2.2　有理数的乘法与除法 教案 2025-2026学年数学青岛版（2024）七年级上册

2.2　有理数的乘法与除法
第1课时　有理数乘法法则
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
掌握有理数的乘法运算.能运用有理数的乘法运算解决简单问题.
1.类比正数及0的乘法,归纳有理数的乘法法则.
2.能利用有理数的乘法法则进行简单的有理数乘法运算.
3.通过有理数的乘法法则的推导,渗透分类讨论及转化思想.
重点:能按有理数乘法法则进行有理数乘法运算.
难点:有理数乘法法则的推导.
教学时强调学生自主探索,在互相交流的过程中理解和掌握有理数乘法法则的本质;另外,要求学生在探索有理数乘法法则的过程中,初步体验分类讨论的数学思想,鼓励学生归纳和总结,形成良好的数学心理品质.
(一)情境导入
甲水库的水位每天升高3厘米,乙水库的水位每天下降3厘米,4天后甲、乙水库的水位的总变化量各是多少
我们已经熟悉正数及0的乘法运算,引入负数后,怎样进行有理数的乘法运算呢
(二)新知初探
探究一　有理数的乘法法则
1.如图所示,一只蜗牛沿直线l爬行,它现在的位置在l上的点O处.
填一填:
(1)如果一只蜗牛向右爬行2 cm记为+2 cm,那么向左爬行2 cm应记为　-2 cm　;
(2)如果3分钟后记为+3分钟,那么3分钟前应记为　-3分钟　.
想一想:
(1)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行,3分钟后它在什么位置
结果:3分钟后蜗牛在l上点O　右　边6 cm处.可以表示为:(+2)×(+3)=　6(cm)　;
(2)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行,3分钟后它在什么位置
结果:3分钟后蜗牛在l上点O　左　边　6　cm处.可以表示为(-2)×(+3)=　-6(cm)　.
(3)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行,3分钟前它在什么位置
结果:3分钟前蜗牛在l上点O　左　边　6　cm处.可以表示为　(+2)×(-3)=-6(cm)　.
(4)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行,3分钟前它在什么位置
结果:3分钟前蜗牛在l上点O　右　边　6　cm处.可以表示为　(-2)×(-3)=6(cm)　.
(5)原地不动或运动时间为零,结果是什么
结果:仍在原处,即结果都是　0　,可以表示为　0×3=0;0×(-3)=0;2×0=0;(-2)×0=0　.
根据上面的结果可知:
1.正数乘正数积为　正　数;负数乘负数积为　正　数;(同号得正)
2.负数乘正数积为　负　数;正数乘负数积为　负　数;(异号得负)
3.积的绝对值等于各乘数绝对值的　积　;
4.零与任何数相乘或任何数与零相乘结果都是　0　.
小结:有理数乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.
任何数与0相乘,积仍得0.
任务一　意图说明
通过探究一一系列的问题,引导学生经过对具体算式的探索,猜想发现有理数乘法的一般化的表示形式.学生经历探索知识的过程,最后总结得出有理数乘法法则.整个探究过程要让学生积极参与,独立思考和合作探究相结合,教师适当引导,以达到预期的教学效果.
探究二　例题讲解
例1.计算:
(1)(-4)×(-6);
(2) 2.5×(-4);
(3)-×(-5).
解:(1) (-4)×(-6)(同号两数相乘)
=+(4×6)(积的符号为正,并把绝对值相乘)
=24.
(2) 2.5×(-4) (异号两数相乘)
=-(2.5×4) (积的符号为负,并把绝对值相乘)
=-10.
(3)-×(-5)=+×5=-1.
[方法归纳] 有理数乘法的求解步骤:先确定积的符号,再确定积的绝对值.
任务二　意图说明
通过对例题的解决分析,对有理数乘法法则进行巩固,训练学生的运算能力,帮助学生灵活运用有理数乘法的求解步骤进行计算.
探究三　倒数
计算并观察结果有何特点
(1)×2;(2)(-0.25)×(-4).
解:(1) ×2=1.(2)(-0.25)×(-4)=1.
小结:有理数中,乘积是1的两个数互为倒数.
思考:数a(a≠0)的倒数是什么
答:a≠0时,a的倒数是.
任务三　意图说明
先计算再观察结果,归纳出倒数的概念,在引出互为倒数概念的同时,要注意与互为相反数的概念比较,避免产生混淆.
(三)当堂达标(要求:限时5分钟,独立完成)
1.下列各式的计算结果中符号为正的是(D)
A.(-6)×3 B.(-7)×(+6)
C.(-10)×0 D.(-8)×(-3.5)
2.如果两个有理数的和是正数,积是负数,那么这两个有理数(C)
A.同号且均为正数
B.同号且均为负数
C.异号且正数的绝对值大于负数的绝对值
D.异号且负数的绝对值大于正数的绝对值
3.计算:
(1)(-3)×(-6); 　　　　(2)-×;
(3)(-3.14)×0; 　　　　(4)2×-.
解:(1)(-3)×(-6)=+(3×6)=18.
(2)-×=-×=-.
(3)(-3.14)×0=0.
(4)2×-=-×=-.
4.写出下列各数的倒数:
(1)-15;(2);(3)-0.25;(4)-5.
解:(1)-15的倒数是-.
(2)的倒数是.
(3)-0.25=-,倒数是-4.
(4)-5=-,倒数是-.
5.某冷库厂的一个冷库的室温是-1 ℃,现有一批食品需要低温冷藏,如果冷库每小时可降温4 ℃,而连续降温6.5小时后,方可达到所需冷藏温度,那么这批食品需要冷藏的温度是多少
解:降温记作负.
(-4)×6.5=-26(℃),
所以(-1)+(-26)=-27(℃).
答:这批食品需要冷藏的温度是-27 ℃.
(四)课堂小结
1.有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.
(2)任何数与0相乘,积仍得0.
2.倒数:
乘积是1的两个数互为倒数
(五)板书设计
有理数的乘法是有理数运算中一个非常重要的内容,它与有理数的加法运算一样,也是建立在小学算术运算的基础上的.教学时应略举简单的事例,尽早出现法则,然后用较多的时间运用法则进行运算.本节课尽量考虑在有利于基础知识、基础技能的掌握和学生的创新能力培养的前提下,最大限度地使教学的设计过程面向全体学生,充分照顾不同层次的学生,使设计的思路符合“新课程标准”倡导的理念.
第2课时　有理数的乘法运算律
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
掌握有理数的乘法运算.理解有理数的运算律,能运用运算律简化运算.
1.掌握有理数乘法的运算律,能利用乘法的运算律进行简化计算.
2.能确定多个因数相乘时积的符号,并会用法则进行多个因数的乘法运算.
3.经历探索有理数的乘法运算律的过程,使学生感受从特殊到一般、从一般到特殊的认知规律.
重点:多个因数的乘法运算及乘法运算律的应用.
难点:利用分配律来简化计算.
1.在猜测运算律在有理数范围内依然适用的基础上,通过举例验证让学生感受由感性认识上升到理性认识的必要性.同时符号语言更能简洁深刻地揭示问题的共性,有助于学生对一般问题的认识,而且为数学交流提供了有效途径.
2.通过观察、思考,引导学生进行分析、讨论和推理,导出数学规律,鼓励学生勤于思考,各抒己见,进一步培养学生的逻辑思维能力和表达交流能力.
(一)情境导入
在小学里,我们都知道,数的乘法满足交换律、结合律和分配律,例如
3×5=5×3,
(3×5)×2=3×(5×2),
3×(5+2)=3×5+3×2,
学习了有理数后,这些运算律是否仍然适用呢 这就是这节课我们要研究的内容.
(二)新知初探
探究一　有理数乘法的运算律
问题1　比较每组中两个因数的位置和运算结果,能得到什么结论
①(-2)×(-6)=　12　,　(-6)×(-2)=　12　;
②×-=　-　,-×=　-　;
③[3×(-4)]×(-5)=　(-12)×(-5)　=　60　,3×[(-4)×(-5)]=　3×20　=　60　;
④×-
=×=　×3　=　1　.
追问1　 比较它们的结果,你有什么发现
追问2　上面的四组运算分别体现了什么运算律
小结:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等.
乘法交换律:ab=ba.
在有理数乘法中,三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等.
乘法结合律:(ab)c=a(bc).
问题2　计算:
(1)+-×12.
=+-×12
=-×12
=-1.
(2)×12+×12-×12
=3+2-6
=-1.
则+-×12=×12+×12-×12.
追问1　比较它们的结果,你有什么发现
追问2　上面的运算体现了什么运算律
小结:一般地,在有理数中,一个数与两个数的和相乘,等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加.
乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac.
任务一　意图说明
引导学生经过对具体算式的探索,猜想发现运算律的一般化的表示形式.学生经历探索知识的过程,最后总结得出有理数乘法的运算律.整个教学过程要让学生积极参与,独立思考和合作探究相结合,教师适当引导,以达到预期的教学效果.
探究二　实例讲解
计算:
(1)(-85)×(-25)×(-4);
(2)2×3×0.5×(-7).
(3)36×-+
解:(1)(-85)×(-25)×(-4)
=(-85)×[(-25)×(-4)](乘法结合律)
=(-85)×100
=-8 500.
(2)2×3×0.5×(-7)
=(2×0.5)×[3×(-7)](乘法交换律和结合律)
=1×(-21)
=-21.
(3)36×-+
=36×-36×+36×(乘法对加法的分配律)
=9-28+15
=-4.
[归纳总结] (1)运用交换律时,在交换因数的位置时,要连同符号一起交换.
(2)运用分配律时,要用括号外的因数乘括号内每一个因数,不能有遗漏.
(3)三个以上的有理数相乘,可以任意交换因数的位置,或者把其中几个因数相乘.
(4)括号外的因数是括号内所有分母的公倍数时,使用分配律.
任务二　意图说明
1.通过两种方法的运算,一方面是对有理数乘法法则和运算律的巩固,另一方面可以使学生直观地体会到乘法运算律的简便性.
2.检测学生是否能够熟练、正确地应用有理数的乘法运算律进行解答,对出现的问题有针对性地再次强调.
探究三　多个有理数的乘法法则
1.计算:-×-×-.
解:-×-×-
=-××
=-1.
2.写出下列各式的计算结果:
-×(-5)×+×(+2)=　10　,
-×(-5)×-×(+2)=　-10　,
-×(-5)×-×(-2)=　10　.
问题　几个不为0的数相乘,积的符号与负因数的个数之间有什么关系 如果有因数为0,那么积有什么特点
[归纳总结] (1)几个不等于零的数相乘,负因数的个数是偶数时,积为正;负因数的个数是奇数时,积为负.
(2)几个数相乘,如果其中有因数为0,那么积为0.
任务三　意图说明
分组讨论交流,鼓励学生通过观察实例,用自己的语言表达所发现的规律.培养学生善于观察、勤于思考的习惯,让学生体验获得结论的过程.
(三)当堂达标(要求:限时5分钟,独立完成)
1.式子-+×3×5=-+×15=5-3+6中,运用的运算律是(D)
A.乘法交换律及结合律
B.乘法交换律及乘法对加法的分配律
C.加法结合律及分配律
D.乘法结合律及乘法对加法的分配律
2.下列计算结果是负数的是(C)
A.(-3)×4×(-5)
B.(-3)×4×0
C.(-3)×4×(-5)×(-1)
D.3×(-4)×(-5)
3.在每一步算式的后面填上这一步所使用的运算律:
[(8×4)×125-5]×25
=[(4×8)×125-5]×25(　乘法交换律　)
=[4×(8×125)-5]×25(　乘法结合律　)
=4 000×25-5×25(　乘法对加法的分配律　)
=99 875.
4.计算:
(1)(-0.5)×20×(-0.8);
(2)(-4)×(-6)×(-5).
解:(1)(-0.5)×20×(-0.8)
=0.5×20×0.8
=8.
(2)(-4)×(-6)×(-5)
=-4×6×5
=-120.
5.运用运算律进行简便运算:
(1)(-12.5)×-×(-4);
(2)-×(-15)×-×;
(3)1-2+0.75×(-24).
解:(1)(-12.5)×-×(-4)
=[(-12.5)×(-4)]×-
=50×-
=-.
(2)-×(-15)×-×
=-×-××(-15)
=1×(-3)
=-3.
(3)1-2+0.75×(-24)
=×(-24)-×(-24)+×(-24)
=-33+56-18
=5.
(四)课堂小结
1.有理数的乘法运算律:
(1)乘法交换律:ab=ba;
(2)乘法结合律:(ab)c=a(bc);
(3)乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac.
2.(1)多个有理数的乘法法则:
几个不为零的数相乘,负因数的个数为
(2)几个数相乘,若有因数为零,则积为零.
(五)板书设计
新课程理念要求把学生“学”数学放在教师“教”之前,“导学”是教学的重点.因此,在本节课的教学中,不要直接将结论告诉学生,而是引导学生从大量的实例中寻找解决问题的规律.学生经历探索知识的过程,最后总结得出有理数乘法的运算律.整个教学过程要让学生积极参与,独立思考和合作探究相结合,教师适当引导,以达到预期的教学效果.
第3课时　有理数除法法则
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
掌握有理数的除法运算.
1.根据除法是乘法的逆运算探究除法法则.
2.掌握有理数的除法法则,会进行有理数的除法运算.
3.经历把除法问题转化为乘法问题,体会转化的数学思想.
重点:应用有理数的除法法则进行运算.
难点:有理数除法法则的推导.
1.将简单的实际问题作为探究除法法则的导入,让学生自己探索并总结除法法则,同时也让学生对比乘法法则和除法法则,加深印象.从而使学生掌握除法的两种运算方法.
2.通过学生自主学习、探究,培养学生自立的精神.在学习中,教师可以有意识地培养学生的竞争意识,让学生在学习过程中能及时反思自己出现的问题,养成良好的学习习惯.
(一)情境导入
1.(1)小明从家里到学校,每分钟走50 m,共走了20 min,问小明家离学校有多远
解:50×20=1 000(m).
即小明家离学校1 000 m.
(2)放学时,小明仍然以每分钟50 m的速度回家,应该走多少分钟
解:1 000÷50=20(min).
即应该走20 min.
2.从上面这个例子你可以发现,有理数除法与有理数乘法之间满足怎样的关系
答:有理数除法是有理数乘法的逆运算.
(二)新知初探
探究一　有理数的除法法则
1.根据“除法是乘法的逆运算”填空:
(-4)×(-2)=8,则8÷(-4)=　-2　;
6×(-6)=-36,则-36÷6=　-6　;
-×=-,则-÷-=　　;
-8×9=-72,则-72÷9=　-8　;
0÷(-3)=0.
想一想:从上面的算式,我们可以发现商的符号有什么规律
答:商的符号与被除数、除数的符号有关.
小结:有理数除法法则(一):
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数都得0.
2.计算:
(1)8÷(-4)=-2,8×-=　-2　,
则8÷(-4)=8×　-　;
(2)-36÷6=-6,则-36×=　-6　,
则-36÷6=-36×　　;
(3)-÷-=,-×-=　　,则-÷-=-×　-　.
问题　上面各组算式的计算结果有什么关系 由此你能得到什么结论
答:上面各组算式的计算结果相同.
小结:有理数的除法法则(二):
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.
做一做
计算:(1)-54÷(-9);(2)-27÷3;
(3)0÷(-7);(4)-24÷(-6).
解:(1)-54÷(-9)=-54×-=6.
(2)-27÷3=-27×=-9.
(3)0÷(-7)=0×-=0.
(4)-24÷(-6)=-24×-=4.
思考:到现在为止我们有了两个除法法则,那么两个法则是不是都可以用于解决两数相除呢
答:两个法则都可以用来求两个有理数相除的值.
如果两数相除,能够整除的就选择法则一,不能够整除的就选择用法则二.
任务一　意图说明
以小组合作的方式通过观察几组算式,找出被除数、除数、商的符号特征和绝对值的特点,进而猜测、推理出一般的除法算式的特点,最后归纳总结除法法则.学生亲历了知识产生的过程,将知识内化.
探究二　例题讲解
例5.计算:
(1)(-36)÷(-9);
(2)÷-.
解:(1) (-36)÷(-9)=+(36÷9)=4.
(2) ÷-=×-=-.
例6.计算:
(1)(-14)÷3.5÷-;
(2)-÷(-3)×-.
解:(1)(-14)÷3.5÷-=(-4)÷-
=(-4)×(-2)=8.
(2)-÷(-3)×-
=-×-×-
=-××=-.
任务二　意图说明
通过例题的训练,让学生熟练运用法则,学会选择使用法则,了解除法的运算步骤,加强学生在计算技巧、方法、顺序、符号等方面的训练,减少出错机会.
(三)当堂达标(要求:限时5分钟,独立完成)
1.下列把除法转换为乘法的过程中正确的是(C)
A.÷(-4)=-×4
B.(-3)÷(-6)=(-6)×-
C.1÷(-4)=1×-
D.(-3)÷4=3×
2.算式-÷　　　　=-3中的横线内应填(D)
A.- B. C.- D.
3.计算(-8)×(-2)÷-的结果为(C)
A.-32 B.32 C.-64 D.64
4.在数-1,2,-3,0,5这5个数中,任意两个数相除,其中最小的商是　-5　.
5.计算:
(1)27÷(-9);(2)0÷(-2);
(3)+÷-;(4)(-0.75)÷0.25;
(5)(-2.4)÷-1.
解:(1)27÷(-9)=-(27÷9)=-3.
(2)0÷(-2)=0.
(3)+÷-=-×=-.
(4)(-0.75)÷0.25=-(0.75÷0.25)=-3.
(5)(-2.4)÷-1=×=2.
(四)课堂小结
有理数的除法法则:
(1)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;0除以任何一个不等于0的数都得0.
(2)除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数.
(五)板书设计
让学生深刻理解除法是乘法的逆运算,对学好本节内容有比较好的作用.教学设计也可以采用课本的引例为探究除法法则的导入,让学生自己探索并总结除法法则,同时也让学生对比乘法法则和除法法则,加深印象.教学时应该使学生掌握除法的两种运算方法:
1.在除式的数字不复杂的情况下直接运用除法法则1求解.
2.在多个有理数进行除法运算或者是乘、除混合运算时应该把除法转化为乘法,然后统一用乘法的运算律解决问题.