2.3　有理数的乘方 教案 2025-2026学年数学青岛版（2024）七年级上册

2.3　有理数的乘方
第1课时　有理数的乘方
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
理解乘方的意义,掌握有理数的乘方运算.
1.在现实背景中感受有理数乘方的必要性,掌握有理数乘方的相关概念.
2.能够正确进行有理数的乘方运算.
3.通过探索有理数乘方的运算过程,感受化归的数学思想.
重点:正确理解乘方的意义,能利用乘方运算法则进行有理数乘方运算.
难点:有理数的乘方的运算及幂的符号法则.
从实际问题出发,提出问题,引导学生积极思考,并总结出答案,由答案的表现形式向学生提出问题,激发学生的求知欲望.在教师的引导下自然过渡到新知识的学习,接着层层设问,引出乘方以及与乘方有关的概念.
(一)情境导入
古希腊数学家阿基米德与国王下棋,国王输了,问阿基米德要什么奖赏.阿基米德对国王说:“我只要在棋盘上第一格放一颗麦子,在第二个格子中放进前一个格子的两倍,每一个格子中都是前一个格子中麦子数量的两倍,一直将棋盘每一个格子摆满.”国王觉得很容易就可以满足他的要求,于是就同意了.但很快国王就发现,即使将国库所有的粮食都给他也不够.你们知道这是为什么吗
(二)新知初探
探究一　乘方的意义
问题1　若正方形的边长为7,则它的面积为多少
7×7=72,读作7的平方(或二次方).
问题2　棱长为5的正方体的体积为多少
2×2×2=23,读作2的立方(或三次方).
问题3　这些式子有什么相同点
答:它们都是乘法;并且它们各自的因数都相同.
思考　同学们想一想:这样的运算能像平方、立方那样简写吗
小结:一般地,n个相同的因数a相乘,即,记作an,读作“a的n次方”.
求n个相同因数的积的运算,叫作乘方,乘方的结果叫作幂.在an中,a叫作底数,n叫作指数.当an看作a的n次方的结果时,也可读作“a的n次幂”.
一个数可以看作这个数本身的一次方,例如5就是51, -可以看作-1,指数1通常省略不写.
做一做
(1)(-3)2的底数是　-3　,指数是　2　,(-3)2表示2个　-3　相乘,读作　-3　的 2次方,也读作-3的平方;
(2)5表示　5　个　　相乘,读作的　5　次方,也读作的　5次幂　,其中叫作　底数　,5叫作　指数　.
任务一　意图说明
1.通过实际问题,为学生提供数学活动的机会,通过合作交流使学生在现实情境中得出乘方的定义,经历数学知识的发生、发展过程.强调乘方是一种特殊的乘法运算.
2.通过解决练习中的问题,让学生明确对于分数及负数的乘方,书写时底数一定要添加括号.
探究二　幂的符号法则
1.算一算:
如:23=2×2×2=8;24=2×2×2×2=16.
(1)(-2)2=　4　;(-2)3=　-8　;(-2)4=　16　;(-2)5=　-32　;
(2)-2=　　;-3=　-　;-4=　　;-5=　-　;
(3)02=　0　;03=　0　;04=　0　;05=　0　.
问题　正数、0、负数的幂各有什么特点
小结:正数的任何次幂都是正数;负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数;0的任何正整数次幂都是0.
任务二　意图说明
通过具体的例子,引导学生归纳得出幂的符号法则.底数是正数、负数或0时,幂的符号是有区别的.
探究三　例题讲解
例1.计算:
(1)0.42;(2)(-3)4; (3).
解:(1)0.42=0.4×0.4=0.16.
(2)(-3)4=34=3×3×3×3=81.
(3)-3=-=-××=-.
例2.计算:
(1)-34;(2)-(-4)3;(3)-.
解:(1)-34=-81.
(2)-(-4)3=-(-64)=64.
(3)-=-.
任务三　意图说明
通过例题巩固学生的计算能力,让学生逐步熟悉有理数的乘方运算,进一步规范幂的书写格式,使学生加深对有理数的乘方运算的印象.
(三)当堂达标(要求:限时5分钟,独立完成)
1.下列各组数中,相等的一组的是(C)
A.2×12与(2×1)2 B.(-2)2与-22
C.(-1)3与-13 D.与2
2.下列各数:-(-2),-|-3|,(-1)2,(-3)3.其中负数的个数为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.若(x-2)2+|y+1|=0,则yx的值为(C)
A. B.2 C.1 D.-1
4.计算:
(1)--3;(2)-3;(3)-42;(4)(-5)2.
解:(1)--3=--=.
(2)-=-.
(3)-42=-16.
(4)(-5)2=25.
5.你吃过拉面吗 拉面是把1根面条对折成2根拉开,再对折成4根(如图所示)……依次这样进行对折,对折10次有多少根面条 有128根面条时对折了多少次
解:210=1 024(根),128=27.
答:对折10次有1 024根面条,有128根面条时对折了7次.
(四)课堂小结
1.乘方的意义:
(1)一般地,n个相同的因数a相乘,记作an,读作“a的n次幂(或a的n次方)”.
(2)求n个相同因数的积的运算叫作乘方,乘方的结果叫作幂.
2.乘方运算的符号法则:
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)零的任何正整数次幂都是零;
(3)负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数.
3.(-a)n与-an的区别和联系:
(-a)n表示(-a)的n次方,-an表示a的n次方的相反数.
(五)板书设计
本节教学以故事引入,提出问题,激发学生的求知欲望.在教师的引导下自然过渡到新知识的学习,接着层层设问,引出乘方以及与乘方有关的概念,采用归纳类比的方法把新旧知识联系起来,既有利于复习巩固旧知识,又有利于新知识的理解和掌握.
第2课时　科学记数法与近似数
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示).
1.通过对实际问题的探究,感受用科学记数法表示大数的科学性,感受数学的简洁美.
2.会用科学记数法表示大于或等于10的数.
3.通过探索归纳用科学记数法表示的数中10的指数与原数整数位数之间的关系,培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力.
重点:会用科学记数法表示大于或等于10的数.
难点:探索归纳出用科学记数法表示的数中10的指数与原数整数位数之间的关系.
利用实际生活中的熟悉问题调动学生的求知欲和积极性,再通过复习乘方的意义,引导学生思考一些大数可应用以10为底的幂来表示,通过对问题的探究与交流,师生共同发现用科学记数法表示的数中10的指数与小数点移动位数之间的关系,让学生在深刻理解、牢固掌握知识的同时,体会知识的生成过程.
(一)情境导入
生活中,我们经常会遇到一些比较大的数.例如:
1.光的速度约为300 000 000米/秒.
2.地球离太阳约有1亿五千万千米.
3.地球上煤的储量估计为15万亿吨以上.
像这些较大的数据,书写和阅读都有一定的难度,那么有没有这样一种表示方法,使得这些大数易写、易读、易于计算呢
(二)新知初探
探究一　用科学记数法表示数
1.回顾有理数的乘方,计算:
101=　10　,102=　100　,103=　1 000　,104=　10 000　, 106=　1 000 000　,1010=　10 000 000 000　,….
讨论:
(1)指数与运算结果中的0的个数有什么关系
(2)指数与运算结果的数位有什么关系
小结:(1)10n=1,n恰好是1后面0的个数;
(2)10n=,n比运算结果的位数少1.反之,1后面有多少个0,10的幂指数就是多少.如:1=107.
2.像577 000 000 000 000,300 000 000,1亿五千万,15万这样的数,能借助10的乘方来表示吗
答:577 000 000 000 000=5.77×100 000 000 000 000=5.77×1014,
300 000 000=3×100 000 000=3×108,
1亿五千万=1.5×100 000 000=1.5×108,
15万=1.5×100 000=1.5×105.
3.如何用上述方法表示-10 800 000
答:-10 800 000=-1.08×10 000 000=-1.08×107.
小结:把一个绝对值大于10的数表示成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n是正整数.这种记数方法叫作科学记数法.
追问:下列三组数是用科学记数法表示的数吗 为什么
(1)0.137×1010;(2)13.7×108;(3)137×107.
例3.党的二十大报告指出,我们加快推进科技自立自强,全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元,居世界第二位,研发人员总量居世界首位.将2 800 000 000 000用科学记数法表示.
解:2 800 000 000 000=2.8×1012.
任务一　意图说明
1.让学生对幂的意义进行回忆,弄清指数与其结果中零的个数的关系,为学生对下面将要学习的科学记数法的理解做好铺垫.
2.通过把绝对值大于10的数写成10的幂的形式,让学生进一步掌握10的指数与原数的整数位数的关系.
探究二　还原用科学记数法表示的数
下列用科学记数法表示的数,原来各是什么数
(1)2022年我国粮食总产量再创新高,达6.865 3×108吨.
(2) 一套课外阅读书中大约有1.7×107个字.
(3) 2024年元旦假期的到来,点燃了消费者的出游热情,也激发了旅游市场的活力.元旦假期三天,某市共接待游客6×106人次.
解:(1)6.865 3×108= 686 530 000.
(2)1.7×107=17 000 000.
(3)6×1=6 000 000.
小结:反过来,如果用科学记数法表示的数中10的指数是n,那么原数有n+1位整数位.
任务二　意图说明
通过将用科学记数法表示的数还原,加深学生对科学记数法的理解,对学生存在的问题及时有效地进行反馈,让老师及时准确地掌握学生的课堂学习效果.
探究三　准确数与近似数
例4.按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数.
(1)1.702(结果精确到0.01);
(2)1.702(结果精确到个位).
解:(1)1.702≈1.70.(2)1.702≈2.
例5.中国国家图书馆是亚洲规模最大的图书馆,居世界国家图书馆第三位.截止2022年12月底,中国国家图书馆馆藏中文实体书籍14 284 892册,外文实体书籍4 502 319册.请用四舍五入法将14 284 892和4 502 319精确到十万位.
解:14 284 892≈1.43×107.
4 502 319≈4.5×106.
小结:四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.
任务三　意图说明
通过用四舍五入取近似数,加深学生对近似数和准确数的理解,提高学生的课堂学习效果.
(三)当堂达标(要求:限时5分钟,独立完成)
1.国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告(2022年)》显示,2022年我国数字经济规模达502 000亿元.用科学记数法表示502 000,正确的是(C)
A.0.502×106 B.5.02×106
C.5.02×105 D.50.2×104
2.已知光速约为300 000 km/s,光经过t s(1≤t≤10)传播的距离用科学记数法表示为a×10n km,则n可能为(C)
A.5 B.6
C.5或6 D.5或6或7
3.把下列用科学记数法表示的数写成原数:
(1)6.25×108=　625 000 000　;
(2)8.0015×103=　8001.5　;
(3)-2.12×105=　-212 000　.
4. 某城市有100万个家庭,平均每个家庭每天丢弃1个塑料袋.
(1)这100万个家庭一年(365天)将丢弃　　　　个塑料袋;(用科学记数法表示)
(2)若每1 000个塑料袋污染1平方米土地,则该城市一年(365天)被塑料袋污染的土地有多少平方米 (结果精确到万位)
解:(1)3.65×108　(2)3.65×108÷1 000=3.65×105≈3.7×105(平方米).
答:若每1000个塑料袋污染1平方米土地,则该城市一年(365天)被塑料袋污染的土地约有3.7×105平方米.
(四)课堂小结
1.科学记数法:
把一个绝对值大于10的数表示成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n是正整数.这种记数方法叫作科学记数法.
2.还原用科学记数法表示的数.
3. 准确数与近似数.
(五)板书设计
本节课的特点是实际性强,和我们的日常生活联系紧密,从学生的生活经验和已有的知识出发,创设生动有趣的情境,引导学生开展观察、讨论、交流等活动.把学生被动接受知识的过程变为主动探究发现的过程,使知识的发生与发展在每一位学生各自的体验和自主学习中逐渐展现.