3.2　确定圆的条件 教案 （表格式） 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

3.2　确定圆的条件
课题 3.2　确定圆的条件 课时 1课时 授课人
教学目标 1.探索并理解确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定一个圆;会用尺规过不在同一条直线上的三点作圆. 2.了解三角形的外接圆,三角形的外心,圆的内接三角形的概念. 3.了解用反证法证明命题的一般步骤,发展学生的逻辑思维能力.
教学 重难点 教学重点:不在同一条直线上的三个点确定一个圆,三角形的外接圆,三角形的外心. 教学难点:反证法.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 如图,AB,A'B'是☉O的两条弦. (1)如果AB=A'B',那么　∠AOB=∠A'OB'　,　=　. (2)如果=,那么　AB=A'B'　,　∠AOB=∠A'OB'　. (3)如果∠AOB=∠A'OB',那么　=　,　AB=A'B'　. 巩固前一节课学习的内容.
情境导入 问题1：已知一条直线垂直平分一条弦,这条直线过圆心吗 垂直平分弦的直线必过圆心. 问题2：线段的垂直平分线的性质是什么 它的逆定理是什么 性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 逆定理:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 问题3：经过一个点能画几条直线 两个点呢 经过一个点能画无数条直线,过两个点有且只有一条直线. 那么,经过几个点能确定一个圆呢 下面一起来探究. 问题1和问题2都是为如何确定圆做准备.
合作探究 探究一:确定圆的条件 分析:要想画一个圆,首先要找到圆的　圆心　,然后确定圆的　半径　. 问题1：已知点A,经过点A作圆.你能作出多少个圆 这些圆的圆心和半径能确定吗 解:经过一点作圆,因为圆心和半径都不确定,所以可作无数个圆(如图). 问题1图 问题2：已知两点A,B,经过这两点作圆.你能作出多少个圆 这些圆的圆心的位置有什么特点 这些圆的半径能确定吗 解:经过两点作圆,也可作无数个圆,这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上,半径不确定,所以经过两点能作无数个圆(如图). 问题2图
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合作探究 问题3： 已知A,B,C是不在同一条直线上的三个点,经过这三个点能作圆吗 如果能,怎样作出过这三点的圆 分析:到点A,B,C距离相等的点既在线段AB的垂直平分线上,也在线段BC的垂直平分线上,因此这个点是这两条垂直平分线的交点. 已知:如图,A,B,C是不在同一条直线上的三个点. 求作:☉O,使A,B,C三点都在☉O上. 作法:(1)连接AB,BC; (2)分别作线段AB与BC的垂直平分线l1,l2,l1与l2相交于点O; (3)以点O为圆心,以OA为半径作☉O. ☉O就是所求作的经过A,B,C三点的圆. ∵A,B,C三点不在同一条直线上, ∴l1与l2有且只有一个交点O, ∴圆心O的位置唯一确定. 由于点O到A,B,C三点的距离相等, ∴点A,B,C都在以O为圆心,OA为半径的圆上, ∴过A,B,C三个点能作且只能作一个圆. 归纳小结：不在同一条直线上三个点确定一个圆. 定义: 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 如图,☉O是△ABC的外接圆,或者说△ABC内接于☉O,O是△ABC的外心. 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等.任何一个三角形都有且只有一个外心.圆有无数个内接三角形. 问题4：分别作一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,再作出每个三角形的外接圆.它们外心的位置与所在的三角形分别有怎样的关系 归纳小结：锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心是斜边的中点,钝角三角形的外心在三角形的外部. 典例分析: 【例1】 如图,是一块出土的残破的古代铜镜片.你能测出它的半径吗 解:如图,在镜片边缘任取三点A,B,C, 连接AB和BC,作线段AB和BC的垂直平分线l1,l2, 它们的交点即为铜镜所在圆的圆心, OA(或O点到铜镜边缘任意点的连线)的长就是这个古代铜镜片的半径. 也可以利用垂径定理的推论:垂直平分弦的线必过圆心,来解释圆心为什么这样确定. 及时进行归纳小结,便于对所学知识有更加清晰的认识. 本例属于基础性问题,有助于对刚学习的概念性知识加深理解,也可以体会到数学知识在实际生活中的应用.
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合作探究 探究二:反证法 提出与命题的结论相反的假设,推出矛盾,从而证明命题成立.这种证明的方法叫做反证法. 用反证法证明一个命题,一般有三个步骤: (1)否定结论——假设命题的结论不成立; (2)推出矛盾——从假设出发,根据已知条件,经过推理论证,得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等相矛盾的结果; (3)肯定结论——由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 典例分析: 【例2】 证明平行线的性质定理1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等. 已知:如图,直线AB∥CD,直线EF与AB,CD分别相交于点G,H. 求证:∠1=∠2. 证明:假设∠1≠∠2. 过点G作直线A'B',使∠EGB'=∠2.根据基本事实“两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行”,可得A'B'∥CD.这样,过点G就有两条直线AB与A'B'与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾. 这说明∠1≠∠2的假设是不对的,所以∠1=∠2. 【例3】 证明:平行于同一条直线的两条直线平行. 已知:如图,直线a∥c,b∥c. 求证:a∥b. 证明:假设直线a,b不平行,那么它们相交,设交点为P. 由已知a∥c,b∥c,这样过点P就有两条直线a,b与直线c平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.这说明a,b不平行的假设是不对的,所以a∥b. 归纳小结：运用反证法证明时,关键就是在假设结论不成立后,从这个假设出发,经过推理论证,得出与已知或已学过的基本事实、定理、概念等相矛盾的结论. 通过例题让学生进一步体会反证法的步骤.
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随堂检测 1.小明不慎把家里石英钟的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示.为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到店铺去的一块玻璃碎片应该是(　B　 ) A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 2.下列说法:①任意一个三角形都有且只有一个外接圆;②三角形的外心是各边垂直平分线的交点;③三角形的外心到各边的距离相等;④任意一个圆都有且只有一个内接三角形.其中正确的有(　B　 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,下面假设正确的是(　B　) A.假设三内角都不大于60° B.假设三内角都大于60° C.假设三内角至多有一个大于60° D.假设三内角至多有两个大于60° 4.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=6,BC=8,则Rt△ABC的外接圆的半径为　5　.
课堂小结 1.怎样的点能确定一个圆 2.三角形的外心是怎样定义的 三角形的外心有怎样的性质 3.不同形状的三角形的外心分别在三角形的哪个位置 4.用反证法证明一个命题的步骤是什么 便于学生梳理知识之间的内在联系,以达到融会贯通的效果.
作业布置 请完成教材习题P80T1-T4
板书设计
确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 2.三角形的外心:三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等.任何一个三角形都有且只有一个外心. 锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心是斜边的中点,钝角三角形的外心在三角形的外部. 3.反证法 【例1】 【例2】
教学反思
本节课在探究一中通过“过一个点,过两个点,过不在同一直线上的三个点作圆”的问题,引导学生探索确定圆的条件.对于命题“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”,一要注意它的条件:“不在同一条直线上的三个点”,二要注意“确定”的含义,能作并且只能作一个圆,即存在唯一性.三角形的外接圆、圆的内接三角形和外心等的定义,学生容易混淆,可让学生对照图形说它们之间的关系.反证法对学生来说是个难点,需要对已知条件、定义、基本事实、定理等非常熟悉.