4.1 整 式
理解单项式、多项式和整式的相关概念.
1.理解单项式和多项式的相关概念,并能准确地找出单项式的系数、次数,能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数.
2.能用单项式和多项式表示具体问题中的数量关系.
3.在经历用字母表示数量关系的过程中,发展学生的符号感.
重点:理解单项式和多项式的有关概念,并能准确地找出单项式的系数、次数,会确定一个多项式的项数和次数.
难点:能够确定单项式的系数、次数,多项式的项数、次数
教学过程要重点展示概念的形成过程,由学生观察、分析、比较,找出单项式、多项式的特点,再归纳、抽象概括,形成单项式和多项式及相关概念的定义.整个教学过程要遵照启发式原则,凡是经学生努力探究能找出的知识都交由学生自主完成,这样有助于提升学生用数学解决问题的能力.
(一)情境导入
(1)黄豆是一种富含蛋白质的食物,每克黄豆的蛋白质含量约为 0.363 g,则x g黄豆的蛋白质含量约为0.363x g;
(2)-p2的相反数是 p2 ;
(3)某志愿团有八年级学生n人,七年级学生比八年级学生的一半少1人,则该志愿团七年级学生的人数为 n-1 人;
(4)某公寓的建筑平面示意图如下,则这间公寓的建筑面积是 (x2+5x+3)m2 .
观察所列式子包含什么运算,有什么特点.
(二)新知初探
探究一 单项式的相关概念
(1)从运算的角度看,0.363x,p2这些代数式都是数与字母的乘积,这样的式子叫作单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式.例如:2 024,a,等都是单项式.
(2)单项式的系数、次数
单项式中数与字母相乘,通常把数字因数叫作系数;所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.对于单独的一个非零的数,规定它的次数为0.
做一做
下列各式中,哪些是单项式
x,,a,4x+6,x2-y,,-16.
解:单项式有x,a,-16.
任务一 意图说明
通过对比多个代数式,让学生讨论分析归纳出单项式的概念,强调单项式必须为数或字母的乘积,即可以是字母之间相乘,数字之间相乘,数字和字母之间相乘.并且单独的一个数或一个字母也是单项式.紧接着让学生从单项式的结构中分析归纳出单项式的次数和系数的概念,重点强调学生容易出错的地方:单项式的系数包含其前面的负号.
探究二 多项式的相关概念
(1)n-1,x2+5x+3都是单项式吗 这些式子有什么共同特点 与单项式有什么关系
答:上述几个式子都不是单项式.这些式子是两个或者多个单项式相加的形式.
(2)多项式的项和次数
多项式中的每个单项式都叫作这个多项式的项,其中不含字母的项叫作常数项.多项式中次数最高的项的次数,叫作这个多项式的次数.
(3)整式
单项式和多项式统称为整式.
做一做
1.分别写出下列多项式的次数及多项式的各项,并指出这个多项式是几次几项式.
(1)n2+1;(2)2a2-2ab+b2;
(3)πx4-y3+2x2+1.
解:多项式n2+1的次数为2,它的项分别为n2,1,它是二次二项式.
多项式2a2-2ab+b2的次数为2,它的项分别为2a2,-2ab,b2,它是二次三项式.
多项式πx4-y3+2x2+1的次数为4,它的项分别为πx4,-y3,2x2,1,它是四次四项式.
2.(1)在代数式a,2x2+y,+1,-5,3m-3n中,多项式有 2x2+y,3m-3n .整式有 a,2x2+y,-5,3m-3n .
(2)多项式x2+y-z的项分别为 x2,y,-z ,每项的次数分别为 2,1,1 .
(3)多项式3m3-2m-5+m2的项分别为 3m3,-2m,-5,m2 ,每项的次数分别为 3,1,0,2 ,常数项是 -5 .
小结:(1)多项式的各项应包括它前面的符号;
(2)多项式没有系数的概念,但其每一项均有系数,每一项的系数也包括前面的符号;
(3)要确定一个多项式的次数,先要确定此多项式中各项(单项式)的次数,然后找次数最高的;
(4)一个多项式的最高次项可以不唯一.
任务二 意图说明
1.通过特征的讲述,由学生自己归纳出多项式的定义,教师可给予适当的提示及补充.
2.教师介绍多项式的项和次数以及常数项等概念,并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系,渗透类比的数学思想.
探究三 例题讲解
1.判断下列代数式是单项式还是多项式,如果是单项式,指出它的系数和次数;如是多项式,指出它的各项,并指出多项式是几次几项式.
(1)3a;(2)mn;(3)-xy3;(4) n3-1;(5)a2+2ab+b2;(6)2x2-3x-4.
解:(1)3a是单项式,系数是3,次数是1.
(2) mn是单项式,系数是,次数是2.
(3) -xy3是单项式,系数是-1,次数是4.
(4) n3-1是多项式,它的项分别是n3和-1,它是三次二项式.
(5)a2+2ab+b2是多项式,它的项分别是a2,2ab和b2,它是二次三项式.
(6)2x2-3x-4是多项式,它的项分别是2x2,-3x和-4,它是二次三项式.
注意:多项式2x2-3x-4的各项是按字母x的次数从大到小的顺序排列的,这种排列叫作多项式按字母x的降幂排列;还可以将这个多项式写成-4-3x+2x2的形式,这种排列叫作多项式按字母x的升幂排列.
任务三 意图说明
1.通过例题让学生充分理解单项式和多项式的概念.
2.注重分析,抓住概念易混淆处和判断易出错处,强化认识,帮助学生理解单项式系数、次数,特别提醒学生注意多项式的项包括前面的符号,多项式的次数应为次数最高的项的次数.为进一步学习新知做好铺垫.
(三)当堂达标(要求:限时5分钟,独立完成)
1.下列说法中,正确的是(C)
A.不是整式
B.-的系数是-3,次数是3
C.3是单项式
D.多项式2x2y-xy是五次二项式
2.已知关于x的多项式3x4-(m+5)x3+(n-1)x2-5x+3不含x3和x2,则(C)
A.m=-5,n=-1 B.m=5,n=1
C.m=-5,n=1 D.m=5,n=-1
3.已知多项式x|m|-(m-3)x+k2-1.
(1)若此多项式是关于x的三次三项式,求m的值.
(2)若此关于x的多项式不含常数项,求k的值.
解:(1)由题意可知|m|=3,-(m-3)≠0,
所以m=-3.
(2)由题意可知k2-1=0,
k2=1,
所以k=1或k=-1.
4.已知关于x,y的多项式3x2-10xm+1y-x4+9x-22是六次五项式.
(1)m的值是 ,该多项式的常数项是 ;
(2)将此多项式按x的降幂排列.
解:(1)因为多项式3x2-10xm+1y-x4+9x-22是六次五项式,
所以m+1+1=6,解得m=4,且多项式的常数项是-22.
故答案为4,-22.
(2)根据(1)得多项式为3x2-10x5y-x4+9x-22,
所以按x的降幂排列为-10x5y-x4+3x2+9x-22.
(四)课堂小结
1.单项式是由数或字母的乘积组成的代数式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式的系数:单项式中的数字因数.单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和.
2.多项式:几个单项式的和叫作多项式.多项式中的每个单项式叫作多项式的项.不含字母的项叫作常数项.多项式里次数最高的项的次数叫作多项式的次数.
3.单项式和多项式统称为整式.
(五)板书设计
这节课的教学内容并不难,如果采用讲授的方式,很快90%以上的学生都可以理解、掌握.虽然单纯地从学生接受知识的角度,讲授法应该效果更好,但同时学生的自主学习的习惯和能力也不知不觉地被忽略了.事实证明,学生没有养成一个良好的自主学习的习惯,不会自己阅读、分析题意,他们今后的学习会受到很大的制约.