4.4　用因式分解法解一元二次方程 教案 （表格式） 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

4.4　用因式分解法解一元二次方程
课题 4.4　用因式分解法解一元二次方程 课时 1课时 授课人
教学目标 1.会用因式分解法解简单数字系数的一元二次方程. 2.理解因式分解法解一元二次方程的根据. 3.能根据一元二次方程的具体特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题策略的多样性.
教学 重难点 教学重点:运用因式分解法解一元二次方程. 教学难点:根据一元二次方程的具体特征,灵活选择方程的解法.
教学活动
教学流程 师生活动 设计意图
课前小测 1.因式分解的方法有哪些 (1)提公因式法; (2)公式法:a2-b2=(a+b)(a-b);a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)十字相乘法. 2.把下列各式因式分解: (1)4x2-x;(2)9x2-4;(3)x2-4x+4;(4)x2-5x+6;(5)2x2-3x-2. 解:(1)4x2-x=x(4x-1). (2)9x2-4=(3x)2-22=(3x+2)(3x-2). (3)x2-4x+4=(x-2)2. (4)x2-5x+6=(x-2)(x-3). (5)2x2-3x-2=(2x+1)(x-2). 复习因式分解的方法,由于十字相乘法是补充内容,学生容易遗忘,要多强调此方法.
情境导入 问题1：方程x2+7x=0有几种解法 用配方法和公式法都可以求出它的解. x1=0,x2=-7. 问题2：还有更简便的求解方法吗 可以用之前所学的配方法和公式法来求解,但是很繁琐,引入课题.
合作探究 探究:用因式分解法解一元二次方程 观察:x2+7x=0. 问题1：这个方程的两边有什么特征 方程的右边为0,左边可以分解成两个一次因式的积. 问题2：下面这种解法可以吗 把方程左边的多项式进行因式分解,得x(x+7)=0. 从而x=0,或x+7=0. 所以x1=0,x2=-7. 问题3：与上面用配方法和公式法解原方程求得的根都是一致的.这种解法的根据是什么 若ab=0,则a=0或b=0.得到两个一元一次方程.这两个一元一次方程的根都是原一元二次方程的根. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 1.引导学生发现右边是0,左边可以分解成两个一次因式的乘积.
续表
合作探究 典例分析: 【例1】 用因式分解法解方程: (1)15x2+6x=0;(2)4x2-9=0. 解:(1)把方程的左边进行因式分解,得 3x(5x+2)=0. 从而x=0,或5x+2=0. 所以x1=0,x2=-. (2)把方程的左边进行因式分解,得 (2x+3)(2x-3)=0, 从而2x+3=0,或2x-3=0. 所以x1=-,x2=. 思考:1.方程4x2-9=0,有更简单的解法吗 2.小亮在解方程x2+7x=0时,把方程两边同除以x,得 x+7=0. 所以x=-7. 怎么少了一个根 你知道小亮的解法错在什么地方吗 方程的两边都乘(或除以)同一个整式时,要保证整式不为0,否则容易漏根. 【例2】 用因式分解法解方程:(2x+1)2=(x-3)2. 解:移项,得(2x+1)2-(x-3)2=0. 把方程的左边进行因式分解,得(2x+1+x-3)(2x+1-x+3)=0. 即(3x-2)(x+4)=0. 从而3x-2=0,或x+4=0. 所以x1=,x2=-4. 思考:1.对于方程(2x+1)2=(x-3)2,大刚想到的解法是: 把原方程两边开平方,得2x+1=x-3.所以x=-4. 怎么也少了一个根 你知道大刚的解法错在什么地方吗 2.对于(2x+1)2=(x-3)2,你还有其他的求解方法吗 归纳小结： 1.因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程整理,使右边等于0; (2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积的形式; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程; (4)解两个一元一次方程,所得的根就是原方程的根. 2.在解方程时,尽量选择最简单的方法,如果有括号不要急于去括号,先观察方程,再按照如下顺序选择解法: (1)直接开平方法; (2)通过移项让右侧为0,看能否用因式分解法; (3)公式法或配方法. 2.例1分别用提公因式法,平方差公式法,十字相乘法把方程左边因式分解,让学生独立完成. 3.小亮的解法是一部分学生容易犯的错误,让学生分析发生错误的原因,以防止犯同样的错误. 4.例2的题型是本节课的难点,鼓励学生合理选用其他解法,感受解题策略的多样性. 5.及时进行归纳小结,便于对因式分解法和合理选择解法的步骤有更深刻的认识.
续表
随堂检测 1.方程(x-16)(x+8)=0的根是(　B　 ) A.x1=-16,x2=8 B.x1=16,x2=-8 C.x1=16,x2=8 D.x1=-16,x2=-8 2.若实数x,y满足(x2+y2+1)(x2+y2-2)=0,则x2+y2的值为(　B　 ) A.-1 B.2 C.2或-1 D.-2或1 3.用因式分解法解下列方程: (1)(x+2)2-9=0;(2)(x+5)(x-1)=7. 解:(1)分解因式,得(x+2+3)(x+2-3)=0, ∴x+5=0或x-1=0. ∴x1=-5,x2=1. (2)原方程可变形为x2+4x-5=7. 移项,得x2+4x-5-7=0, x2+4x-12=0. ∴(x+6)(x-2)=0, ∴x+6=0或x-2=0, ∴x1=-6,x2=2.
课堂小结 1.用因式分解法解一元二次方程的依据是什么 2.用因式分解法解一元二次方程需要注意什么问题 3.因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么 4.在解一元二次方程时,怎样选择方法 及时总结,让学生对因式分解法及其他解方程的方法有更系统的认识.
作业布置 请完成教材练习题P141T1-T2
板书设计
用因式分解法解一元二次方程 1.因式分解的方法 (1)提公因式法; (2)公式法:a2-b2=(a+b)(a-b);a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)十字相乘法. 2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤 3.方法的选择顺序
教学反思
相比较而言,因式分解法比配方法和公式法更为简便.因式分解法的前提是方程的右边必须是0,把方程的左边分解成两个一次因式的乘积的形式,则这两个因式中至少有一个为0,从而得到两个一元一次方程,达到降次的目的.由于例1中的十字相乘法是补充内容,学生普遍掌握不好,所以要多做练习.例2是一题多解,既可以用因式分解法,也可以整理后用其他方法,尽量选用简便的方法.