3.6　弧长及扇形面积的计算 教案 （表格式） 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

3.6　弧长及扇形面积的计算
课题 3.6　弧长及扇形面积的计算 课时 1课时 授课人
教学目标 1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程. 2.掌握弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题.
教学 重难点 教学重点:利用弧长及扇形面积公式解决问题. 教学难点:探索弧长及扇形面积计算公式.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 1.圆的周长公式是什么 C=πd=2πr(d是直径,r是半径). 2.圆的面积公式是什么 S=πr2(r是半径). 3.什么是扇形 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 复习圆的周长公式,面积公式,扇形的定义,为学习本节内容做好准备.
情境导入 弧是圆周的一部分,扇形是圆的一部分,那么弧长与扇形面积应怎样计算 它们与圆的周长、面积之间有怎样的关系呢 以问题形式导入新课,激起学生学习的兴趣.
合作探究 探究一:弧长的计算公式 在半径为r的☉O中. (1)360°的圆心角所对的弧长是圆周长,为　　　　. (2)1°的圆心角所对的弧长为　　　　. (3)2°的圆心角所对的弧长为　　　　. (4)3°的圆心角所对的弧长为　　　　. (5)n°的圆心角所对的弧长为　　　　. 归纳小结： 弧长计算公式 在半径为r的圆中,n°的圆心角所对的弧长是l =.n代表n°的圆心角,是1°的倍数,不带单位. 典例分析: 【例1】 如图所示为一段弯形管道,其中心线是一段圆弧.已知的圆心为O,半径OA=60 cm,∠AOB=108°,求这段弯管的长度(精确到0.1 cm). 解:由题图可知,n=108°,r=60 cm, 代入弧长公式,得 l==≈113.1(cm). 所以,这段弯管的长度约为113.1 cm. 探究二:扇形面积的计算公式 问题1：在半径为r的圆中. (1)360°的圆心角所对的是整个圆,圆的面积为　　　　. (2)1°的圆心角所对的扇形面积为　　　　. 1.由360°的圆心角所对的弧,到1°圆心角所对的弧,逐步引导学生推导弧长公式,便于理解、掌握. 2.例1是关于弧长的实际问题,是弧长公式的直接应用,注意精确度的要求.
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合作探究 (3)2°的圆心角所对的扇形面积为　　　　. (4)3°的圆心角所对的扇形面积为　　　　. (5)n°的圆心角所对的扇形面积为　　　　. 扇形面积公式: 在半径为r的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积是S扇形=. 问题2： 如果已知☉O的半径r和扇形的弧长l,怎样用l与r表示这段弧所在的扇形的面积呢 因为扇形的弧长l=,所以=r,于是S扇形=lr. 归纳小结： 第一个扇形面积公式是扇形圆心角度数,扇形半径以及扇形面积的关系; 第二个揭示的是扇形面积与扇形半径,弧长之间的数量关系,为了便于记忆公式,可把扇形看作三角形,把l看作底,r看作高,把扇形面积公式当作三角形面积来记忆. 在做题时,根据已知条件选择合适的公式求解. 典例分析: 【例2】 如图,一把扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB与AC的夹角为120°,AB的长为30 cm,竹条AB上贴纸部分BD的宽为20 cm.求扇子的一面上贴纸部分的面积(精确到0.1 cm2). 解:由题图可知,扇形的圆心为A,圆心角n°=120°,AB=30 cm,BD=20 cm,图上贴纸部分的面积等于两个扇形面积的差.由扇形的面积公式,贴纸部分的面积为 S扇形BAC-S扇形DAE=- =- =π(302-102) ≈837.8(cm2). 所以,扇子的一面上贴纸部分的面积约为837.8 cm2. 归纳小结：例1,要审题明确题意,理解所求的弯管的长度就是中心线弧的长度,同时要注意题目精确度的要求.例2,通过分析可得,贴纸部分的面积是两个扇形面积的差,让学生自行完成解题过程. 拓展： 已知扇形AOB的半径为r,∠AOB=90°,以弦AB为直径作半圆,得到下图.你会求图中“新月形”(阴影部分)的面积吗 试一试. 解:S新月=S半圆+SRt△OAB-S扇形AOB=r2. 3.扇形面积的两个公式,结合已知合理选择. 4.拓展题是求不规则图形的面积,需要综合运用三角形、圆、扇形等多种面积公式解决.注重培养学生综合运用数学知识,分析、解决实际问题的能力.
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随堂检测 1.如图,左边的正方形与右边的扇形面积相等,扇形的半径和正方形的边长都是2 cm,则此扇形的弧长为(　A　 ) A.4 cm B.4π cm C.8 cm D.(8-π)cm 2.如图,四边形ABCD是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形BEF的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是(　A　 ) A.- B.- C.π- D.π- 3.在半径为5 cm的圆中,30°的圆周角所对的弧长为　π　. 4.将以边长为1的等边三角形木板沿水平线翻滚(如图),那么点B从开始至结束所经过的路径的长度为　π　. 5.如图,E是半径为2 cm的圆O的直径CD延长线上的一点,AB∥CD且AB=OD,则阴影部分的面积是　　.
课堂小结 1.弧长的计算公式是怎样的 2.计算扇形的面积有几个公式 分别是什么 应用条件怎样 3.怎样求不规则图形的面积
作业布置 请完成教材练习题P107T1-T2
板书设计
弧长及扇形面积的计算 1.弧长公式:l=. 2.扇形面积公式:S扇形=;S扇形=lr.
教学反思
本节课是在学过的圆周长和圆面积公式的基础上推导弧长和扇形面积公式的,弧长和扇形面积公式很相似,学生易混淆,导致计算出现错误,所以让学生推导公式有助于理解记忆公式.不规则图形的面积的求法对学生来说是个难点,一般用等积法、割补法或拼凑法解决.