3.7　正多边形与圆 教案（表格式） 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

3.7　正多边形与圆
课题 3.7　正多边形与圆 课时 1课时 授课人
教学目标 1.了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念,了解正多边形与圆的关系. 2.探索正多边形的性质,能利用正多边形的性质进行有关的计算. 3.了解画正多边形的方法,会用基本作图作圆的内接正方形和正六边形.
教学重难点 教学重点:正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念和正多边形的性质. 教学难点:能利用正多边形的性质进行有关的计算,画正多边形的方法.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 1.三角形外心的性质 内心的性质 三角形的外心是三边垂直平分线的交点,到三个顶点的距离相等;内心是三条角平分线的交点,到三边的距离相等. 2.n边形的内角和是多少 外角和呢 内角和是(n-2)·180°;外角和恒等于360°. 3.你还记得什么叫正多边形吗 说出你常见的几种正多边形. 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如等边三角形、正方形、正六边形等. 复习外心和内心的性质和内角和,为学习后面概念打好基础.
情境导入 下面图形都是轴对称图形吗 如果是,分别画出每个图形所有的对称轴,并说出这些对称轴是怎样的直线. 由常见的等边三角形、正方形、正五边形、正六边形引入新课,便于学生理解.
合作探究 探究一:正多边形的对称性和有关概念 一、正多边形的轴对称性 (1)正三角形有几条对称轴 正四边形、正五边形、正六边形呢 由此你能猜测正n边形有几条对称轴吗 各条对称轴有怎样的特征 由此猜测正多边形有什么性质 (2)利用尺规分别作出正方形、正六边形的外接圆和内切圆,它们的外接圆与内切圆有什么特征 猜测正多边形都有外接圆和内切圆吗 如果有,它们的外接圆与内切圆有什么特征 归纳小结：(1)正多边形都是轴对称图形,一个正n边形有n条对称轴. (2)正多边形的各条对称轴相交于一点,这点到正多边形的各个顶点的距离相等,到各边的距离也相等. (3)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆,圆心是各对称轴的交点. 1.通过画图和观察得出正多边形的对称性,容易掌握.
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合作探究 二、定义 (1)正多边形的中心; (2)正多边形的半径; (3)正多边形的边心距; (4)正多边形的中心角. 三、圆的中心对称性 (1)正n边形的n条半径把正n边形分成了n个怎样的图形 相应的边心距把其中每一个图形又分成了两个怎样的图形 (2)如果正三角形的边长为a,那么它的外接圆的半径r和内切圆的半径d分别是多少 它们之间满足什么关系 一般地,如果正n边形的边长为an,半径为rn,边心距为dn,这三个量之间有什么关系 (3)以正n边形的中心O为旋转中心,将正n边形旋转,你能得到什么结论 (4)正n边形是中心对称图形吗 典例分析: 【例1】 一个正六边形花坛的半径为R,求花坛的边长a,周长p和面积S. 解:如图,ABCDEF为正六边形.连接OA,OB,作OG⊥AB,垂足为点G,则OA=OB=R,AB=a. 在等腰三角形AOB中, ∵∠GOB=∠AOB=×=30°, ∴a=2GB=2Rsin 30°=R,∴p=6R. ∵OG=Rcos 30°=R, ∴S=6S△AOB=6×R×R=R2. 归纳小结：通过作出正多边形的半径和边心距,可以把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题. 探究二:正多边形的画法 如图,A,B,C,D,E都是☉O上的点,且∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE. 思考下面的问题: (1)弦AB,BC,CD,DE的长相等吗 为什么 由相等的圆心角所对的弦相等可知AB=BC=CD=DE. (2)你能将圆周n等分吗 你能设计一种画正n边形的方法吗 与同学交流. 2.正多边形的这四个概念是重点,可让学生结合图形,说出正多边形的中心、中心角、半径、边心距. 3.正多边形的边长、半径、边心距构成直角三角形,利用勾股定理可求值. 4.本例题是基础性问题,可以对刚刚进行的概念性知识加深理解. 5.通过两个问题引导学生发现用量角器画正n边形的方法,这种方法适合于任意内接正多边形.
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合作探究 典例分析: 【例2】 用直尺和圆规作圆的内接正方形. 已知:☉O(如图). 求作:☉O的内接正方形ABCD. 作法:(1)过圆心O作☉O的任意一条直径AC. (2)过点O作AC的垂线,交☉O于B,D两点. (3)顺次连接点A,B,C,D,A(如图). 四边形ABCD就是所求作的☉O的内接正方形. 【例3】 用直尺和圆规作圆的内接正六边形. 已知:☉O如图. 求作:☉O的内接正六边形. 作法:(1)如图,在☉O上任取一点A,自点A起依次截取长度等于半径OA的弦,得到点B,C,D,E,F. (2)顺次连接点A,B,C,D,E,F,A. 六边形ABCDEF就是求作的☉O的内接正六边形. 归纳小结： 画正多边形有两种作法: 一是求出中心角,在圆中用量角器画出这个中心角,再用圆规在圆上依次截取等弧即可得正多边形. 二是用尺规作图,但只限于一些特殊的正多边形,如例2作正方形,在例2的基础上,再作中心角的角平分线,可以得到正八边形,正十六边形等;如例3的方法作正六边形,取不相邻的三个点可以作正三角形,作正六边形的中心角的平分线可以得到正十二边形,继续作角平分线可得正二十四边形等. 6.总结正多边形的两种作法,对比理解,有助于知识的掌握.
随堂检测 1.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为(　A　 ) A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3 2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是(　A　 ) A.∶2 B.3∶4 C.∶3 D.4∶3 3.对于一个正多边形,下列四个命题中,错误的是(　B　 ) A.正多边形是轴对称图形,每条边的垂直平分线是它的对称轴 B.正多边形是中心对称图形,正多边形的中心是它的对称中心 C.正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角 D.正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补 4.如果正方形的边长为6,那其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为(　B　 ) A.6,3 B.3,3 C.6,3 D.6,3 5.如果正六边形的边长为1,那么正六边形的中心角是　60　度,半径是　1　,边心距是　　,它的每一个内角是　120　度.
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随堂检测 6.在学习圆与正多边形时,马露、高静两位同学设计了一种画圆内接正三角形的方法: (1)如图,作直径AD; (2)作半径OD的垂直平分线,交☉O于B,C两点; (3)连接AB,AC,那么△ABC为所求作的三角形. 请你判断两位同学的作法是否正确,如果正确,请你按照两位同学设计的画法,画出△ABC,然后给出△ABC是等边三角形的证明过程;如果不正确,请说明理由. 解:根据题意画图如图所示.两位同学的方法正确. 连接BO,CO,设BC交AD于点E. ∵BC垂直平分OD, ∴在Rt△OEB中,cos∠BOE==, ∴∠BOE=60°. 由垂径定理,得∠COE=∠BOE=60°,∴∠BOC=120°. ∵AD为☉O的直径, ∴∠AOB=∠AOC=120°, ∴AB=BC=CA,即△ABC为等边三角形.
课堂小结 1.正多边形是轴对称图形吗 如果是,有多少条对称轴 2.正多边形是中心对称图形吗 3.与正多边形相关的概念有哪些 是怎样定义的 他们之间有怎样的关系 4.怎样画正多边形 通过小结让学生对本节课的内容有较系统的认识.
作业布置 请完成教材练习题P112T1-T22
板书设计
正多边形与圆 1.正多边形的对称性 (1)轴对称图形; (2)中心对称图形:当边数是奇数时,不是中心对称图形. 2.正多边形的相关概念 3.正多边形的画法 【例2】
教学反思
本节是在已经学习了正多边形的概念、正三角形和正方形的性质及圆的相关知识的基础上,来探究正多边形的性质、正多边形与圆的关系、正多边形的画法、圆内接正方形和圆内接正六边形的尺规作图.在教学中要从不同角度探索正多边形的性质,顺利引出正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念,教学中要注意它们之间的关系的引导,特别是正多边形的半径、边心距、边长构成了直角三角形,利用勾股定理或三角函数来求值是本节课的重点.正多边形的画法要让学生理解,做到触类旁通.