1.2　怎样判定三角形相似 教案 （表格式） 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

1.2　怎样判定三角形相似
课题 1.2　怎样判定三角形相似 课时 第1课时 授课人
教学目标 1.经历基本事实9及其推论的证明过程,体会证明是说明一个问题正确的方法. 2.理解并掌握基本事实9及其推论.
教学 重难点 教学重点:理解并掌握基本事实9及其推论. 教学难点:利用所学基本事实9及其推论解决所遇到的实际问题.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 1.相似多边形的主要特征是什么 对应角相等、对应边成比例. 2.在相似多边形中,最简单的就是相似三角形,它的特征是什么 对应角相等、对应边成比例. 3.(1)当△ABC与△A'B'C'的相似比为k时,△A'B'C'与△ABC的相似比为　　. (2)如果k=1,这两个三角形有怎样的关系 这两个三角形全等. 把相似多边形的定义迁移到相似三角形的定义,使学生明白前后知识的过渡,同时为本节课的学习奠定良好的基础.
情境导入 梯子是我们生活中常见的工具. 如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子及其简图,经测量,AB=BC=CD,AA1∥BB1∥CC1∥DD1,那么A1B1和B1C1相等吗 这就是本节课要探究的问题. 由生活中常见的梯子问题导入新课,增加学生的学习兴趣.
合作探究 探究一:平行线分线段成比例 (1)如图①,直线l1,l2被平行直线l3,l4所截,交点分别为A,B,C,D.过线段AB的中点E,作直线l5∥l4,该直线与直线l2交于点F,那么F是线段DC的中点吗 如果是,证明你的结论. 提示:要证明DF=FC,如果能把它们放在两个全等三角形中就好办了. ① (2)如图②,取AE的中点P,过点P作直线l6∥l3,交l2于点Q,此时对应线段AP,PB,DQ,QC成比例吗 为什么 如果取EB的中点P1,过点P1作直线l7∥l3,交l2于点Q1,你发现l1,l2被平行线所截得的对应线段AP1,P1B,DQ1,Q1C成比例吗 一般地,如果任意两条直线l1,l2被一组平行直线l3,l4,l5所截,交点分别是A,B,C,D,E,F(如图③),那么都有=. ② ③ 1.通过探究由特殊到一般地逐步归纳、猜想,进而明确平行线分线段成比例的基本事实;然后把这一基本事实特殊化(应用在三角形中),得到推论,为后面证明相似三角形的判定做准备.
续表
合作探究 归纳小结： 基本事实9(平行线分线段成比例定理) 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 探究二:平行线分线段成比例定理的推论(“A型”“X型”) (1)图①中l1,l2两条直线被三条互相平行的直线l3,l4,l5所截,交点A重合且刚好落到l3上时,如图②,线段AB,AC,AE,AF成比例吗 AB,AC,BE,CF呢 ① ② (2)图①中l1,l2两条直线被三条互相平行的直线l3,l4,l5所截,交点A刚好落到l4上,如图③,线段AE,AC,AD,AB,DE,BC成比例吗 ③ 归纳小结： 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形的一边,并且与其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 典例分析: 【例1】 如图,直线l1∥l2∥l3,下列比例式中成立的是(　D　 ) A.= B.= C.= D.= 归纳小结：由平行线分线段成比例所得的比例式中,关键是线段的对应,可简记为:“=,=,=”“=”或“=”. 【例2】 如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE∥BC,若AD∶AB=3∶4, AE=6,则AC等于(　D　) A.3 B.4 C.6 D.8 2.这两种类型是必考题型,一般分为“A型”和“X型”. 3.在分析过程中找出A型和X型,得出比例式.如何作辅助线一直是个难点,学生往往不知从何处入手,结合推论的推理,体会辅助线是如何作的.
续表
随堂检测 1.如图,直线l1∥l2∥l3,AB=3,AC=4,则的值是(　C　) A. B. C. D. 2.如图,小明在打网球时,球恰好能打过网,而且落在离网5 m的位置上,则球拍击球的高度h为　2.4　m. 3.如图,l1∥l2∥l3,AM=2,MB=3,CD=4.5,则ND=　2.7　,CN=　1.8　. 通过练习,加强学生对基本事实和推论的应用.
课堂小结 1.平行线分线段成比例定理及推论是怎样得出来的 2.平行线分线段成比例定理的内容是什么 3.平行线分线段成比例定理的推论的内容是什么 对本节课的知识进行及时整理和归纳,加深理解.
作业布置 请完成教材练习题P11T1-T2
板书设计
平行线分线段成比例定理 1.基本事实9 =,=,=,=,=. 2.基本事实9的推论
教学反思
虽然本节课是基本事实,但也让学生亲身实践去算一算、量一量、画一画、推一推,从而明白基本事实是如何得出的.教学中应避免直接给学生结论,让学生去应用知识,那样就失去了探究的意义和价值.在数学问题中,作辅助线是个难点,有些问题,学生不知从何处入手,做什么样的辅助线,教师应在平时的教学中结合实例给予适当指点.
课题 1.2　怎样判定三角形相似 课时 第2课时 授课人
教学目标 1.经历相似三角形与全等三角形的类比过程,进一步体验类比思想;了解相似三角形判定定理1的证明过程. 2.能运用相似三角形的判定定理1证明三角形相似.
教学 重难点 教学重点:能运用相似三角形的判定定理1证明三角形相似. 教学难点:相似三角形判定定理1的证明过程.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 1.基本事实9是什么 它的推论呢 2.如图,已知AB∥CD∥EF,你能分别得到哪些比例式呢 请填空. (1)==,==. (2)图中有相似三角形吗 请写出来. 解:(1)==,==. (2)有.△ABO∽△DCO∽△FEO. 通过复习平行线分线段成比例定理以及推论的内容,过渡到相似三角形判定定理的学习.
情境导入 观察教师手中的一副三角尺和学生手中的一副三角尺,其中两个锐角(30°与60°或45°与45°)相同. 思考: (1)如图,两个等腰直角三角形的三角板相似吗 说说理由. (2)如图,两个含30°角的直角三角形的三角板相似吗 说说理由. (3)如果两个三角形有两组对应角相等,那么它们是否相似 有三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形相似.能不能用较少的条件来判定两个三角形相似呢 这就是我们今天要探究的主要内容. 以生活实例为情境导入新课,让学生感受数学来源于生活,又应用于生活,激发学生学习的兴趣;由数学课上常用的三角尺猜想三角形相似的条件,顺利自然地导出本节课的课题.
合作探究 探究:相似三角形的判定定理1 问题1：全等三角形是如何定义的 三角形全等的判定有几种方法 对应角、对应边相等的三角形是全等三角形; 有五种判定方法:①AAS,②ASA,③SAS,④SSS,⑤HL(直角三角形). 问题2：你能说出相似三角形的定义吗 对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似. 问题3：利用定义判定两个三角形相似太不方便了,能否像证明三角形全等那样适当减少其中的某些条件,得到简便一些的判定方法呢 由于相似三角形对应边的长可以不相等,把判定方法①②中的边去掉,仅保留两角分别相等的条件,能判定这两个三角形相似吗 合作交流：任意画△ABC和△A'B'C',∠A=∠A',∠B=∠B',观察这两个三角形,它们的形状相同吗 怎样判定它们相似呢 1.在教师的引导下从全等三角形的判定方法去猜想相似三角形的判定方法,提高学生分析问题、解决问题的能力.
续表
合作探究 你能在上述思路的基础上完成这一命题的证明吗 证明:如图,在AB,AC(或它们的延长线)上,分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE. ∵∠A=∠A', ∴△ADE≌△A'B'C', ∴∠ADE=∠B',∠AED=∠C',DE=B'C'. 又∵∠B=∠B',∴∠ADE=∠B, ∴DE∥BC, ∴==, ∴==. 又∵∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C', ∴△ABC∽△A'B'C'. 归纳小结：相似三角形的判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似.(简称:两角分别相等的两个三角形相似) 典例分析: 【例1】 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似. 已知:如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高. 求证:△ACD∽△ABC∽△CBD. 证明:∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=90°, ∴△ACD∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). 同理△CBD∽△ABC, ∴△ACD∽△ABC∽△CBD. 【例2】如图,已知点B,D分别是∠A的两边AC,AE上的点,连接BE,CD,相交于点O,如果∠1=∠2,图中有哪几对相似三角形 说明理由. 解:△DOE∽△BOC,△ABE∽△ADC.理由是: ∵∠1=∠2,∠DOE=∠BOC,由判定定理1, ∴△DOE∽△BOC. 同理,由∠E=∠C,∠A=∠A, ∴△ABE∽△ADC. 2.通过作辅助线,让学生体会转化思想、数形结合思想在数学中的应用. 3.例1是必考题型,此题的结论可以称为“母子相似定理”,让学生理解、掌握并牢记. 4.通过例题展示,让学生进一步体会相似三角形判定定理的运用,鼓励学生独立完成,养成独立思考的习惯,通过规范学生的书写过程,培养学生严谨的学习态度.
续表
随堂检测 1.有一个角等于110°的两个等腰三角形(　B　 ) A.全等 B.相似 C.既不全等也不相似 D.无法确定 2.如图,已知∠A=50°,∠B=60°,∠ADC=110°,则△ABC∽　△CBD　. 3.已知,如图,点E是矩形ABCD的边CD上的一点,△BCE沿着BE折叠为△BFE,点F落在AD上,求证:△ABF∽△DFE. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠D=∠C=90°. ∵△BCE沿BE折叠为△BFE, ∴∠BFE=∠C=90°, ∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°. 又∠AFB+∠ABF=90°,∴∠ABF=∠DFE, ∴△ABF∽△DFE. 1.通过做题,让学生进一步熟悉相似三角形的判定定理1. 2.第3题是易考题型,矩形中直角三角形的翻折和一线三等角是相同题型,让学生理解并注意书写步骤.
课堂小结 1.相似三角形的判定定理1是根据什么证明的 2.请说一说相似三角形的判定定理1. 通过课堂小结,让学生对本节所学的内容更加清楚、条理.
作业布置 请完成教材P14挑战自我及练习题T1
板书设计
相似三角形的判定定理1 1.全等三角形的判定方法 ①AAS,②ASA,③SAS,④SSS,⑤HL(直角三角形). 2.相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似. 【例2】
教学反思
相似三角形是初中数学学习的重要内容,对学生的逻辑思维能力的培养、数形结合思想的发展起着重要的作用.而相似三角形的判定定理又是本章内容的重点与难点,也是历年中考必考内容.本节课学习的内容是相似三角形判定定理1,是在学生学习了全等三角形的判定和性质,相似多边形的定义和性质,基本事实9及推论的基础上用类比的方法推出来的,在课堂上让学生通过自主探究、小组合作的方式获得判定定理,充分调动学生的积极性,在教学过程中要注意书写步骤的引导.学好本节课,为后续应用相似三角形有关知识来测量物体的高度、距离做好准备.
课题 1.2　怎样判定三角形相似 课时 第3课时 授课人
教学目标 1.理解相似三角形判定定理2,3的推导过程,掌握相似三角形的判定定理.在探究三角形相似的活动中,体会类比思想. 2.掌握相似三角形判定定理2,3,能根据题目所给的条件,选择适当的方法判定两个三角形相似.
教学重难点 教学重点:会应用相似三角形的两个判定定理. 教学难点:怎样选择合适的方法来判定两个三角形相似.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 1.复习提问,我们学习了哪些判定三角形相似的方法 (1)定义:对应角相等,对应边成比例的三角形是相似三角形; (2)相似三角形的判定定理1. 2.回顾全等三角形的判定方法有哪些 AAS,ASA,SAS,SSS,HL(直角三角形). 引导学生复习学过的知识,承前启后,激发学生学习新知识的兴趣.
情境导入 如图,A,B两点被池塘隔开,为测量A,B两点间的距离,在池塘边任选一点C,连接AC,BC,延长AC到点D,使CD=AC,延长BC到点E,使CE=BC,连接DE,如果测量DE=20 m,那么AB=2×20=40(m).你知道这是为什么吗 以生活实例为情境导入新课,让学生感受数学来源于生活,激发学生学习的兴趣.
合作探究 探究一:相似三角形的判定定理2 类比三角形全等的方法SAS,能不能用两边及夹角来判定两个三角形相似呢 画出△ABC和△A'B'C',使∠A'=∠A,=,它们相似吗 怎样证明呢 归纳小结：相似三角形的判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.(简称:两边成比例,且夹角相等的两个三角形相似) 典例分析: 【例1】 如图,AD=3,AE=4,BE=5,CD=9.△ADE与△ABC相似吗 说明理由. 解:△ADE∽△ABC.理由是: 由==,==, 可以得到=. ∵∠EAD=∠CAB, ∴△ADE∽△ABC(相似三角形的判定定理2). 1.引导学生通过观察、实验、推理等活动,发现三角形相似的条件与三角形全等的区别和联系,类比研究全等三角形的SAS方法,发现相似三角形的判定方法. 2.边要对应,角是夹角.当有两边时,注意隐含的条件,如公共角,对顶角等.
续表
合作探究 探究二:相似三角形的判定定理3 类比三角形全等的方法SSS,能不能用三边来判定两个三角形相似呢 如图,把△ABC的三边按一定的比例缩小(或放大)后得到△A'B'C',即三边满足==,它们相似吗 怎样证明呢 归纳小结：相似三角形的判定定理3 如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例,那么这两个三角形相似.(简称:三边成比例的两个三角形相似) 典例分析: 【例2】 如图,已知==.不另外添加字母,写出图中相等的角,并说明理由. 解:∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE,∠C=∠E,∠BAD=∠CAE.理由是: 在△ABC与△ADE中, ∵==, ∴△ABC∽△ADE(相似三角形的判定定理3). ∴∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE,∠C=∠E. 由∠BAC=∠DAE还可推出∠BAD=∠CAE. 归纳小结： 相似三角形的判定定理2　两边成比例,且夹角相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理3　三边成比例的两个三角形相似. 利用判定定理2时对应角相等,并且必须是夹角;判定定理3需要知道三边,并且成比例. 3.通过类比全等三角形的判定方法SSS,来引导学生得到相似三角形的判定定理3. 4.使用数学符号语言,让学生学会写步骤. 5.例2通过运用判定定理3,来解决三角形相似的问题,进一步加深对所学知识的理解,有利于学生更好的掌握所学的知识.
随堂检测 1.在△ABC中,BC=5 cm,CA=45 cm,AB=46 cm,另一个与它相似的三角形的最短边是15 cm,则最长边是(　A　 ) A.138 cm B.cm C.135 cm D.不确定 2.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的两点,添加下列条件:①∠AED=∠C;②=;③=;④=.其中能判定△ABC∽△ADE的是(　A　 ) A.①④ B.①②③ C.①② D.①②④ 第1题,找对应边时,要长对长,短对短,中对中,找对应角用同样方法.
续表
随堂检测 3.如图,在正方形网格上有6个三角形:①△ABC,②△BCD,③BDE,④△BFG,⑤△FGH,⑥△EFK.在②~⑥中,与①相似的是(　B　 ) A.②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D.②③⑥ 4.如图,已知△ABC中,AB=8,BC=7,AC=6,E是AB的中点,F是AC边上的一个动点,将△AEF沿EF折叠,使A落在A'处,若A,E,F三点组成的三角形与△ABC相似,则EF的长为　或　. 第4题是易错题,A,E,F三点组成的三角形与△ABC相似和“△AEF∽△ABC”是有区别的,后者要按字母顺序依次对应,而前者没有对应关系,所以要分类讨论.
课堂小结 1.相似三角形的判定有几种方法 如何选择这些方法 2.相似三角形具有哪些性质 总结相似三角形的判定方法及思路,让学生的思维更清晰.
作业布置 请完成教材练习题P16T1-T2
板书设计
相似三角形的判定定理2,3 1.相似三角形判定定理2:边要对应,角是夹角. 2.相似三角形判定定理3 【例1】 【例2】
教学反思
本节课主要内容是相似三角形的判定定理2和判定定理3,主要目的是培养、完善学生的逻辑推理能力,让学生经历三角形相似条件的探究过程,掌握三角形相似的判定方法,并运用三角形相似解决简单的问题,进一步发展合情推理、逻辑推理能力.学完判定定理2,3后,可以让学生利用刚学完的定理,来解决情境导入中提出的问题,培养学生用数学解决实际问题的习惯.
课题 1.2　怎样判定三角形相似 课时 第4课时 授课人
教学目标 1.进一步巩固三角形相似的知识; 2.能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高度,测量河宽问题等)的一些实际问题; 3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,进一步了解数学建模的思想,培养分析问题、解决问题的能力.
教学 重难点 教学重点:运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度. 教学难点:灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 1.如图,已知AB∥EF∥DC,AD∥BC,EF与AC交于点G,则相似三角形共有(　C　) A.3对 B.5对 C.6对 D.8对 2.相似三角形的判定方法有哪些 相似三角形的性质是什么 两角相等或两边成比例且夹角相等或三边成比例的三角形相似. 相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 复习三角形的判定和性质,为后面的应用做好准备.
情境导入 同学们知道古希腊的泰勒斯吗,他做了一件令当地人震惊的事迹,那就是测量金字塔的高度.只要当一个人的身高与影长相等的时候,测量金字塔影子的长度,便是它的高度.这个如今看起来简单的三角形定理,在当时却是令人匪夷所思.下面我们就一起来探究一下,他是怎么做到的吧! 通过有趣的故事背景,激发学生的学习兴趣,提高“用数学”的意识.
合作探究 探究一:利用相似三角形测量物体高度 观察:泰勒斯是如何测出金字塔的高度的 交流发现:如图,AC为金字塔的高度,DF为泰勒斯助手的高度,AB,DE为太阳光线,CB,FE分别为它们在地面上的影子.当身高DF和影子EF等长时,金字塔高度AC和它的影长CB的关系怎样 归纳小结：同一时刻,同一地点,=,所以用这个办法,可以测出很多平时很难测量的物体的高度. 合作交流：利用阳光下的影子测量水塔的高度,除了像测量金字塔高度那样,还有其他方法吗 需要测出哪些数据 原理是什么 1.让学生经历从现实生活中抽象出数学“模型”的过程,培养“建模”意识.
续表
合作探究 典例分析: 【例1】 如图,在阳光下,小亮走进水塔的影子里,使自己的影子刚好被水塔的影子遮住.已知小亮的身高BC=1.6 m,此时,他的影子的长AC=1 m,他距水塔的底部E处的距离CE为11.5 m,水塔的顶部为点D.根据以上数据,求出水塔的高度DE. 解:∵∠BAC=∠DAE,∠BCA=∠DEA=90°, ∴△ABC∽△ADE(相似三角形的判定定理1), ∴=. ∵AC=1 m,CE=11.5 m,BC=1.6 m, AE=AC+CE=1+11.5=12.5(m), ∴= ,∴DE=20(m). 即水塔的高度为20 m. 思考:如果恰逢阴天,物体没有影子,你还能利用相似三角形的知识,设计出另外的方案来测量水塔的高度吗 探究二:利用相似三角形测量物体(不能直接测量)的宽度 有些空心机械零件的内径是不能直接测量的,这时往往需要使用交叉卡钳进行测量.如图为一个零件的剖面图,它的外径EF=27 cm,内径AB未知.现用交叉卡钳去测量就可以求出AB的长度,你知道其中的道理吗 需要哪些数据 【例2】 如图,小亮要测量河流两岸A,B两点间的距离.他先从B处出发,沿与AB成90°角的方向向前走50 m到C处,立一竹竿,然后继续按这个方向朝前走10 m到D处,再沿DE方向到E处,使A(目标),C(竹竿)与E在同一条直线上,量得DE=17 m,利用以上数据,求出A,B两点间距离. 解:∵AB⊥BD,DE⊥BD, ∴∠B=∠D=90°. ∵∠ACB=∠ECD,∴△ABC∽△EDC, ∴=. ∵BC=50 m,CD=10 m,DE=17 m, ∴=,∴AB=85 m, ∴A和B之间的距离是85 m. 2.测量问题有多种解法,而且能很好的拓展学生的思维,可举例让学生自己寻找测量方案. 3.利用平面镜反射原理解决问题,如雨后天晴,地面上有水洼,此种问题中水洼可充当平面镜,也可直接用小镜子. 4.利用三角形相似测量距离要引导学生归纳: 一建:构建“A型”或“X型”; 二算:根据相似三角形的性质计算.
随堂检测 1.某建筑物在地面上的影长为36米,同时高为1.2米的测杆影长为2米,那么该建筑物的高为　21.6　米. 2.小明要测量一座塔的高度,从距他2米的一小块积水处C刚好看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离是40米.则塔高为　30　米.(自行画图)
续表
随堂检测 3.如图,小米同学用自制的直角三角板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知三角板的两条边DF=50 cm,EF=30 cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5 m,CD=20 m,求树高AB. 解:∵∠DEF=90°,∴DE==40 cm. ∵∠DEF=∠BCD=90°,∠D=∠D, ∴△DEF∽△DCB,∴=, ∴BC=15 m,∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5(m). 解决这类问题的过程具有共性,就是先建立数学模型,然后找三角形相似,得出比例式,由比例式解决问题.
课堂小结 1.利用相似三角形测量物体的高度.常见题型: (1)利用太阳光在同一时刻、同一地点物长与影长成比例; (2)利用直角三角板与物体顶端成一直线,如随堂检测3; (3)利用小镜子,反射角等于入射角构造相似. 2.利用相似三角形测量两点之间的距离. 构建“A型”或“X型”. 相似三角形的应用是难点,归纳总结常见题型,便于学生掌握考点.
作业布置 请完成教材练习题P20T2
板书设计
相似三角形的应用 1.利用相似三角形测量物体的高度 阳光、小镜子、三角板、标杆等. 2.利用相似三角形测量两点之间的距离 构建“A型”或“X型”. 【例2】
教学反思
本节课运用相似三角形的判定和性质解决一些简单的实际问题,是相似三角形知识的应用、延伸与拓展,将相似三角形与实际生活相结合的问题在中考中经常出现.通过本节课的学习,使学生学会运用相似三角形有关知识求物体的高度,如大楼的高度、旗杆的高度、树的高度等.解决测量问题有多种方法,而且能很好的拓展学生的思维,本节课通过让学生自己寻找测量方案,使学生体会到数学的快乐,根据具体情况选用不同的方法,晴天时利用物高与影长成比例(包括小镜子),阴天用手拿刻度尺或三角板进行目测,也可以使用小镜子(入射角等于反射角原理),把现实问题抽象成数学问题,构造相似三角形,解决问题.