.
[方法归纳] 绝对值等于一个正数的数有两个,它们互为相反数.
任务三　意图说明
1.通过在数轴上表示一对互为相反数的数体会互为相反数的数的绝对值的关系.
2.让学生先独立完成任务,然后通过交流展示归纳方法,进一步加深对互为相反数的数的绝对值的理解.
(三)当堂达标(要求:限时5分钟,独立完成)
1. -2 024的绝对值是(B)
A. B. 2 024
C.- D.-2 024
2.下列各式正确的是(D)
A.-|-5|=5 B.-(-5)=-5
C.|-5|=-5 D.-(-5)=5
3.下列结论中,正确的是(C)
A.|a|一定是正数
B.-|a|一定是负数
C.-|-a|一定是非正数
D.-|-a|一定是负数
4.判断:
(1)互为相反数的两个数绝对值相等.(√)
(2)绝对值等于本身的数只有正数.( )
(3)不相等的两个数绝对值不相等.( )
(4)绝对值相等的两数一定相等.( )
5.求出下列各数的绝对值:
-1,0.3,0,-5,--3.
解:=1.|0.3|=0.3.|0|=0.
|-5|=5.=3.
(四)课堂小结
1.绝对值的概念:
数轴上表示数a的点到原点的距离.
2.绝对值的性质
(1)≥0;
(2)|a|=
(五)板书设计
绝对值是中学数学中一个非常重要的概念,它具有非负性,在数学中有着广泛的应用.本节从几何与代数的角度阐述绝对值的概念,重点是让学生掌握求一个已知数的绝对值,对绝对值的几何意义、代数意义的导出、对“负数的绝对值是它的相反数”的理解是教学中的难点.