5.1 认识方程
能根据现实情景理解方程的意义,能根据具体问题列出方程.
1.通过现实生活中的例子,理解方程的意义.
2.初步学会找实际问题中的等量关系,设出未知数,列出方程.
3.从具体问题中更深入地认识一元一次方程与现实生活的联系,体会方程是刻画现实世界的数学模型.
重点:理解方程的意义,能根据具体问题列出方程.
难点:找出具体问题中的等量关系,列方程.
通过实际问题引入课题,然后运用算术的方法给出解答.在各环节的安排上都设计成一个个的问题,使学生能围绕问题展开思考、讨论.通过本节的教学让学生体会到从算式到方程是数学的进步,渗透化未知为已知的重要数学思想.使学生体会到数学与日常生活密切相关,认识到许多实际问题可以用数学方法解决.
(一)情境导入
鸡兔同笼问题:
今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何
你有哪些方法解决这道经典有趣的数学题
解法1:94÷2-35=12(只),35-12=23(只),
所以鸡有23只,兔有12只.
解法2:设鸡有x只,兔有(35-x)只,则2x+4(35-x)=94,
即-2x+140=94.解得x=23,所以35-x=12,所以鸡有23只,兔有12只.
(二)新知初探
探究一 方程的概念
(1)顾客购买某种练习本时有两种方案.方案一:直接按每册10元购买.方案二:先交会员费20元,之后按照每册8元购买.请问购买多少册练习本时两种方案的费用相等
设购买x册练习本,则方案一的费用是10x元,方案二的费用是(8x+20)元.根据问题中的等量关系:方案一的费用=方案二的费用,可以列出等式10x=8x+20.①
(2)某工厂生产紫砂茶具套装,每套茶具包含1把茶壶和6只茶杯,已知1 kg紫砂泥可制作2把茶壶或8只茶杯.现要用15 kg紫砂泥制作茶具套装,工厂应各分配多少千克的紫砂泥制作茶壶和茶杯
设制作茶壶的紫砂泥为x kg,则制作茶杯的紫砂泥为(15-x)kg,根据问题中的等量关系:茶杯数量=茶壶数量的6倍
可以列出等式8(15-x)=6×2x.②
(3)如图所示,将一个正方形花坛的两边分别延长2 m扩建成一个长方形花坛,扩建后整个花坛的面积为35 m2.原正方形花坛的边长为多少
设原正方形花坛的边长为x m,则原花坛的面积x m2,扩建部分的面积为2x m2,根据等量关系:原花坛的面积+扩建部分的面积=扩建后花坛的面积,
可以列出等式x2+2x=35.③
上面的等式①②③,有什么相同点和不同点
小结:为了求出问题中的未知数,可以引入字母表示未知数,先设出字母表示未知数,然后根据问题中的等量关系,列出一个含有未知数的等式,这样的等式叫作方程.方程中只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.
任务一 意图说明
1.通过设置丰富的问题情境,使学生经历模型化的过程,激发学生的好奇心和主动学习的欲望.
2.让学生通过对三个方程的分析得出方程的定义,可加深学生对方程概念的理解,同时还可以锻炼学生思维的主动性,更深入地认识一元一次方程与现实生活的联系.
探究二 方程的解
当x=10时,10x=10×10=100,8x+20=8×10+20=100,
方程10x=8x+20的左右两边相等,则x=10就是方程10x=8x+20的解.
小结:使方程的等号两边相等的未知数的值,叫做方程的解,只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根.
(三)当堂达标(要求:限时5分钟,独立完成)
1.下列各式中,属于方程的是(D)
A.5x+1 B.2x-3>1
C.25+7=18+14 D.3x-1=2x+3
2.A种饮料比B种饮料单价少1元,小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料,一共花了13元,如果设B种饮料单价为x元/瓶,那么下面所列方程正确的是(C)
A.2x+3(x+1)=13 B.2(x+1)+3x=13
C.2(x-1)+3x=13 D.2x+3(x-1)=13
3.现有一个长方形的周长为30 cm,这个长方形的长减少1 cm,宽增加2 cm,就可以变成一个正方形,设长方形的宽为x cm,可列方程为(D)
A.x-2=(30-x)+1 B.x-2=(15-x)+1
C.x+2=(30-x)-1 D.x+2=(15-x)-1
4.七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观,共589人,到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人.设到雷锋纪念馆的人数为x人,可列方程为 2x+56=589-x .
5.根据下列问题,设未知数并列出方程:
(1)小丽从出版社邮购3本一样的书,包括邮费的总价为37.5元,如果每本书的邮费是2元,那么每本书的价格是多少元
(2)春运期间,汽车票价上浮20%,小明从南京去上海的票价是84元,求原来的票价;
(3)A,B两袋大米,A袋有50千克,它的比B袋的70%少8千克,B袋有多少千克大米
解:(1)设每本书的价格是x元,根据题意,得3x+3×2=37.5.
(2)设原来的票价为x元,根据题意,得x(1+20%)=84.
(3)设B袋有x千克大米,根据题意,得×50+8=70%x.
(四)课堂小结
1.方程的概念:含有未知数的等式.
2.一元一次方程:方程中只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,等号的两边都是整式.
3.方程的解:使方程的等号两边相等的未知数的值.
4.列方程解决实际问题的基本思路:
(1)设未知数(用字母);
(2)找等量关系(表示出相关的量);
(3)列出方程.
(五)板书设计
本课首先用实际问题引入课题,然后根据问题设未知数列方程.通过本节的教学让学生体会到从算式到方程是数学的进步,渗透化未知为已知的重要数学思想.使学生体会到数学与日常生活密切相关,认识到许多实际问题可以用数学方法解决;从而激发学生学习数学的热情.