1.4　图形的位似 教案（2课时，表格式）2025-2026学年数学青岛版九年级上册

1.4　图形的位似
课题 1.4　图形的位似 课时 第1课时 授课人
教学目标 1.了解位似图形的概念,会判断简单的位似图形和位似中心. 2.理解位似图形的性质,能利用位似将一个图形放大或缩小,并解决一些简单的实际问题.
教学 重难点 教学重点:位似图形的概念、位似图形的性质及利用位似把图形放大或缩小. 教学难点:位似与相似的联系及区别,位似图形的性质的运用.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 我们已经学习了哪些图形的变换 ①对称(轴对称与轴对称图形,中心对称与中心对称图形):对称轴,对称中心. ②平移:平移的方向,平移的距离. ③旋转:旋转中心,旋转方向,旋转角度. 带领学生共同回顾学过的图形变换,为新旧知识衔接做好准备.
情境导入 如图,大家知道这是什么变换吗 联系生活,感知图形变换之美,增强审美意识,同时在主动参与数学活动过程中,感知数学与生活的密切联系.
合作探究 探究一:位似图形的概念 观察:如图,把四边形ABCD缩小得到四边形A'B'C'D'. ① ② ③ ④ ⑤ 问题1：每幅图中的两个图形是相似形吗 是相似形. 问题2：观察每幅图,它们的对应边的位置关系有何特征 对应边平行或在同一条直线上. 问题3：对应点的连线有什么特征 对应点的连线都交于同一个点. 1.给出探究的方向后,让学生在观察、测量、计算中交流自己的发现,在思维活跃的同学的带领下,概念很容易总结出来.
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合作探究 归纳小结： 位似图形:对应边互相平行(或共线)且每对对应点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形.这个点叫做位似中心.如上述图中,四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是位似图形,O(A)是它们的位似中心. 问题4：观察上述每幅图,位似中心的位置有何不同 从图中可以看出,位似中心可以在图形外部(在图形同侧或异侧);可以在图形内部;也可以在图形的边或顶点上. 归纳小结： 1.同时满足下面三个条件的两个图形才是位似图形,缺一不可. (1)两图形相似; (2)每组对应点所在直线都经过同一点; (3)对应边互相平行(或在同一直线上). 2.位似可以看作是图形的一种位置和大小的变化,位似不改变图形的形状,利用位似可以将图形放大或缩小. 探究二:位似图形的性质 ① ② 观察:上面每幅图都是位似图形,,,的值有怎样的关系 为什么 你能叙述得到的结论吗 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 归纳小结： 1.位似图形是一种特殊的相似形,它具有相似形的所有性质,即对应角相等,对应边成比例;周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方. 2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 3.对应线段平行或在一条直线上. 典例分析: 【例】 如图,已知△ABC与点O.以点O为位似中心,画出△A'B'C',使它与△ABC是位似图形,并且相似比为3∶2. 解:画法1:如图①,(1)作射线OA,OB,OC; ① (2)在射线OA,OB,OC上分别取点A',B',C',使OA'=OA,OB'=OB,OC'=OC; (3)连接A'B',B'C',C'A'. △A'B'C'就是所要画的图形. 2.让学生理解位似中心可以在任何位置. 3.通过推理让学生理解任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4.及时归纳位似图形的性质,让学生的思维更清晰.
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合作探究 　画法2:如图②,(1)作射线AO,BO,CO; (2)在射线AO,BO,CO上分别取点A',B',C',使OA'=OA,OB'=OB,OC'=OC; (3)连接A'B',B'C',C'A'. △A'B'C'就是所要画的图形. ② 5.例题是基础性问题,旨在巩固本节知识,加深理解.
随堂检测 1.下列说法中正确的是(　D　 ) A.位似图形可以通过平移而相互得到 B.位似图形的对应边平行且相等 C.位似图形的位似中心不只有一个 D.位似中心到对应点的距离之比都相等 2.如图,如果△EFH和△MNK是位似图形,那么其位似中心是点　B　. 3.如果两个位似图形的对应线段长分别为3 cm和5 cm,且较小图形的周长为30 cm,则较大图形的周长为　50 cm　. 通过练习题,考察学生对本节内容的掌握情况.
课堂小结 1.满足什么条件的图形是位似图形 2.位似图形的性质有哪些 便于学生对本节课的知识进行及时整理和归纳,有助于系统的掌握本节知识.
作业布置 请完成教材练习题P28T1-T3
板书设计
位似 1.位似图形的定义 2.位似图形的性质 【例】
教学反思
图形的位似是相似形的延伸和深化,位似图形在实际生活和生产中有着广泛的应用,如利用位似把图形放大或缩小,放电影时,胶片与屏幕的画面也是位似图形.通过图形的特征得出位似图形的定义,本节课学习的一个重点为根据定义判断给出的一些图形是不是位似图形;另一个重点就是位似图形的性质.位似图形的性质是放大或缩小图形的理论依据,可以利用性质求一些比值或线段的长度等.
课题 1.4　图形的位似 课时 第2课时 授课人
教学目标 1.了解在平面直角坐标系中,以原点为位似中心的位似图形的对应点的坐标之间的关系. 2.利用平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形的对应点的坐标之间的关系作位似图形.
教学 重难点 教学重点:用图形的坐标变化来表示图形的位似变换. 教学难点:把一个图形按一定比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 在直角坐标系中,△ABC的顶点为A(1,1),B(2,4),C(5,2). (1)把三角形沿着x轴向右平移2个单位长度,再沿y轴向下平移3个单位长度,求平移后的顶点A1,B1,C1的坐标; 解:A1(3,-2),B1(4,1),C1(7,-1). (2)将三角形沿着x轴对折,求所得的三角形的顶点A2,B2,C2的坐标;沿着y轴对折,求对折后的顶点A4,B4,C4的坐标; 解:沿x轴对折:A2(1,-1),B2(2,-4),C2(5,-2). 沿y轴对折:A4(-1,1),B4(-2,4),C4(-5,2). (3)求三角形关于原点对称的顶点A3,B3,C3的坐标. 解:A3(-1,-1),B3(-2,-4),C3(-5,-2). 回顾直角坐标系中坐标的各种变换的规律,为直角坐标系中的位似变换做好衔接.
情境导入 位似是一种特殊的相似,位似图形对应点的坐标也存在一定的规律.研究这种规律,可以借助数加强对形的理解,同时学会用代数方法研究几何变换的思想.这节课咱们探究平面直角坐标系中的位似有哪些特征. 直接导入本节课的主题,激发学生学习兴趣和斗志.
合作探究 探究一:平面直角坐标系中的位似 观察一:如图,把矩形顶点的横、纵坐标都缩小一半,得到四边形A'B'C'D'. 问题1：它与原来的矩形有什么关系 问题2：它们是位似图形吗 如果是,位似中心是哪个点 相似比是多少 观察二: 如图,在平面直角坐标系中有两点A(1,2),B(2,1),把A,B的横、纵坐标分别扩大为原来的3倍得到A',B'. 问题3：线段AB和线段A'B'是位似图形吗 如果是,位似中心是哪个点 相似比是多少 归纳小结：如果多边形有一个顶点在坐标原点,有一条边在x轴上,那么将这个多边形的顶点坐标分别扩大(或缩小)相同的倍数,所得到的图形与原图形是位似图形,坐标原点是它们的位似中心,扩大(或缩小)的倍数等于它们的相似比. 1.借助矩形,计算出对应点的坐标,画出图形,通过推理让学生理解为什么相似,为什么位似,总结图形发生位似变换后的变化规律.
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合作探究 探究二:对应点坐标的变化规律 问题4：如图,以原点O为位似中心,相似比为2∶1,把线段AB放大得到A1B1,A2B2,填空并总结规律: (1)A(1,2),B(2,0); A1(　2　,　4　),B1(　4　,　0　); A2(　-2　,　-4　),B2(　-4　,　0　). (2)若P(x,y)是AB上一点,则其对应点的坐标为 P1(　2x　,　2y　),P2(　-2x　,　-2y　). 问题5：如图,以原点O为位似中心,相似比为1∶2,把线段AB缩小得到A1B1,A2B2,填空并总结规律: (1)A(　2　,　4　),B(　2　,　0　); A1(　1　,　2　),B1(　1　,　0　); A2(　-1　,　-2　),B2(　-1　,　0　). (2)若P(x,y)是AB上一点,则其对应点的坐标为 P1　x　,　y ,P2　-x　,　-x . 归纳小结：在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,变换后与变换前图形的相似比为k,那么对应点的坐标之比等于k(位似图形在原点同侧)或-k(位似图形在原点异侧). 典例分析: 【例】 如图,四边形OABC的顶点坐标分别为(0,0),(2,0),(4,4),(-2,2). (1)如果四边形OA'B'C'与四边形OABC位似,位似中心是原点,它的面积等于四边形OABC面积的倍,分别写出点A',B',C'的坐标. (2)画出四边形OA'B'C'. 解:(1)∵四边形OA'B'C'与四边形OABC的面积比为, ∴它们的相似比为. 将点A,B,C的坐标分别扩大到原来的或-,得到A'(3,0),B'(6,6),C'(-3,3)或A'(-3,0),B'(-6,-6),C'(3,-3). (2)所画四边形如图. 拓展： 如果横、纵坐标都乘同一个数k(k≠0),所得图形与原图形位似,位似中心是原点,它们的相似比为|k|,当|k|>1时,所得的图形比原图形大,当|k|<1时,所得图形比原图形小. 2.问题4和5,通过写出变换后的坐标,能够非常直观地看出对应点的变化规律. 3.及时进行归纳小结,便于对图形和坐标的变换有更加清晰的认识. 4.本例题是基础题型,加强学生对变换后的图形和坐标规律的掌握.
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随堂检测 1.已知△ABC三个顶点的坐标分别为(1,2),(-2,3),(-1,0),把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍,得到点A',B',C',下列说法正确的是(　B　 ) A.△A'B'C'与△ABC是位似图形,位似中心是点(1,0) B.△A'B'C'与△ABC是位似图形,位似中心是点(0,0) C.△A'B'C'与△ABC是相似形,但不是位似图形 D.△A'B'C'与△ABC不是相似形 2.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,OC在y轴上,如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的,那么点B'的坐标是　(-2,3)或(2,-3)　. 第2题属于易错题,注意分情况讨论.
课堂小结 1.说一说平面直角坐标系中的位似. 2.对应点坐标的变化有怎样的规律 便于学生对本节课的知识进行及时整理和归纳,加深理解.
作业布置 请完成教材练习题P30T1-T2
板书设计
位似的坐标变化 1.平面直角坐标系中的位似 如果多边形有一个顶点在坐标原点,有一条边在x轴上,那么将这个多边形的顶点坐标分别扩大(或缩小)相同的倍数,所得到的图形与原图形是位似图形,坐标原点是它们的位似中心,扩大(或缩小)的倍数等于它们的相似比. 2.对应点坐标的变化规律 如果以原点O为位似中心,相似比为k画一个图形的位似图形,那么原图形上的点P(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为P1(kx,ky)或P2(-kx,-ky). 【例】
教学反思
本节课中,让学生自己动手画图,画出变化后的图形,通过坐标变换,观察、归纳、交流,在探讨的过程中体验从特殊到一般的认知规律,从而得出结论.在归纳时应强调“点A(x,y)的对应点应为(kx,ky)或(-kx,-ky)”,这样操作性很强,便于学生迅速作出反应,实用性强.