2.2　30°,45°,60°角的三角比 教案 （表格式） 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

课题 2.2　30°,45°,60°角的三角比 课时 1课时 授课人
教学目标 1.经历探索30°,45°,60°角的三角比的过程,知道求出这些特殊角的三角比的值的方法,熟记这些特殊角的三角比的值. 2.能根据30°,45°,60°角的一个三角比的值,直接求得相应的锐角. 3.会计算含有特殊角三角比的式子的值.
教学 重难点 教学重点:利用三角函数的定义求30°,45°,60°角的三角函数值,并能够进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算. 教学难点:利用三角函数的定义推导出30°,45°,60°角的三角函数值;能够利用30°,45°,60°角的三角比的值熟练地进行运算.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 如图,在Rt△ABC中,已知cos A=,那么sin A=;tan A=;sin B=;cos B=;tan B=. 回顾上节知识,为探究新知打下基础.
情境导入 为了测量学校门前一棵大树的高度,可以用第一章所学的相似的知识设计方案求树高,但这次准备了如下测量工具: ①含45°或30°和60°角的三角尺;②皮尺. 设计方案如下:如图,当我们移动到视线与树顶C和三角板的斜边在一条直线上时,量一下我们到树的距离BE(即得到AD的长)和眼睛到地面的距离AB,就可以求树高.根据上述条件你能否求出大树的高度 分析:在Rt△ACD中,∠ADC=90°,tan∠CAD=, 所以CD=AD·tan∠CAD, 所以树高CE=CD+DE=AD·tan∠CAD+DE. AD和DE可以通过测量得到. 若知道tan∠CAD(tan 45°或tan 30°或tan 60°)的值就可以求出大树的高度. 怎么求出30°,45°,60°角的三个三角比的值呢 在学习第一章时,用相似的知识可以解决平时很难测量的物体的高度,设疑去探究30°,45°,60°角的三角比的值,激发学生研究的兴趣和探究的激情.
合作探究 探究一:45°角的三角比的值 1.观察一副三角尺,其中有几个锐角 它们分别等于多少度 都有两个锐角,分别是45°,45°和30°,60°. 2.sin 45°,cos 45°,tan 45°的值分别是什么呢 作Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=45°,如图. 分析:设BC=a=1,那么AC=b=1. 由勾股定理,得 c===, ∴sin 45°===; cos 45°===; tan 45°===1.
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合作探究 探究二:30°角的三角比的值 sin 30°,cos 30°,tan 30°的值分别是多少 取两个含30°角的大小相等的三角尺,按如图的方式拼在一起,得到的△ABC是怎样的三角形 为什么 分析:∵∠A=∠B=60°, ∴△ABC是等边三角形,且CD是AB边上的高,AD=BD. 在Rt△ADC中,∠ADC=90°,∠ACD=30°. 设AC=1,那么AD=AB=,CD===. ∴sin 30°==÷1=; cos 30°==÷1=; tan 30°==÷=×=. 探究三:60°角的三角比的值 你会求出60°角的正弦、余弦和正切的值吗 与同学交流. 分析:由探究二,知AD=, ∴sin 60°==. 观察思考: 把30°,45°,60°角的正弦、余弦和正切的值填入下表: 　　　角α 三角比　　　30°45°60°sin αcos αtan α
归纳小结：从填写的表格中,你发现了哪些规律 与同桌交流. (1)如果∠A+∠B=90°,那么sin A=cos B,tan A·tan B=1.利用这个规律便于记忆. (2)正弦、正切的值随着角的度数的增大而增大,余弦值随着度数的增大而减小. 典例分析: 【例1】 求下列各式的值: (1)sin 30°·cos 45°;　　　　　(2)tan 45°-cos 60°. 解:(1)sin 30°·cos 45°=×=; (2)tan 45°-cos 60°=1-=. 【例2】 在Rt△ABC中,已知sin A=,求锐角A的度数. 解:因为A是锐角,sin A=,sin 60°=, 所以∠A=60°. 归纳小结：如果已知某锐角三角比的值是特殊值,那么可以得出角的度数;如果sin A=sin B或cos A=cos B或tan A=tan B,那么A=B.利用些结论,知道一个锐角的三角比,可以反过来求这个锐角. 1.学生自己动手探究,运算推理,培养学生探索新知识的意识,在探索实践中证明,应理解着去记忆,忌死记硬背. 2.通过让学生熟记30°,45°,60°角的三角比的值,让学生自己去发现规律,不但可以让学生理解互为余角的三角比之间的关系,而且提高了学生发现问题、分析问题和解决问题的能力. 3.让学生初步体会用30°,45°,60°角的三角比的值进行计算的步骤及解题过程. 4.及时进行归纳小结,便于对三角比的定义有更加清晰的认识.
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合作探究 拓展： sin 15°和sin 75°的值是多少呢 你是怎样得到的 解:如图,作Rt△ABC,∠B=90°,∠ACB=30°,延长BC至D点,使CD=AC,连接AD,则∠D=15°. 设AB=1,则BC==,AC=2,BD=2+. ∴AD====+. ∴sin 15°===. 在Rt△ABD中,∠B=90°,∠D=15°, ∴∠BAD=75°, ∴sin 75°===.
随堂检测 1.若∠A为锐角,且cos A=,则(　D　 ) A.0°<∠A≤30° B.30°<∠A≤45° C.45°<∠A≤60° D.60°<∠A<90° 2.求下列各式的值: (1)sin 30°-cos 30°=　　. (2)sin 45°·cos 45°+tan 45°=　　. (3)(3tan 30°)2 011·tan 60°2 010=　　. 3.在锐角三角形ABC中,∠A=75°,sin C=,则sin B=　　. 4.已知α的余角是30°,则cos α=　　,tan α=　　. 通过练习加深对特殊角的三角比的值的记忆.
课堂小结 1.30°,45°,60°角的三角比的值是多少 2.如果∠A+∠B=90°,那么sin A　=　cos B,tan A·tan B=　1　. 3.如果sin A=sin B或cos A=cos B或tan A=tan B,那么A与B有怎样的关系 巩固记忆,加深理解.
作业布置 请完成教材练习题P44T1-T2
板书设计
30°,45°,60°角的三角比 完成下面的表格: 角α 三角比30°45°60°sin αcos αtan α
教学反思
30°,45°,60°角的三角比的值在实际中应用非常广泛,是中考热点,所以让学生熟悉它们的推理过程很有必要,45°角的三角比是通过设边来得到的,30°角的三角比是通过构造等边三角形来得到的,让学生体验构造的目的和作用,感受几何图形之间的关系,以及转化的思想.让学生牢记这些特殊角的三角比的值,不能混淆.