4.2　用配方法解一元二次方程 教案 （表格式） 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

4.2　用配方法解一元二次方程
课题 4.2　用配方法解一元二次方程 课时 第1课时 授课人
教学目标 1.会利用平方根的意义解形如(x+m)2=n的一元二次方程. 2.理解配方法,会用配方法将数字系数的一元二次方程转化为(x+m)2=n的形式,然后求解. 3.通过用配方法解二次项系数是1的一元二次方程,把一元二次方程转化为一元一次方程,体会“转化”的数学思想.
教学 重难点 教学重点:掌握用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤. 教学难点:探究用配方法解一元二次方程.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 1.什么是平方根 如果x2=a,那么x=±,x就是a的平方根. 2.如果x2=3,那么x=　±　.如果(x-1)2=4,那么x-1=　±2　. 3.正数有2个平方根,它们互为　相反数　;负数　没有　平方根,0的平方根是0. 4.完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2. 复习平方根,为学习直接开平方法做好准备.
情境导入 观察下面的一元二次方程: x2=5,① (x+5)2=9.② 问题:根据平方根的意义,你会解方程①②吗 方程①②有几个根 x2=5, 由平方根的意义,直接开平方得x=±. 所以x1=,x2=-. ②(x+5)2=9, 直接开平方得x+5=±3. 所以x1=-2,x2=-8. 一元二次方程可以有两个实数根.通常用x1,x2分别表示未知数为x的一元二次方程的两个根. 总结方法: 如果等式左边是一次式的平方的形式,等式右边是个常数,如(x+m)2=n,可以由平方根的意义,直接开平方求解,这个方法叫做直接开平方法. 直接开平方法是在解一元二次方程时首先考虑的方法,也是配方法的基础.
合作探究 探究:用配方法解一元二次方程 观察: x2+10x+25=9,③ x2+10x=-16.④ 问题1：比较方程③与情境导入的方程②,你发现它们有什么联系 根据这种联系,你会解方程③吗 问题2：比较方程③与④,你发现它们有哪些相同和不同 对于解方程④,由此能得到什么启示 有两步非常关键,第一步是利用等式的基本性质两边同加25,使方程的左边成为一个完全平方式.第二步是通过开平方,将一元二次方程转化为一元一次方程. 1.由浅入深,逐步引导学生探索配方法的步骤.
续表
合作探究 问题3：想一想,为什么在方程④的两边都加25之后,方程④的左边就成为一个完全平方式 归纳小结： 当一元二次方程的二次项系数为1时,可先把常数项移到方程的右边,然后在方程的两边都加上一次项系数的一半的平方,就把方程的左边配成了一个完全平方式,从而可以由平方根的意义求解方程.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 由于平方都是非负数,所以只需要加上一次项系数的绝对值的一半的平方即可. 试一试: 在下面的横线上各填上一个数,使各式成为完全平方式: (1)x2+14x+　49　=(x+　7　)2; (2)x2-20x+　100　=(x-　10　)2; (3)x2+x+　　=x+　 2; (4)x2-0.2x+　0.01　=(x-　0.1　)2. 典例分析: 【例1】 解方程:x2-4x-12=0. 解:移项,得x2-4x=12. 两边都加22,得x2-4x+22=12+4. 即(x-2)2=16. 直接开平方,得x-2=±4. 所以x1=6,x2=-2. 【例2】 解方程:x2-3x+2=0. 解:移项,得x2-3x=-2. 配方,方程两边都加2,得x2-3x+2=-2+2, 即x-2=. 由平方根的意义,得x-=±. 所以x1=2,x2=1. 你能总结用配方法解形如x2+bx+c=0的方程的步骤吗 归纳小结： (1)移项:把常数项移到方程右边(移项要变号); (2)配方:将方程左边配方(等式两边同时加一次项系数一半的平方); (3)用直接开平方法解方程. 挑战自我: 你会用配方法解方程(x+1)2+2(x+1)=8吗 你能找到几种解法 (1)先化为一般形式后再用配方法求解; (2)把(x+1)看作一个以(x+1)为未知数的一元二次方程,用配方法解出(x+1)的值,得到两个一元一次方程,再求x,这个方法称为换元法. 原方程的解为x1=1,x2=-5. 2.配方法的关键是找到完全平方式. 3.这两个例题是基础性问题,有助于对配方法加深理解. 4.每一步都是易错点,要牢记每一步的关键点.
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随堂检测 1.将方程x2-4x-1=0的左边变成完全平方的形式是(　C　 ) A.(x-2)2=1 B.(x-4)2=1 C.(x-2)2=5 D.(x-1)2=4 2.用适当的数填空,使等式成立: ①x2+6x+　9　=(x+　3　)2; ②x2-5x　+　=x-　 2; ③x2+x+　　=x+　 2; ④x2-0.6x+　0.09　=(x-　0.3　)2. 3.解方程:(1)3x2-27=0;(2)x2+6x=-7. 解:(1)3x2-27=0. x2-9=0. x2=9. x=±3. 即x1=3,x2=-3. (2)x2+6x=-7, x2+6x+9=-7+9, 即(x+3)2=2, ∴x+3=±. ∴x1=-3+,x2=-3-.
课堂小结 1.什么形式的一元二次方程适合使用直接开平方法 2.用配方法解一元二次方程(二次项系数是1)的步骤是什么 需要注意哪些问题 对本节课的知识进行及时整理和归纳,有助于加深理解.
作业布置 请完成教材练习题P132T2
板书设计
解二次项系数是1的一元二次方程 1.直接开平方法 2.配方法定义 3.用配方法解一元二次方程的步骤 (1)移项;(2)配方;(3)直接开平方. 【例1】
教学反思
先让学生掌握直接开平方法,它是配方法的基础.用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,通过几个问题引导学生发现方法,理解配方法的步骤.但学生在配方过程中很容易出错,移项时忘记改变符号,或配方时只在等式左边加一次项系数一半的平方等,所以要多加练习.
课题 4.2　用配方法解一元二次方程 课时 第2课时 授课人
教学目标 1.会用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程. 2.能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤.
教学重难点 教学重点:用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程. 教学难点:能熟练地运用配方法解决有关问题.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 1.填空: (1)x2-6x+　9　=(x-3)2; (2)x2+0.4x+　0.04　=(x+　0.2　)2. 2.解下列方程: (1)x2+4x=-3;(2)y2+4y-6=0. 解:(1)x2+4x+4=-3+4.
(x+2)2=1.
x+2=±1.
x1=-1,x2=-3.
　　　(2)y2+4y=6.
y2+4y+4=10.
(y+2)2=10.
y+2=±.
y1=-2+,y2=-2-. 复习二次项系数是1的一元二次方程的解法,巩固旧知的同时,为学习本节课内容做好准备.
情境导入 问题:4.1节问题3中,如图,点C是线段AB上的一点,且=.如何求的值 (精确到0.001) 解:设AB=1,AC=x,根据题意,得 x2=1-x 移项,得x2+x=1. 两边都加2,得 x2+x+2=1+2, x+2=. 由平方根的意义,得 x+=±. 所以x1=≈0.618,x2=-≈-1.618. 在4.1节问题3中,x为线段AC与AB的比,必须满足x>0.所以x2不合题意,应当舍去,答案是:的值约为0.618. 认识:黄金比的准确值:;近似值:0.618. 完成4.1节中的问题,求出了两条线段的黄金比的准确值和近似值,通过近似值,使学生初步认识0.618.
续表
合作探究 探究:用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 观察:3x2-6x-2=0. 问题1：比较3x2-6x-2=0与上节课学习的方程有什么区别 二次项的系数不是1. 问题2：怎样变形可以转化成上节课的形式 可以利用等式的基本性质,方程两边都除以3,就可以把二次项系数化为1. 问题3：你能解这个方程吗 方程两边都除以3,得x2-2x-=0. 移项,得x2-2x=. 两边都加1,得x2-2x+1=+1. 即(x-1)2=. 直接开平方,得x-1=±. 所以x1=1+,x2=1-. 注意: 是方程两边同时除以,也就是方程两边的每一项都除以,不能漏项. 典例分析: 【例1】 解方程:-2x2+4x-1=0. 解:方程两边都除以-2,得x2-2x+=0. 移项,得x2-2x=-. 两边都加1,得x2-2x+1=-+1. 即(x-1)2=. 直接开平方,得x-1=±. 所以x1=1+,x2=1-. 注意: 当方程两边都除以一个负数时,一定记得改变符号,这是比较容易犯错的地方. 【例2】 解方程:2x2+3x-1=0. 解:方程两边同除以2,得x2+x-=0. 移项,得x2+x=. 两边都加2,得x2+x+2=+2. 即x+2=. 由平方根的意义,得x+=±. 所以x1=,x2=. 1.引导学生发现这个方程与上一节课方程的不同之处,思考变形的方法和依据. 2.例1的二次项系数是负数,在变形时容易出现符号错误. 3.例2把二次项系数变为1后,一次项系数是分数,比例1增加了难度,让学生进一步熟悉配方法的步骤.
续表
合作探究 你能总结用配方法解形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程的步骤吗 归纳小结： (1)系数化为1:把二次项系数化为1(等式两边同时除以二次项系数); (2)移项:把常数项移到方程右边(移项要变号); (3)配方:将方程左边配方(等式两边同时加一次项系数一半的平方); (4)用直接开平方法解方程. 拓展： 把多项式2x2—4x+1配方,它有最小值吗 2x2-4x+1 =2x2-2x+ =2x2-2x+1-1+ =2 =2(x-1)2-1. ∵2(x-1)2≥0,∴2(x-1)2-1≥-1,∴有最小值-1. 注意: 在对二次三项式ax2+bx+c进行配方时,由于它是多项式而不是等式,所以切记是提取a,而不是除以a. 4.注意把多项式配方和用配方法解一元二次方程区分开.
随堂检测 1.若2x2+4x+m2是一个完全平方式,则m的值是(　C　 ) A.2 B.-2 C.± D.以上都不对 2.用配方法将二次三项式2a2-4a+5变形,结果是(　A　 ) A.2(a-1)2+3 B.2(a+1)2-1 C.2(a+1)2+1 D.2(a-1)2-3 3.-3x2+6x+1配方得　-3(x-1)2+4　,有最　大　值,是　4　. 4.解方程:-2x2+8x=-1;(2)2x2-4x-30=0. 解:(1)-2x2+8x=-1. x2-4x=. x2-4x+4=+4. (x-2)2=. x-2=±. x1=2+,x2=2-. (2)2x2-4x-30=0, x2-2x-15=0, x2-2x+1=16, (x-1)2=16, ∴x-1=4或x-1=-4, ∴x1=5,x2=-3.
续表
随堂检测 5.用配方法证明代数式-2x2+4x-10的值恒为负. 证明:-2x2+4x-10 =-2(x2-2x+5) =-2(x2-2x+1-1+5) =-2[(x-1)2+4] =-2(x-1)2-8. ∵-2(x-1)2≤0,∴-2(x-1)2-8≤-8, ∴代数式-2x2+4x-10的值恒为负.
课堂小结 1.用配方法解一元二次方程(二次项系数不是1)的步骤是什么 需要注意哪些问题 2.怎样把二次三项式ax2+bx+c进行配方 与把方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方有什么区别 及时总结,提醒学生注意易错点.
作业布置 请完成教材习题P134T2,T5
板书设计
解二次项系数不是1的一元二次方程 1.用配方法解一元二次方程(二次项系数不是1)的步骤 (1)系数化为1;(2)移项;(3)配方;(4)直接开平方. 2.配方法的应用 (1)将二次三项式ax2+bx+c配方; (2)求最值; (3)证明恒成立问题. 【例1】 拓展： 把多项式2x2—4x+1配方,它有最小值吗 解:2x2-4x+1 =2x2-2x+ =2x2-2x+1-1+ =2 =2(x-1)2-1. ∵2(x-1)2≥0, ∴2(x-1)2-1≥-1, ∴有最小值-1.
教学反思
本节课是用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程,由于已学过二次项系数为1的解法,所以整堂课难度不大,但学生出错率较高,特别在第一步两边除以二次项系数时,一部分学生只把方程左边变形,而忘记右边.拓展是对二次三项式进行配方,与用配方法解方程不同,应注意是将整个多项式提取二次项系数,多加练习,掌握方法,避免出错.