2.5 解直角三角形的应用 教案（表格式）2025-2026学年数学青岛版九年级上册

2.5　解直角三角形的应用
课题 2.5　解直角三角形的应用 课时 第1课时 授课人
教学目标 1.了解仰角、俯角的意义. 2.能应用解直角三角形的知识解决实际问题.
教学重难点 教学重点:利用解直角三角形的知识解决实际问题. 教学难点:把实际问题转化为数学问题.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 1.在△ABC中,∠C=90°,已知a和A,则下列各式中成立的是(　B　 ) A.c=asin A B.c= C.c=acos A D.c= 2.等腰三角形的一腰长为10 cm,底边长为10 cm,则其顶角为　120°　. 3.要想解直角三角形,必须知道哪些条件 (1)已知两边; (2)已知一边和一锐角. 复习解直角三角形的内容,为后面的应用做好准备.
情境导入 东方明珠塔是上海市的一个标志性建筑.为了测量东方明珠塔的高度,小亮和同学们在距离东方明珠塔200 m处的地面上,安放高1.20 m的测角仪支架,测得东方明珠塔顶的仰角为60°48'.根据测量的结果,小亮画了一张如下示意图,其中AB表示东方明珠塔,DC为测角仪的支架,DC=1.20 m,CB=200 m, ∠ADE=60°48'. 利用上述数据,你能求出AB的长吗 与同学交流. 由测量上海市标志性建筑导入,引出仰角这一名词,激发学生学习的兴趣.
合作探究 探究:仰角、俯角问题 定义:在实际测量中,从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角叫做仰角; 从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角叫做俯角. 为了测量仰角和俯角,如果没有专门的仪器,可以自制一个简易测倾器(如下图).简易测倾器由铅锤、度盘、支杆和螺栓组成,度盘可根据需要绕点O转动.使用时,将测倾器度盘的顶线AB对准被测目标,铅垂线与度盘上0°刻度线之间的夹角便是所要测定的仰角或俯角. 1.仰角在水平线上方,俯角在水平线下方. 2.测倾器比较容易制作,但在使用过程中要注意操作的规范性,使计算结果尽量接近实际值.
续表
合作探究 典例分析: 【例1】 (异侧型)如图,在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道A处的俯角为30°,B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米,点A,D,B在同一直线上,求A,B两点的距离.(结果保留根号) 解:由题可知,∠ACD=90°-30°=60°,CD=200米. 在Rt△ACD中,AD=CD·tan∠ACD=200×=200(米). 由题意可知∠B=45°,∴BD=CD=200米, ∴AB=AD+BD=(200+200)米. 【例2】 (同侧型)如图,要测量铁塔的高AB,在地面上选取一点C,在A,C两点间选取一点D,测得CD=14 m,在C,D两点处分别用测角仪测得铁塔顶端B的仰角为α=30°和β=45°.测角仪支架的高为1.2 m,求铁塔的高(精确到0.1 m). 解:由题意可知A1A=C1C=D1D=1.2 m,CD=C1D1=14 m,∠BC1A1=∠α=30°,∠BD1A1=∠β=45°. 在Rt△A1D1B中,∠BA1D1=90°,设A1B=x m, ∴A1D1=A1B=x m. 在Rt△A1BC1中,∠BA1C1=90°,A1C1=A1B=x m. ∵A1C1-A1D1=C1D1,∴x-x=14,解得x=7+7, 即A1B=(7+7)m. ∴AB=A1B+AA1=7+7+1.2=(8.2+7)(m). ∴铁塔的高为(7+8.2)m. 3.通过具体问题加深对两种类型的理解.
随堂检测 1.如图,在离铁塔BE 120 m的A处,用测角仪测量塔顶的仰角为30°,已知测角仪高AD=1.5 m,则塔高BE=　(40+1.5)　m. 2.甲、乙两幢楼,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角为45°,从甲楼顶部A测得乙楼底部D的俯角为30°;已知甲、乙两楼的距离BD=60 m,则甲楼的高为　20　m,乙楼的高为　(60+20)　m. 3.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为45°和35°,已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为100 m.请求出热气球到地面的距离.结果保留整数,参考数据:sin 35°≈,cos 35°≈,tan 35°≈
续表
随堂检测 解:如图,作AD⊥CB,交CB的延长线于点D,设AD=x m. 由题意知:∠ACD=35°,∠ABD=45°, 在Rt△ACD中,∠ACD=35°, ∴tan 35°=≈, ∴CD=x m. 在Rt△ABD中,∠ABD=45°, ∴BD=AD=x m. 由题意知CD-DB=100 m, 即x-x=100, 解得x≈233. 答:热气球到地面的距离约为233 m.
课堂小结 1.仰角、俯角是怎样定义的 2.仰角、俯角的应用一般分几种题型 3.结合下图说一说是怎样解决实际问题的. 及时总结,加深对新知识以及解决实际问题的认识.
作业布置 请完成教材练习题P57T1
板书设计
仰角、俯角问题 1.仰角、俯角的定义 2.异侧型:　　　　　　　　　　　　同侧型: 【例1】 【例2】
教学反思
本节课是通过生活和生产中的一些具体实例,让学生探索并运用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.任何图形的计算都可最终归结为求线段的长度或角的大小.而其中相当数量的问题,可以通过解直角三角形来解决,能否找到或构造所求线段或角所在的直角三角形,是处理这一类问题的重要途径.通过本节两个例题,让学生经历将实际问题转化为数学问题,然后又利用数学知识加以解决的过程.让学生在这一过程中进一步掌握解直角三角形的知识技能,积累活动经验,增强学生的应用意识.例1和例2是大多数直角三角形应用题的原型,是中考必考题,应让学生掌握.
课题 2.5　解直角三角形的应用 课时 第2课时 授课人
教学目标 1.明确方向角的概念,并能将之灵活运用于实际生活. 2.能熟练运用解直角三角形的有关知识来解决实际应用问题.
教学 重难点 教学重点:能熟练运用解直角三角形的有关知识来解决实际应用问题. 教学难点:能准确分析问题并将实际问题转化为数学问题.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 1.如图,在△ABC中,AD为BC边上的高. (1)已知∠B=45°,∠C=60°,AB=,则AC=　　,BC=　1+　,S△ABC=+　. (2)已知∠B=45°,∠C=60°,BC=6,则AB=　9-3　,AC=　6-6　. 2.如图,∠C=90°,∠A=30°,∠BDC=45°,已知AD=6,则AC=　3+9　. 在方向角和仰角、俯角的应用中,同侧型和异侧型直角三角形是常见的题型,让学生熟悉掌握解题思路.
情境导入 定义:指南或指北的方向与目标方向线构成的小于90°的角,叫做　方向角　. 如图:点A在点O的　北偏东30°　方向上,点B在点O的南偏西　45°　方向上或　西南　方向. 复习方向角的定义,如何表示方向角是应用的基础和前提.
合作探究 探究:方向角的应用 如图,海船以30海里/时的速度向正北方向航行,在A处看灯塔C在海船的北偏东30°方向上,半小时后航行到B处,发现此时灯塔C与海船的距离最短. 问题1：在图上标出B的位置. 过点C作CB⊥AB,垂足即为B. 问题2：求灯塔C到B处的距离. 解:由题意可知,在Rt△ABC中,AB=15海里,∠BAC=30°, 所以BC=AB·tan∠BAC=15·tan 30°=5(海里). 1.根据已知的方向角画出图形是解此题的根本.
续表
合作探究 典例分析: 【例1】 货轮在海面上沿南偏东60°的方向以每小时40海里的速度航行,为了确定船位,货轮在A处测得灯塔B在北偏东45°的方向上,如果货轮按原来的航向和航速继续航行半小时后,到达C处,观察灯塔B正好在C点的正北方向上. (1)在图中标出C点的位置; (2)货轮到达C处时,求货轮与灯塔的距离BC的长. 解:(1)过点B作直线垂直于x轴,垂足为G,交AD于点C. (2)由题意可知,∠DAE=60°,∠BAF=45°. ∵BC∥y轴,∴∠BCA=DAE=60°. 同理,∠ABC=45°. 已知,在Rt△ACG中,AC=40×=20, ∠CAG=90°-60°=30°, ∴CG=sin∠CAG·AC=10, AG=tan∠ACG·CG=10. 同理,在Rt△ABG中,BG=10. ∴BC=BG+CG=(10+10)海里. 【例2】 如图,甲船航行到A港口正西方的B处时,发现在B的北偏东60°方向,相距150海里处的C点有一可疑船只乙正沿CA方向行驶,C点在A港口的北偏东30°方向上,甲船向A港口发出指令,丙船立即从A港口沿AC方向驶出,在D处成功拦截可疑船只,此时D点与B点的距离为75海里. (1)求B点到直线CA的距离; (2)丙船从A到D航行了多少海里 (结果保留根号) 分析:(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H,由已知可得∠BCA=30°,可求得BH的长,即B点到直线CA的距离; (2)由BD,BH的长利用勾股定理可得DH的长,在Rt△ABH中,利用tan∠BAH=,求得AH的长,从而可得AD的长. 解:(1)过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H, ∵∠MBC=60°,∴∠CBA=30°. ∵∠NAD=30°,∴∠BAC=120°. ∴∠BCA=180°-∠BAC-∠CBA=30°. ∴在Rt△BHC中,BH=BC×sin∠BCA=150×=75(海里). 答:B点到直线CA的距离是75海里. (2)∵BD=75海里,BH=75海里, ∴DH==75(海里). ∵∠BAH=180°-∠BAC=60°, ∴在Rt△ABH中,tan∠BAH==, ∴AH=25海里,∴AD=DH-AH=(75-25)海里. 答:丙船从A到D航行了(75-25)海里. 2.按照题意画出图形,分离出特殊直角三角形,并解直角三角形.
续表
合作探究 归纳小结：航海问题是方向角中比较常见的问题,并且往往需要添加辅助线,构造出直角三角形.如果有两个或两个以上的直角三角形,可以寻找它们的公共边,让公共边作为桥梁来求解. 试一试: 如图所示,某船以每小时36海里的速度向正东航行,在点A测得某岛C在北偏东60°方向上,航行半小时后到点B,测得该岛在北偏东30°方向上,已知该岛周围16海里内有暗礁.试说明点B是否在暗礁区域内 若船继续向东航行,有无触礁危险 请说明理由. 分析:(1)求点B是否在暗礁区域内,其实就是求C,B的距离是否小于16,若大于,则不在暗礁区域内,反之则在.可通过构造直角三角形来求CB的长,过点C作CD⊥AB于D点,CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角边,解直角三角形即可求出CB的长; (2)本题实际上是问,C到AB的距离,即CD是否大于16,若大于,则无触礁危险,反之则有,利用(1)求出CD的值,只要进行比较即可. 解:(1)过点C作CD⊥AB于D点. 设BC为x海里,在Rt△BCD中∠CBD=60°, ∴BD=x海里,CD=x海里. 在Rt△ACD中,∠CAD=30°,tan∠CAD==. ∴=.∴x=18.∵18>16,∴B点不在暗礁区域内. (2)有触礁危险,理由如下:∵CD=x=9(海里),9<16, ∴若继续向东航行,船有触礁的危险. 3.本例题有一定的难度,可以开阔学生的思路.
随堂检测 1.如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在南偏西22°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在南偏西44°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置,则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据:sin 68°=0.927 2,sin 46°=0.719 3,sin 22°=0.374 6,sin 44°=0.694 7)(　B　 ) A.22.48海里 B.41.68海里 C.43.16海里 D.55.63海里 2.某天,有两艘船在某岛东西海岸线上的A,B两处巡逻,同时发现一艘可疑船只停在C处海域.如图,AB=60(+)海里,在B处测得C在北偏东45°的方向上,在A处测得C在北偏西30°的方向上,在海岸线AB上有一灯塔D,测得AD=120(-)海里. (1)分别求出A与C及B与C的距离AC,BC.(结果保留根号) (2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群,在A处的船只沿AC前往C处盘查,途中有无触礁的危险 (参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
续表
随堂检测 解:(1)如图,过点C作CE⊥AB于点E,可得∠CBD=45°,∠CAD=60°,设CE=x 海里,在Rt△CBE中,BE=CE=x 海里, 在Rt△CAE中,AE=x 海里, ∵AB=60(+)海里,∴x+x=60(+),解得x=60. ∴AC=x=120(海里),BC=x=120(海里). 答:A与C的距离为120海里,B与C的距离为120海里. (2)如图,过点D作DF⊥AC于点F, 在Rt△ADF中, ∵AD=120(-)海里,∠CAD=60°, ∴DF=AD·sin 60°=180-60≈106.8(海里)>100(海里). 故在A处的船只沿AC前往C处盘查,无触礁的危险.
课堂小结 在航海问题中,通常需要作辅助线来构造直角三角形,在直角三角形中求解.当出现多个直角三角形时,一般找公共边作为桥梁解决问题. 归纳便于学生对本节课的知识进行及时整理,让学生的思路更清晰,有助于加深理解.
作业布置 请完成教材练习题P57T2
板书设计
方向角问题 方向角 【例2】
教学反思
上一节课学习了仰角、俯角的应用,方向角的应用跟其题型相似,所以以学生自主探索、合作交流为主,让学生经历数学知识的形成与应用过程,加深对所学知识的理解,从而突破重难点.整节课是观察、实践验证、巩固应用的过程,充分发挥了学生的主观能动性.
课题 2.5　解直角三角形的应用 课时 第3课时 授课人
教学目标 1.理解坡度的概念. 2.能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题.
教学 重难点 教学重点:解决实际问题. 教学难点:把实际问题转化为数学问题.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 如图:(1)tan A=　　,sin A=　　, cos A=　　. (2)若AC=60,则BC=　20　. 复习特殊角的三角比和边角关系,为学习坡度做好准备.
情境导入 如图,小亮沿山坡向上走了600米到达A处,这时他与地面的垂直高度是　300　米,走过的水平距离是　300　米. 理解垂直距离和水平距离的求法,为学习坡度和坡角建立衔接.
合作探究 探究:坡度问题 定义:建筑学中把斜坡起止点A,B的高度差h与它们的水平距离l的比叫做坡度(或坡比),通常用字母i表示,i=h∶l=. 表示坡度时,一般把比的前项取作1,如i=1∶5. 把坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 如果把如图斜坡AB与水平线AC的夹角记作α,那么 i==tan α. 这就是说,坡度等于锐角α的正切. 1.在实际生活中,斜坡的倾斜程度跟坡度有什么关系 坡角越大,坡度越大,坡面越陡. 2.情境导入中小亮所走的斜坡的坡度是多少 i=tan C=tan 30°==1∶或i===1∶. 典例分析: 【例1】一名滑雪运动员从坡度为1∶2的山坡上滑下,如果这名运动员滑行的距离是150米,那么他下滑的高度是多少 (结果保留根号) 分析:如图,假设从A点到B点的距离是150米,过点A作AC⊥BC,垂足为C.知道坡度相当于知道了AC∶BC的值,代入即可求值. 1.结合图形,理解坡度是哪两条边的比,是哪个角的正切.
续表
合作探究 解:过点A作AC⊥BC,垂足为C. 由题意可知=,设AC=x,则BC=2x. 在Rt△ABC中,AB=150,AB2=AC2+BC2, ∴1502=x2+(2x)2,解得x=30, ∴下滑的高度是30米. 【例2】某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝.大坝的横断面ABCD是梯形(如图),坝顶宽BC=6 m,坝高25 m,迎水坡AB的坡度i=1∶3,背水坡CD的坡度i=1∶2.5. (1)求斜坡AB和CD的长(精确到0.01 m); (2)求拦水大坝的底面AD的宽. 分析:梯形中常见的辅助线是作高,通过作高可以把梯形分割成直角三角形,转化成解直角三角形的问题. 解:(1)作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E,F. 在Rt△ABE中,∠AEB=90°,BE=25 m. 由tan A==,得AE=3BE=3×25=75(m), ∴AB==≈79.06(m). 在Rt△CDF中,∠CFD=90°,CF=25 m. 由tan D==,得 DF=2.5CF=2.5×25=62.5(m), ∴CD==≈67.31(m). (2)AD=AE+EF+FD=75+6+62.5=143.5(m). ∴斜坡AB的长约为79.06 m,CD的长约为67.31 m,大坝的底面宽AD为143.5 m. 你还有其他解法吗 分析:作CG∥AB,交AD于点G,则四边形ABCG是平行四边形,CG=AB,作CF⊥AD,垂足为F,解Rt△CDF和Rt△CFG,亦可得到答案. 归纳小结：解有关坡度或坡角的问题时,大部分需要添加辅助线,构造直角三角形,利用解直角三角形解决实际问题时,要弄清楚题意,特别是里面的特殊名词的意义,如坡度(坡比)、坡角等. 2.让学生体会辅助线的作法,将求斜坡AB和CD的长的问题转化为解直角三角形的问题. 3.体会作不同的辅助线会有不同的解题方法. 4.及时进行归纳小结,使思路更清晰.
随堂检测 1.斜坡的坡度是1∶,则坡角α=　30　度. 2.斜坡的坡角是45°,则坡比是　1∶1　. 3.如图,在坡度为1∶3的斜坡种树,两树间的水平距离即株距AC为12 m,则两树间的坡面距离AB=　4　m.
续表
随堂检测 4.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,已知上底长CB=5 m,迎水面坡度为1∶,背水面坡度为1∶1,坝高4 m, (1)求坡底宽AD的长; (2)求迎水坡CD的长; (3)求坡度α,β. 分析:由两个坡度可求出α和β,又CE=BF为已知,则可求出DE和AF以及CD,根据矩形性质BC=EF,即可求出下底. 解:(1)过点C作CE⊥AD于点E,过点B作BF⊥AD于点F, 则CE=BF=4 m, tan α==,∴DE=4 m. 同理可得AF=4 m,∴AD=4+5+4=(9+4)m. (2)由CE=4 m,DE=4 m, 可得DC==8 m, 即迎水坡CD的长为8 m. (3)由tan α==,且α为锐角,知α=30°. 由tan β==1,且β为锐角,知β=45°.
课堂小结 1.坡度、坡角是怎样定义的 2.坡度、坡角有怎样的关系 3.通常怎样解有关坡度、坡角的问题 总结本节课所学的内容,记住坡度、坡角的定义和它们之间的关系,会解有关坡度的问题.
作业布置 请完成教材练习题P60T1
板书设计
坡度、坡角问题 坡度与坡角 i==tan α. 【例2】
教学反思
本节课要让学生结合图形,弄清坡度、坡角的概念,以及坡度和坡角的关系.在讲解例2时,解题的关键是作辅助线BE⊥AD,CF⊥AD,构造Rt△ABE和Rt△CDF,应让学生体会通过添加辅助线将求斜坡AB和CD的长的问题转化为解直角三角形问题.