4.1　一元二次方程 教案 （表格式） 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

4.1　一元二次方程
课题 4.1　一元二次方程 课时 1课时 授课人
教学目标 1.通过实际问题情境,抽象出一元二次方程的概念,使学生体会方程是刻画现实世界中等量关系的有效数学模型. 2.了解一元二次方程的意义,掌握一元二次方程的一般形式,会把一元二次方程化成一般形式. 3.探索一元二次方程的解或近似解,培养学生的估算意识和能力.
教学重难点 教学重点:一元二次方程的概念和一般形式. 教学难点:理解和掌握一般形式中的a≠0,“项”和“系数”.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 1.什么是方程 含有未知数的等式叫做方程. 2.什么是一元一次方程 两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程. 3.下列方程哪些是一元一次方程 哪些不是 为什么 (1)-4x-8y=7;(2)=3; (3)-2(x+6)-4x=1;(4)8x2+4x-3=0. (1)不是,含有两个未知数.(2)不是,左边不是整式.(3)是.(4)不是,未知数的次数不都是1. 复习一元一次方程有关知识,为后面类比抽象出一元二次方程的概念做好准备.
情境导入 每年的6月17日,是“世界防治荒漠化和干旱日”.联合国环境规划署的统计资料表明,目前世界荒漠化土地面积已超过3 600万平方千米,占地球陆地面积的1/4,而且正以每年5万至7万平方千米的速度急剧蔓延. 我国是世界上荒漠化面积大、分布广、受危害最严重的国家之一.进入21世纪以来,随着防沙治沙事业的快速发展,我国土地荒漠化的防治工作取得了举世瞩目的成绩,已处于世界领先地位.据国家林业局统计资料介绍,我国2000年共有荒漠化、沙化土地216.5万平方千米,2002年增长到267.4万平方千米.2004年,我国荒漠化、沙化土地面积减少到263.6万平方千米,以后逐年减少. (1)从2000年到2002年的两年间,我国荒漠化、沙化土地面积的年平均增长率是多少 (2)从2002年到2004年的两年间,我国荒漠化、沙化土地的面积平均每年降低百分之几 以上的问题怎样解决呢 学习完本章的内容就能找到答案了. 这是一幅土地沙漠化的真实照片,惨淡的景象给学生以视觉上的冲击,激发学生的求知欲.
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合作探究 探究一:一元二次方程 问题1： 教室的面积为54 m2,长比宽的2倍少3 m,如果要求出教室的长和宽,设宽为x m,怎样根据问题中的数量关系列出方程 问题2： 直角三角形斜边的长为11 cm,两条直角边的差为7 cm.如果要求出两条直角边的长,设较短直角边长为x m,怎样根据问题中的数量关系列出方程 问题3： 如图,点C是线段AB上的一点,AB=1,AC=x,且=.如果要求的值,怎样根据问题中的数量关系列出方程 问题4： 由上面的三个问题,分别得到了下面的方程: ①x(2x-3)=54,②x2+(x+7)2=112,③x2=1-x. 把它们分别进行整理,得 2x2-3x-54=0,x2+7x-36=0,x2+x-1=0. 你发现方程①②③与整理后的三个方程有哪些共同特征 归纳小结：一元二次方程的定义 方程的两边都是整式,它们都只含有一个未知数,并且整理后未知数的最高次数都是2,像这样的方程叫做一元二次方程. 经过整理,一元二次方程都可以化为a+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,称为一元二次方程的一般形式,其中ax2称为二次项,a称为二次项系数.bx称为一次项,b称为一次项系数.c称为常数项. 同学们,知道a≠0的原因吗 b,c呢 问题5： 你能分别说出方程①②③化成一般形式后的二次项、一次项、常数项,以及二次项系数和一次项系数吗 注意:一元二次方程的项和系数包括前面的符号. 典例分析: 【例】 把方程(2x+1)(3x-2)=x2+2化为一元二次方程的一般形式,写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数. 解:将原方程去括号,得6x2+3x-4x-2=x2+2. 移项、合并同类项,得5x2-x-4=0. 方程的二次项为5x2,一次项为-x,常数项为-4;二次项系数为5,一次项系数为-1. 探究二:估计一元二次方程的根 定义:一元二次方程的根. 判断方法:将数代入一元二次方程,使方程左右两边相等,则是方程的根,反之,不是. 探究一中问题2得到了一元二次方程x2+(x+7)2=112.② 你能估计出这个方程的根吗 (1)要估计出方程②的根,可以先估计出方程根的一个大致范围.结合方程②的实际意义,你能说出适合方程②的x的一个大致范围吗 1.通过问题,让学生从生活现实和数学现实的情境中,经历一元二次方程定义的形成过程. 2.明确定义的三要素:(1)两边都是整式;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2,这里是指把方程整理后.要熟记一元二次方程的一般形式及相关定义. 3.例题是基础性问题,可以对刚学习的概念性知识加深理解.注意每一项都包括前面的符号. 4.问题(1)可引导学生独立思考,先初步估计x的范围.
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合作探究 (2)怎样才能进一步缩小估计的范围呢 将方程②化为x2+7x=36.④ 利用二分法,取2和4的中间值3,分别计算当x=2,3,4时,方程④左边的代数式x2+7x的值,并比较它们的值与方程④右边的36的大小,填写下表: x234x2+7x183044与36比较小于36小于36大于36
这说明,在3和4之间有方程④的根.并由此可知,这个根的整数部分是3. (3)取3和4的中间值3.5,借助计算器计算当x=3.5时x2+7x的值,并比较它的值与36的大小,填写下表: x33.54x2+7x3036.7544与36比较小于36大于36大于36
这说明方程的根在哪两个数之间呢 在3和3.5之间. (4)取3和3.5的中间值3.3,重复以上过程,填写下表: x33.33.5x2+7x3033.9936.75与36比较小于36小于36大于36
这说明方程的根在哪两个数之间呢 在3.3和3.5之间. (5)同样地,再取3.3和3.5的中间值3.4,填写下表: x3.33.43.5x2+7x33.9935.3636.75与36比较小于36小于36大于36
这说明方程的根在哪两个数之间呢 在3.4和3.5之间. 并由此可知这个根的十分位上的数字是4,即x=3.4…. (6)如果不考虑方程④的根的实际意义,你会估计方程④还有其他的根吗 归纳小结：估算一元二次方程根的方法(二分法) (1)先根据实际意义确定根的大致范围; (2)取范围内的中间值,直到确定出根的整数部分; (3)继续缩小范围,取中间值,确定出十分位上的数字; (4)继续上一步,确定出百分位上的数字; (5)…… 5.为了提高估计的精确度,需要缩小估计的范围,为此取2至4的中间值3,从而把2至4分为2至3与3至4两个范围,这种方法叫做二分法. 6.逐步缩小估计的范围,直到根的估计值符合题目所要求的精确度.
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随堂检测 1.下列方程一定是关于x的一元二次方程的是(　D　 ) A.ax2+bx+c=0 B.m2x+5m+6=0 C.x3-x-1=0 D.(k2+3)x2+2x-=0 2.已知一元二次方程x2-kx+3=0有一个根为1,则k的值为(　C　 ) A.-2 B.2 C.4 D.-4 3.把方程x(x-2)=3(x+1)化为一元二次方程的一般形式是　x2-5x-3=0　,二次项系数为　1　,一次项系数为　-5　,常数项为　-3　.
课堂小结 1.一元二次方程是怎样定义的 2.一元二次方程的一般形式是什么 它的二次项、一次项及二次项系数、一次项系数分别是什么 3.估计一元二次方程的根采用的是什么方法 是怎样实现的 加深对一元二次方程相关概念的理解.
作业布置 请完成教材练习题P126T1-T2,P128T1-T2
板书设计
一元二次方程 1.一元二次方程的定义 (1)方程两边都是整式,(2)只含有一个未知数,(3)未知数的最高次数是2. 2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数且a≠0) 3.估算一元二次方程的根(二分法)
教学反思
根据问题1至3,引导学生认真分析三个问题中的已知量、未知量,以及它们之间的关系,根据等量关系列出方程,感受方程是刻画现实世界数量关系的数学模型.问题3采用间接设元的方法,把几何问题转化成代数问题,运用了转化和数形结合思想,要引导学生体会这个问题中设元法的作用.一元二次方程的定义要让学生明确三要素.教学一元二次方程的一般形式时,让学生明确任何一个一元二次方程通过整理,最终都可以化成一般式,其中的项和系数都包括前面的符号.用二分法估计一元二次方程的根,让学生感悟“二分法”和逐次逼近的思想.