3.3　圆周角 教案 （表格式） 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

3.3　圆周角
课题 3.3　圆周角 课时 第1课时 授课人
教学目标 1.理解圆周角的概念. 2.探索圆周角与它所对弧上的圆心角的关系,体会分类、转化、归纳的数学思想. 3.能运用圆周角定理及推论1解决有关问题.
教学重难点 教学重点:圆周角定理及推论1. 教学难点:圆周角定理的证明.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 1.圆心角的定义 顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 复习圆心角的定义与它所对的弧的度数的关系,为学习圆周角提供准备.
情境导入 问题1： 如图,点A,B,C是☉O上的三个点.以A为端点作射线AB,AC,得到了一个怎样的角 问题2：∠BAC有什么特征 ∠BAC的顶点在圆上,并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦,像这样的角叫做圆周角. 问题3：圆周角与圆心角有什么不同 顶点的位置不同,角的两边是圆的不同元素.圆心角的顶点在圆心,角的两边在圆内的部分都是圆的半径. 问题4：观察下图中的各角,其中哪些是圆周角 哪些是圆心角 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 1.体验圆周角是如何画出的. 2.通过比较,说出圆周角与圆心角的区别.对于初学者,圆周角和圆心角是两个容易混淆的概念. 3.问题4通过观察图形,根据定义加以判断.
合作探究 探究:圆周角定理及推论1 任意画一个☉O,在圆上任意取三个点A,B,C,连接AB,AC. 问题1：圆心O与∠BAC有几种可能的位置关系 解:有三种位置关系,如图. ① ② ③ 1.圆心O与圆周角的位置关系有三种.
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合作探究 问题2：在上面图①中,AB是☉O的直径,连接OC,你发现∠BOC与∠BAC有什么位置关系和数量关系 解:(1)当圆心O在∠BAC的一条边上时, 在△OAC中,∵OA=OC,∴∠CAO=∠OCA. ∵∠BOC=∠CAO+∠OCA,∴∠BOC=2∠CAO, ∴∠BAC=∠BOC. 问题3：能将问题2中的结论推广到图②③吗 由此你猜想圆周角与它所对弧上的圆心角有怎样的数量关系 怎样证明你的结论 解:(2)当圆心O在∠BAC的内部时,作直径AD,连接OB,OC. 由(1)的结论,得∠BAD=∠BOD,∠DAC=∠DOC. ∴∠BAD+∠DAC=∠BOD+∠DOC. ∵∠BAD+∠DAC=∠BAC, ∠BOD+∠DOC=(∠BOD+∠DOC)=∠BOC, ∴∠BAC=∠BOC. (3)当圆心O在∠BAC的外部时,作直径AD,连接OB,OC. 由(1)可得∠CAD=∠COD,∠BAD==∠BOD, ∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=∠BOD-∠COD=(∠BOD-∠COD)=∠BOC. 归纳小结：圆周角定理　圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半. 思考:圆周角的度数与它所对的弧的度数有什么关系 因为圆心角与它所对弧的度数相等,因而由圆周角定理可以直接得到 推论1　圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 典例分析: 【例】 在☉O中,∠AOB=110°,点C在上.求∠ACB的度数. 解:点C在的位置有两种情况: (1)当点C在劣弧上时(如图①), ∵∠AOB=110°,∴的度数=110°, ∴的度数=360°-110°=250°, ∴∠ACB=×250°=125°. (2)当点C在优弧 上时(如图②), ∵∠AOB=110°,∴∠ACB=∠AOB=×110°=55°. ① ② 2.问题3是转化为解决问题2的方法,是转化、分类、归纳思想应用的范例.注意让学生规范步骤. 3.推论1揭示了圆周角与它所对的弧的度数之间的数量关系. 4.例题是推论1的直接应用,引导学生分两种情况来计算,感悟分类的数学思想.
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合作探究 拓展：根据圆心角、弧、弦之间的关系定理及圆周角定理可以得出什么结论 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦相等,相等弦上的弦心距也相等. 5.拓展内容体现圆的角、弦、弧的关系,综合性较强.
随堂检测 1.半径为R的圆中,有一弦分圆周成1∶2两部分,则弦所对的圆周角的度数是　60°或120°　. 2.如图,圆心角∠AOB=100°,则∠ACB=　130°　. 3.如图,在☉O中,弦BC=1,点A是圆上一点,且∠BAC=30°,则☉O的半径是　1　. 4.如图,点A,B,C,D在☉O上,OB⊥AC,若∠BOC=56°,求∠ADB的度数. 解:∵半径OB⊥AC,∴=, ∴∠ADB=∠BOC. ∵∠BOC=56°, ∴∠ADB=×56°=28°.
课堂小结 1.圆周角定理的内容是什么 是如何证明的 2.圆周角定理的推论1的内容是什么 便于学生梳理知识之间的内在联系,达到融会贯通的效果.
作业布置 请完成教材练习题P84T1-T2
板书设计
圆周角定理及推论1 1.圆周角定理:圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半. 2.推论1:圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 【例1】
教学反思
本节课先引导学生发现圆周角和圆心角位置关系有三种,然后分类讨论圆周角定理的证明过程,其中圆心在圆周角一边上时,是一种特殊情况,是探索的基础,其他两种情况需要添加辅助线转化成特殊情况,从而归纳出一般结论,这是转化、分类、归纳思想应用的一个范例.推论1揭示了圆周角的度数与它所对的弧的度数的数量关系,要注意是数量关系,不能说成是圆周角等于它所对弧的一半.
课题 3.3　圆周角 课时 第2课时 授课人
教学目标 1.体会圆周角定理的推论2、3、4的探索、发现过程. 2.能用圆周角定理及推论解决有关问题.
教学重难点 教学重点:圆周角定理的推论2、3、4的应用. 教学难点:圆内接四边形的有关概念及性质.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 1.圆周角定理的内容是什么 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半. 2.圆周角定理推论1的内容是什么 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 复习上节课内容,做好新旧知识的衔接.
情境导入 (1)如图,在☉O中,劣弧AB所对的圆心角有多少个 劣弧所对的圆心角只有一个,是∠AOB. (2)它所对的圆周角有多少个 它们的大小有什么关系呢 有无数个. ∵∠C1,∠C2,∠C3的度数都等于度数的一半, ∴∠C1=∠C2=∠C3. 由此可得:同弧上的圆周角相等. 1.让学生画图体验同弧所对的圆周角有无数个. 2.让学生独立思考(2),写出步骤.
合作探究 探究一:圆周角定理的推论2 如图,如果=,∠C和∠F相等吗 反之,也成立吗 解:(1)∵=,∠C的度数等于度数的一半,∠F的度数等于度数的一半,∴∠C=∠F. 由此可得:等弧上的圆周角相等. 解:(2)∵∠C=∠F,∠C的度数等于度数的一半,∠F的度数等于度数的一半, ∴=. 由此可得:相等的圆周角所对的弧相等. 1.是情境导入的延续,探究等弧是否也有同样的结论.
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合作探究 归纳小结： 推论2　同弧或等弧上的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 几何语言:∵=,∴∠C1=∠C2=∠C3. 或∵=,∴∠C=∠F. 注意: 由相等的圆周角得到弧相等时,必须在同圆或等圆中才成立. 探究二:圆周角定理的推论3 (1)如图,在☉O中,AB是圆的直径,C是圆上异于A,B的一点.∠ACB的度数是多少 为什么 解:∵直径AB分☉O为两个半圆,半圆的度数是180°, ∴∠ACB=×180°=90°. 由此可得:直径所对的圆周角是直角. (2)∠ACB是☉O的圆周角,∠ACB=90°,那么它所对的弦经过圆心吗 为什么 解:∵∠ACB=90°, ∴它所对的弧的度数是180°. ∴AB所对的弦经过圆心,即AB为直径. 由此可得:90°的圆周角所对的弦是直径. 归纳小结： 推论3　直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径. 几何语言:∵AB是直径,∴∠C=90°. 逆定理:∵∠C=90°,∴AB是直径. 典例分析: 【例1】 如图,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径,点O为圆心.△ADC与△ABE相似吗 说明理由. 解:△ADC∽△ABE.理由如下: ∵AE为☉O的直径,∴∠ABE=90°. ∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠ADC=∠ABE. ∵∠ACD=∠AEB,∴△ADC∽△ABE. 归纳小结： 同弧或等弧上的圆周角相等是在圆内判断角的相等关系的重要依据. 已知直径通常作直径所对的圆周角,从而得到直角三角形,反之有直角作直径. 2.之所以未加“在同圆或等圆中”,是因为同弧或等弧的概念中已经蕴含着这个条件,但由相等的圆周角推弧相等时必须在“同圆或等圆中”才成立. 3.应用推论3作辅助线的方法:见直径,作直角;见90°的圆周角,作直径.
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合作探究 探究三:圆周角定理的推论4 如图,像这样,所有顶点都在同一个圆上的多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.在图中,四边形ABCD是☉O的内接四边形,☉O是四边形ABCD的外接圆. 问题:∠A与∠C具有怎样的数量关系 ∠B与∠D也具有这样的数量关系吗 解:∵与的度数之和为360°, 由圆周角定理可知,∠A+∠C=180°. 同理,∠B+∠D=180°. 归纳小结： 推论4　圆内接四边形的对角互补. 典例分析: 【例2】 如图,四边形ABCD内接于☉O,已知∠BOD=140°,求∠C的度数. 解:∵四边形ABCD内接于☉O, ∴∠A+∠C=180°. ∵∠BOD=140°, ∴∠A=∠BOD=×140°=70°, ∴∠C=180°-∠A=180°-70°=110°. 【例3】 如图,△ABC内接于☉O,D,F分别是与上的点,=.连接AF并延长交CB的延长线于点E,连接AD,CD. 求证:∠CAD=∠E. 证明:∵=,∴∠BAE=∠ACD. ∵四边形ABCD是☉O的内接四边形, ∴∠ABC+∠D=180°. ∵∠ABC+∠ABE=180°, ∴∠ABE=∠D,∴△CDA∽△ABE, ∴∠CAD=∠E. 拓展：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. 如图,四边形ABCD内接于☉O,求证:∠CBE=∠ADC. 证明:∵四边形ABCD内接于☉O, ∴∠ADC+∠ABC=180°. 又∵∠CBE+∠ABC=180°, ∴∠CBE=∠ADC. 4.例2是必考题型,要理解掌握.例3是易考题,步骤要规范,注意掌握方法. 5.拓展的内容不要求记忆,但要让学生理解并熟悉证明的过程.
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随堂检测 1.如图,△ABC内接于☉O,AC是☉O的直径,∠ACB=50°,点D是☉O上一点,则∠D等于(　B　 ) A.50° B.40° C.30° D.20° 2.若四边形ABCD是☉O的内接四边形,则∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是(　C　 ) A.2∶3∶4∶5 B.1∶2∶3∶4 C.2∶5∶4∶1 D.4∶3∶3∶2 3.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为(　C　 ) A.50° B.60° C.80° D.85°
课堂小结 1.推论2的内容是什么 相等的圆周角所对的弧相等的前提是什么 2.推论3的内容是什么 3.推论4是关于什么的论述 圆内接四边形的外角与它的内对角有怎样的关系 不要死记硬背,让学生看图理解记忆这三个推论.
作业布置 请完成教材练习题P87T1-T2,P89T1-T2
板书设计
圆周角定理的推论2,3,4 推论2:同弧或等弧上的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 推论3:直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径. 推论4:圆内接四边形的对角互补. 推论4的拓展：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
教学反思
本节课学习了3个推论,注意推论2之所以未加“在同圆或等圆中”,是因为同弧或等弧的概念中已经蕴含着这个条件;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等,是把探求弧相等转化为探求角相等的重要依据.推论3,也是两个互逆的真命题,其中直径所对的圆周角可以看成是直角三角形斜边中线的性质定理的逆命题,是圆内判定垂直的一个途径.多边形的外接圆的概念实际上是圆内接三角形、三角形的外接圆概念的拓展,逐渐过渡到推论4,推理4的拓展内容不要求学生记忆,理解掌握如何去证明即可.